с
овпадают по фазе (так как волновое сопротивление-число вещественное. Скорость распространения не зависит от частоты. Отношения комплексных амплитуд векторов поля равно волновому сопротивлению

Распространение плоской волны в хорошо проводящей среде

В хорошо проводящей среде токи проводимости значительно больше токов смещения и поэтому последним можно пренебречь. При определении параметров волны можно положить

К
оэффициент распространения при этом равен:

С
ледовательно, коэффициент поглощения при этом равен коэффициенту фазы.

Волновое сопротивление примет вид:

Ф
азовая скорость

Д
лина волны определится из выражения

Если среда не ограничена в направлении распространения, то мгновенные значения векторов поля

В
этих выражениях обозначает амплитуду вектора Е в точке z=0 . Величина принята равной нулю. Амплитуды векторов поля уменьшаются в направлении распространения. Определим среднюю за период мощность тепловых потерь в объеме V и покажем, что она равна потоку среднего значения вектора Пойнтинга сквозь выбранную поверхность S.

Рис. 5-3. Вычисление потерь в поглощающей среде..

Пусть S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V параллелепипеда (рис. 5-3). Среда хорошо проводящая, ее проводимость и магнитная проницаемость =const заданы . Плоская гармоническая волна с частотой распространяется в направлении оси z.

В случае плоской волны, распространяющейся без отражения в хорошо проводящей среде,

Коэффициент затухания и коэффициент фазы в этом случае равны друг другу и определяются выражением:

Искомая мощность равна:

.

Среднее значение вектора Пойнтинга за период:

Так как векторы в рассматриваемом случае имеют по одной проекции, то

и
вектор Пойнтинга имеет одну проекцию . Следовательно:

Волновое сопротивление хорошо проводящей среды равно по абсолютной величине

П
одставив это значение, получим:

П

оток вектора Пойнтинга отличен от нуля только сквозь площадки 01720 = и 35643 = ( рис. 5-3). По теореме Умова-Пойнтинга

В
ычисленный поток оказался равным средней мощности тепловых потерь. Энергия, которая входит в выбранный объем за некоторое время, например, за период Т, равна:

Э
нергия, которая выходит из этого объема за то же время, равна:

Э
нергия тепловых потерь в объеме V за то же время равна:

С
равнивая величины этих энергий, получаем:

Анализируя полученные результаты, приходим к сле-дующему выводу. В хорошо проводящей среде волны Е и Н распространяются с одинаковой скоростью которая зависит от частоты.

Амплитуды векторов поля затухают в направлении распространения, что вызывается поглощением энергии средой (тепловые потери). Быстрота затухания амплитуд характеризуется множителем , где

(5-9)

На расстоянии, равном длине волны , векторы поля практически обращаются в нуль, так как Отношение комплексных амплитуд и равное вол-новому сопротивлению, число комплексное:

---

Следовательно, волны E и H сдвинуты по фазе на

Значения параметров волны для различных сред представлены в табл. 5-1.

Поляризация электромагнитных волн

Поляризация характеризует ориентацию вектора Е электромагнитной волны.

Как было указано выше ,в случае линейной поляризации плоской электромагнитной волны вектора Е, не меняя своего направления во всех точках пространства, изменяется по абсолютной величине.

Е

сли область, в которой распространяется плоская гармоническая волна — идеальный диэлектрик, то амплитуды векторов поля имеют постоянную величину. Затухание, которое имело бы место в случае конечной проводимости среды, не играет роли в поляризации. Ограничимся рассмотрением линейно поляризованной волны, распространяющейся в направлении положительной оси z. Если вектор Е направлен по оси х, то вектор Н будет направлен по оси у и выражения векторов поля примут вид:

Е
сли вектор Е параллельно направлен оси у, то:

В
случае произвольной ориентации вектора Е в плоскости хОу , его можно разложить на составляющие и , тогда

где - угол между направление вектора Е и осью х .

О
бозначив получим:

Д
лина вектора

а
угол определится из соотношения

Следовательно, наложение двух гармонических линейно поляризованных волн , векторы Е которых взаимно перпендикулярны, а фазы совпадают, дает линейно поляризованную волну.

Рассмотрим теперь две гармонические линейно поляризованные волны, электрические векторы которых взаимно перпендикулярны, а амплитуда и начальные фазы неодинаковые:

Ч


тобы найти геометрическое место, которое описывает конец вектора Е= при фиксированной координате z , надо решить совместно уравнения

После преобразования получим:

В
озведя в квадрат и сложив, получим:

В случае эллипса ab - должно быть больше нуля, что имеет место в рассматриваемом случае. Таким образом , вектор Е, перпендикулярный направлению распространения z, в фиксированной точке пространства вращается, из-меняя свое абсолютное значение так, что конец его описывает 8ллипс (рис. 5-7). Рассмотренный вид поляризации называется эллиптической. При изменении координаты z конец вектора Е скользит по поверхности прямого цилиндра с эллиптическим сечением.

Оси эллипса могут не совпадать с осями х и у. Поворотом координатных осей их можно совместить.

Можно показать, что конец вектора Н также перемещается по эллипсу. Большие оси обоих эллипсов взаимно перпендикулярны. В зависимости от направления вращения вектора Е поляризация называется правой или левой. В случае правой поляризации направление вращения и направление распространения подчиняются правилу правого винта

Если , что будет иметь место при и , уравнение эллипса вырождается в прямую и поляризация волны будет линейной.

Если и , рассматриваемое уравнение переходит в уравнение окружности. В этом случае поляризация называется круговой. Конец вектора Е при изменении координаты z описывает винтовую линию на поверхности прямого цилиндра с круглым сечением.

---

3. Явление поверхностного эффекта

Установлено, что переменный ток, проходящий по про­воднику, распределяется неравномерно по сечению провод­ника. Плотность тока в различных точках сечения будет неодинаковой.

В цилиндрическом проводнике круглого сечения наи­большая плотность тока будет у поверхности проводника, наименьшая на оси. Чем больше проводимость проводника и его магнитная проницаемость, чем больше частота тока, тем более неравномерным будет распределение тока. Явле­ние это носит название поверхностного эффекта. В связи с поверхностным эффектом изменяются актив­ное сопротивление и индуктивность проводника. С увели­чением частоты активное сопротивление растет, а индуктив­ность уменьшается. При очень высоких частотах практи­чески Можно считать, что весь ток проходит по поверхности проводника, а внутренний магнитный поток обращается в нуль. Внутри проводника электромагнитного поля нет.

При исследовании процесса распространения плоской волны в проводящей среде было выяснено, что амплитуда проекций векторов поля уменьшается в направлении рас­пространения. Меняется также и их фаза. Электромагнитная волна, проникая вглубь проводника через его поверхность, постепенно теряет свою энергию. Энергия волны преобра­зуется в тепло. Амплитуды векторов поля уменьшаются по величине в направлении распространения волны. Если на поверхности проводника при нормальном падении волны амплитуды равны E0т и H0m, то на расстоянии z от поверх­ности в направлении распространения волны они уменьшатся в еkz раз, где

Фазы векторов поля на поверхности проводника и на расстоянии z от поверхности будут отличаться на угол

Соответственно уменьшится и плотность тока проводимости

В точке, удаленной от поверхности на расстоянии z, равном длине волны λ, векторы поля уменьшатся в еkλ раз.

Так как

еkλ=e2π,

то практически векторы поля обратятся в нуль.

При наличии нескольких токонесущих проводов на распределение тока по сечению окажут влияние и токи соседних проводов. Явление это носит название эффекта близости.

Поверхностный эффект в цилиндрическом проводнике

Рассмотрим явление поверхностного эффекта при про­хождении синусоидального тока по металлическому ци­линдрическому проводу круглого сечения. Токами смеще­ния внутри провода можно пренебречь, так как они исче­зающе малы по сравнению с токами проводимости. Провод будем считать прямым и очень длинным. Влиянием обрат­ного провода пренебрегаем, т. е. считаем его достаточно удаленным. При сделанных предположениях будет иметься осевая симметрия. Линии вектора Н являются окружно­стями, лежащими в плоскости, перпендикулярной к оси провода, с центрами на оси. На одном и том же расстоянии от оси модуль вектора напряженности магнитного поля

будет одинаковым. Вектор плотности тока направлен параллельно оси провода и на одинаковом расстоянии от оси имеет одно и то же значение. Ось z цилиндриче­ской системы координат совместим с осью провода и будем считать, что положи­тельное направление тока совпадает с на­правлением оси z. Тогда векторы поля бу­дут иметь по одной проекции (рис.6-1.)

---

Обозначим радиус провода а и ток в проводе При установившемся режиме векторы Н и меняются во времени также по синусоидальному закону. Следовательно, поле можно описать уравне­ниями Максвелла, записанными в комплексной форме:

Раскрыв выражение ротора в цилиндрической системе координат и подставив вместо величину получим:

Частные производные заменены обычными, так как искомые величины зависят только от одной координаты r.

Решая эту систему уравнений, получаем:

Обозначим

Тогда

Полученное уравнение представляет собой видоизменен­ное уравнение Бесселя, каноническая форма которого сле­дующая:

Каждому значению параметра р соответствует пара фундаментальных решений

Функция Jp(ω) называется функцией Бесселя первого рода р-го порядка. Величины и -постоянные.

Приведем полученное выше уравнение к каноническому виду; положим

Тогда

Введя новое переменное ω в уравнение и упростив его, получаем:

Сравнив это уравнение с канонической формой уравнения Бесселя, находим, что они совпадают при р = 0. Следовательно, решение уравнения удовлетворяется функ­циями Бесселя нулевого порядка. Вторая функция Np(ω) называется функцией Бесселя второго рода р-го порядка (она называется также функцией Неймана):

Известно, что при

Так как плотность тока — величина конечная, то по­стоянная должна быть равной нулю; в противном случае на оси провода (r=0) плотность тока получалась бы бес­конечно большой. Таким образом, искомая плотность тока определяется выражением, в которое входит функция Бес­селя первого рода нулевого порядка. Эта функция моно­тонно возрастает и может быть представлена в виде знако­переменного ряда

Так как ω - число комплексное, то и функция J0(ω) - комплексное число. Обозначим модуль функции b0, а аргу­мент β0: J0(ω)=b0ejβ0

Величину

называют функцией Бесселя первого рода первого порядка. Ее можно записать следующим образом:

В таблице (приложение 5) приведены значения b0, β0, b1 β1 для различных значений аргумента ω.

Нетрудно убедиться в справедливости равенства

Для определения постоянной интегрирования выразим амплитуду заданного тока в проводе через плотность тока (рис. 6-2)

Искомая постоянная равна:

Тогда плотность тока можно записать следующим обра­зом:

Если начальная фаза заданного тока равна нулю:

то

Величина Im/πa2 равна амплитуде средней плотности тока.

На рисунке показана кривая зависимости . С увеличением частоты плотность тока на оси убывает, а

на поверхности растет. При r=a плотность тока будет наибольшей

Зная плотность тока, можно определить напряженность магнитного поля

На рис. 6-4 показана кривая Hm=f(r). Наибольшее значение Н принимает на поверхности провода. Если ам­плитуда тока не меняется, то с изменением частоты амплитуда напряженности поля Нт вне провода ме­няться не будет. Внутри проводника в одной и той же точке величина Нт с увеличением частоты умень­шается. Уменьшается и Фвн.

---

Т ак как модуль функ­ций Бесселя растет с уве­личением аргумента то чем выше частота переменного тока, магнитная проницаемость и про­водимость проводника, чем больше его радиус, тем сильнее сказывается явление поверхностного эффекта, тем быстрее затухает электромагнитная волна, проникающая вглубь проводника через его поверхность из окружающего провод диэлектрика.

Активное сопротивление и внутренняя индуктивность цилиндрического провода с учетом поверхностного эффекта

Активное сопротивление участка провода длиной l равно r=P/I2, где Р мощность тепловых потерь на участке.

Воспользуемся теоремой Пойнтинга в комплексной форме

Поверхность интегрирования показана на рисунке. На боковой поверхности

следовательно,

Что касается потока через заштрихованные площадки, то он равен нулю. Поэтому искомая мощность

Активное сопротивление провода

Индуктивное сопротивление, обусловленное внутренним магнитным полем,

Так как

то

Внутренняя индуктивность

На рис. 6-6 показаны кривые r=f(ω); LBH=f2(ω). Как видно из рисунка, при увеличении частоты актив­ное сопротивление растет, а индуктивность уменьшается. При ω=0, т.е. в случае постоянного тока,

При очень большой частоте отношение b0a/ b1a стремится к единице, а стремится к π/2. Следовательно, ак­тивное сопротивление

Подставив значения (для меди) γ = 5,75*107 1/ом м, получим величину активного со­противления на единицу длины медного провода

Следовательно, активное сопротивление двухпроводной ли­нии в области радиочастот будет равно

Теорема умова — пойнтинга

Теорема Умова — Пойнтинга выражает закон сохра­нения энергии в электромагнитном поле. Она связывает изменение энергии в каком-либо объеме с потоком ее через поверхность, ограничивающую этот объем.

Энергия электромагнитного поля в объеме V

Она непрерывно меняется во времени.

Изменение (увеличение) энергии в указанном объеме

Запишем уравнения Максвелла для среды с ε = const, μ = const и γ= const:

Из этих уравнений найдём:

Тогда изменение энергии электромагнитного поля может быть выражено следующим образом:

Из курса векторного анализа известно, что

Следовательно,

Обозначим векторное произведение

Его называют вектором Пойнтинга.

Величина П измеряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м²).

По теореме Остроградского

и
, следовательно,

Полученное выражение носит название теоремы Умова — Пойнтинга: поток вектора Пойнтинга, входящий в замк­нутую поверхность S, равен сумме двух мощностей, одна из которых является мощностью тепловых потерь внутри объема V, ограниченного поверхностью S, а другая соответствует изменении энергии электромагнитного поля в том же объеме.

Мощность тепловых потерь всегда положительна. Мощность ρ_эм, соответствующая изменению энергии элек­тромагнитного поля, может быть и положительном и отрицательно.

---

Смотрите также файлы

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx

• Ekonomika.pdf

• otvety на экзамен с 21 вопроса.docx

• Вопросы к экзамену.docx

• Общественное производство.docx