Тангенциальные составляющие вектора Е на границе также должны быть одинаковыми:

Так как , а то, решив совместно оба уравнения, получим:

Полученные формулы носят название формул Френеля. Они позволяют определить комплексные амплитуды век­торов поля отраженной и преломленной волн по известной комплексной амплитуде напряженности электрического поля падающей волны . Штрих в выражении комплексных амплитуд указывает на то, что рассматривается частный случай, когда Е лежит в плоскости падения.

Отношение называется коэффициентом отражения в этом частном случае.

Отношение называется коэффициентом прохождения (преломления).

2. Пусть вектор Е перпендикулярен плоскости падения , т. е. при выбранном направлении координатных осей параллелен оси х. Вектор Н будет расположен в пло­скости xOz. Положительное направление для векторов Е, Е₀ и Е₂ выбираем параллельно оси х. Граничные условия (при z = 0) следующие:

Так как , то, решив эти уравнения, получим формулы Френеля для рассматриваемого частного случая:

Коэффициент отражения в этом частном случае равен

Коэффициент прохождения (преломления) равен

Излучение электромагнитных волн

Источником электромагнитных волн являются изменяющиеся во времени токи и заряды.

Всякая электрическая цепь, по которой протекает переменный ток, может излучать электромагнитные волны.

Эти волны, распространяясь в диэлектрике, окружающем источник, несут с собой определенную энергию. Величина излучаемой энергии зависит от величины и частоты тока, от конфигурации цепи и от свойств диэлектрика, окружающего излучающую цепь. Для промышленной частоты f=50 гц излучаемая мощность настолько незначительна, что ею пренебрегают. Мощность излучения необходимо учитывать, начиная от частоты f=105 гц и выше (т. е. частот, которые применяются в радиотехнике).

Рассмотрим цепь синусоидального тока, изображенную на рис. (а). Пусть ток в контуре II равен i, а напряжение на емкости равно uc. Энергия магнитного поля ,энергия электрического поля . Энергия пульсирует с частотой, равной удвоенной частоте тока. Часть этой энергии вместе с электромагнитной волной отрывается от контура и распространяется в диэлектрике, окружающем цепь, со скоростью . Контур II можно видоизменить так, как показано на рис. (б) и в. Следовательно, прямолинейный провод длиной l, по которому протекает переменный ток, может излучать электромагнитныe волны. Такой провод представляет собой простейшую антену.

Пусть длина провода l в цепи, изображенной на рисунке значительно меньше длины волны λ. Тогда можно считать, что синусоидальный ток , протекающий по проводу, по всей его длине имеет одну и ту же величину. Кроме того, учитывая, что сечение провода мало по сравнению с его длиной, можно считать провод линейным. Назовем такой провод с током элементарным вибратором.

---

Диэлектрик вокруг провода однородный и изотропный; проницаемости ε и μ — величины постоянные. Проводимость диэлектрика γ принята равной нулю.

Определим поле элементарного вибратора. Начало прямоугольных декартовых координат поместим по середине провода. Ось z направим вдоль провода. Будем считать, что объемных зарядов в поле нет. Чтобы найти векторы поля Е и Н, решим уравнения Максвелла с помощью обобщенных электродинамических потенциалов. Скалярный потенциал равен нулю, так как ρ=0. Векторный потенциал определится из выражения

Токи проводимости протекают только в самом проводе, поэтому V представляет собой объем этого проводa и

Вектор плотности тока направлен вдоль провода, следовательно, он имеет только одну проекцию δz на ось z. Поэтому и векторный потенциал будет иметь только одну проекцию на ту же ось z

Ток в проводе

причем, так как сечение провода S мало, расстояние R от любой точки сечения до исследуемой точки поля можно считать одним и тем же. Введя значение тока в выражение векторного потенциала, получаем:

Так как l≪λ, то величина тока по длине провода не меняется и ее можно вынести за знак интеграла. Будем считать, что поле исследуется на таком расстоянии от вибратора, что величина R одинакова для всех элементов dl. В этом предположении

Комплексная амплитуда векторного потенциала равна:

Дальнейший расчет удобнее вести в сферической системе координат. Угол θ будем отсчитывать от вертикальной оси. В сферической системе координат векторный потенциал имеет две проекции АR и Aθ. Комплексные амплитуды этих проекций равны:

Комплексные амплитуды проекций векторного потенциала зависят только от двух координат R и θ.

Напряженность магнитного поля определится из формулы

В сферической системе координат у вектора H только одна проекция Hψ отлична от нуля. Ее комплексная амплитуда будет равна:

Напряженность электрического поля Е можно определить по первому уравнению Максвелла. Так как вне вибратора нет токов проводимости , то .

Вектор будет иметь только две проекции, комплексные амплитуды которых соответственно равны:

Зная комплексные амплитуды, легко найти мгновенные значения проекций векторов поля. Например, Аналогично определяются ER и Еθ.

Полученные формулы можно несколько упростить в области, для которой R≪λ (так называемая ближняя зона), и в области, для которой

R≫ λ (так называемая дальняя или волновая зона).

Плоские электромагнитные волны. Основные определения

При исследовании процесса излучения электромагнитной энергии было установлено, что в области, достаточно уда­ленной от вибратора , поле имеет волновой характер.

Так как эквифазные поверхности представляли собой сферы, то волны назывались сферическими . Если радиус сферы R достаточно велик, небольшую часть сферической поверхности можно считать плоской и волну в этой области рассматривать как плоскую.

---

Плоской электромагнитной волной называется волна, у которой поверхность равных фаз представляет собой плоскость.

Плоская волна называется однородной, если векторы поля Е и Н при соответствующем выборе направления осей координат зависят от одной пространственной координаты и времени.

Следовательно, во всех точках эквифазной плоскости в один и тот же момент величина вектора Е (вектора Н) одинакова.

Если зависимость векторов поля от времени синусоидальная или косинусоидальная, то волна называется монохроматической или гармонической.

Если плоская волна линейно поляризована, то направления векторов Е (и перпендикулярных к ним векторов Н) во всем пространстве параллельны друг другу.

Рассмотрим однородную линейно поляризованную плоскую монохроматическую электромагнитную волну. Вектор Е может иметь три взаимно перпендикулярные проекции, например, в декартовой системе координат:

Так как волна линейно поляризована, то фазы всех трех проекций должны быть одинаковы ψ1 = ψ2 = ψ3 = ψ, а отношение амплитуд является постоянным числом:

Тогда направление вектора Е во всех точках поля одно и то же, углы, которые образует вектор Е с осями координат, постоянны, что видно из выражений

причем

В частном случае, если направление вектора параллельно одной из координатных осей, вектор имеет только одну проекцию. Аналогичные соотношения получатся и для вектора Н.

Уравнение плоской волны

Рассмотрим распространение плоской волны в однородной среде. Расположим координатные оси таким образом, чтобы один из векторов поля, например вектор Е, имел одну проекцию Ех. Пусть Ех зависит только от одной пространственной координаты z и от времени t, причем зависимость от времени синусоидальная. Параметры среды ε, μ и γ постоянные.

Запишем второе уравнение Максвелла в комплексной форме в декартовой системе координат, причем будем считать, что в поле нет свободных зарядов:

В рассматриваемом случае у вектора Н только одна проекция Ну отлична от нуля. Комплексная амплитуда ее равна:

Так как комплексная амплитуда зависит только от одного переменного, то вместо частных производных можно записать обычные производные:

Первое уравнение Максвелла примет вид:

Подставив значение и отбросив индексы у проекции векторов, получим уравнение

Назовем коэффициентом распространения комплексное число

Введя величину Г в уравнение, получаем:

Решение уравнения имеет следующий вид:

Перейдя к мгновенным значениям и положив , , получим:

Первая составляющая напряженности электрического поля Епад называется прямой или падающей волной. Она распространяется в сторону возрастающих z. Вторая Eотр, распространяющаяся в сторону убывающих z, называется обратной или отраженной волной. Мгновенное значение Е равно сумме ординат прямой и обратной волн.

---

Напряженность магнитного поля

Комплексную величину

называют волновым сопротивлением.

Введя эту величину в формулу, получаем:

Переходя к мгновенным значениям, будем иметь:

Мгновенное значение напряженности магнитного поля равно разности ординат падающей и отраженной волн. Полученные выражения представляют собой уравнения плоских электромагнитных волн.

Мгновенное значение вектора Пойнтинга

.

Исследование волн

Прямая или падающая волна напряженности электрического поля

представляет собой волну, распространяющуюся в направлении положительной оси z. Фаза ее меняется в функции от z и t. Эквифазные поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные оси z.

Скорость перемещения плоскости равных фаз волны vф называется фазовой скоростью. Величина фазовой скорости vф = dz/dt. В момент tl в точке z1 фаза волны равна: . За время dt фаза переместится на расстояние dz. Следовательно, ее значение равно:

Приравняв эти выражения, получим:

,

откуда

Фазовая скорость падающей волны Hпад имеет такую же величину.

Отраженные волны Eотр и Нотр перемещаются с такой же фазовой скоростью, но в обратном направлении. Для них

Среды, для которых фазовая скорость зависит от частоты, называются диспергирующими. Коэффициент β при мнимой части Г называется коэффициентом фазы или волновым числом.

Амплитуды волны затухают в направлении распростра­нения; прямая волна — в направлении оси z, отраженная — в обратном направлении.

Быстрота затухания зависит от действительной составляющей коэффициента распространения Г. Она обозна­чается буквой α и называется коэффициентом затухания или поглощения.

Отношение амплитуд соответствующих волн Е и Н равно модулю волнового сопротивления:

Падающие волны Е и Н (так же как и отраженные) сдвинуты по фазе на угол φв равный аргументу волнового сопротивления.

Если среда не ограничена в направлении распростране­ния, то отраженных волн нет и постоянная М2 обратится в нуль.

Длиной волны λ называют расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2π рад. Пусть это расстояние соответствует , тогда

Следовательно,

Так как

то

Произведение длины волны и частоты равно фазовой скорости.

На рисунуе показаны кривые и для различных моментов времени.

слева — падающая (прямая) волна; справа — отраженная (обратная) волна.

Кривые Hпад и Нотр можно построить аналогично.

Определим вещественную и мнимую части коэффициента распространения.

Так как

то, взяв квадраты и приравняв вещественные слагаемые, получим:

Определим квадрат модуля коэффициента распространения:

Следовательно,

Коэффициент распространения можно записать и следующим образом:

Величину

называют комплексной диэлектрической проницаемостью.

Если ввести в выражение волнового сопротивления, оно преобразуется и

---

Модуль и аргумент волнового сопротивления равны:

, .

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

а) В каждой точке поля мгновенное значение напряженности электрического поля равно сумме ординат падающей и отраженной волн; мгновенное значение напряженности магнитного поля равно разности ординат падающей и отраженной волн.

б) Направление вектора Е, одинаковое во всех точках поля, перпендикулярно к направлению вектора Н, причем оба вектора перпендикулярны к направлению распространения.

Поэтому плоские волны относятся к классу так называемых поперечных электромагнитных волн ТЕМ (Transverse Electro- Magnetic).

в) Отношение амплитуд волн Eпад и Нотр , так же как и отношение амплитуд волн Eпад и Нотр равно модулю волнового сопротивления

г) Фазы падающих волн, так же как и фазы отраженных волн, сдвинуты одна относительно другой на угол, равный аргументу волнового сопротивления .

д) Падающая и отраженная волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью в прямо противоположных направлениях.

е) Амплитуды волн затухают в направлении свосго распространения. Быстрота затухания зависит от величины коэффициента поглощения .

ж) Если среда не ограничена в направлении распространения, то отраженных волн нет: Е=Епад, Н=Нпад.

Распромтанение плоской волны.

Идеальными называют диэлектрик, проводимость которого равна нулю. Например, нижние слои атмосферы во многих случаях можно считать идеальным диэлектриком.

Р
ассмотрим распространение плоской электромагнитной волны в идеальном диэлектрике, считая, что = const и . Параметры волны запишутся следующим образом. Коэффициент поглощения а = 0, и поэтому коэффициент распространения является мнимым числом:

Коэффициент фазы

Фазовая скорость равна скорости распространения электромагнитной энергии.

В
олновое сопротивление

является вещественным числом.

У
равнения и примут следующий вид

М
ожно обозначить:

Если среда не ограничена в направлении распространения, то мгновенные значения векторов поля определяются ординатами прямой или падающей волны, постоянная = 0.

Пусть при тогда

,

,

Падающие волны напряженности электрического и напряженности магнитного полей.

На рис. 5-2 изображены кривые зависимости и для фиксированного момента времени t.

Покажем, что энергия электрического поля в объеме V равна энергии магнитного поля в том же объеме:

Вместе с плоской волной в направлении оси z переме-щается энергия, излучаемая источником поля. Через площадку в 1 м2 перпендикулярную оси z, проходит за 1 сек. энергия, численно равная значению вектора Пойн-тинга на этой площадке.

Полученные результаты показывают, что амплитуды векторов поля неизменны и, следовательно, волна распро-страняется без затухания (среда непоглощающая).

Волны Е и Н, распространяясь с одинаковой скоростью

---

Смотрите также файлы

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx

• Ekonomika.pdf

• otvety на экзамен с 21 вопроса.docx

• Вопросы к экзамену.docx

• Общественное производство.docx