Кафедра электротехники и электрических машин

Лекция № 33

по дисциплине «Теоретические основы электротехники, ч.3»

для студентов направления подготовки:

13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника»

Тема № 13. Магнитное поле постоянного тока

Краснодар 2015 г.

Цели: 1. Формирование следующих компетенций:

1. ОПК-2: Способность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач

2.ОПК-3: Способность использовать методы анализа и моделирования электрических цепей

2. Формирование уровня обученности:

должны знать методы анализа и моделирования электрических цепей и электромагнитного поля при решении профессиональных задач;

методы анализа и моделирования электрических цепей.

Материальное обеспечение:

Проектор, ПК, комплект слайдов «ТОЭ, тема 13».

Учебные вопросы

Вводная часть.

Основная часть:

1. Магнитное поле постоянного тока, его уравнения, граничные условия.

2. Расчет индуктивности, взаимной индуктивности простейших устройств.

Заключение.

Литература

1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник для бакалавров – 11-е изд., перераб. и доп. / Л.А. Бессонов. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 317 с.

---

1. Магнитное поле постоянного тока, его уравнения, граничные условия.

Основные величины, характеризующие магнитное поле

При исследовании магнитного поля необходимо уста­новить его свойства. О свойствах поля судят по воздей­ствию поля на неполевую форму материи — на вещество. Воздействие это зависит как от свойств поля, так и от свойств вещества, вносимого в поле.

Основным свойством неизменного во времени магнит­ного поля является силовое воздействие его как на движу­щиеся в нем заряженные тела, так и на неподвижные про­водники с электрическим током.

К

ак показывает опыт, магнитное поле обладает опре­деленной направленностью, оно является векторным по­лем. Для изучения свойств поля и количественного опи­сания его необходимо ввести физическую величину, которая определила бы интенсивность поля в каждой точке про­странства. Такой величиной, ха­рактеризующей магнитное поле, является вектор магнитной индукции В. Зная значение и направление вектора В, можно установить свойства магнитного поля и вызываемых им явлений.

Вектор В можно, например, опре­делить по силе, с которой магнит­ное поле действует на контур с током.

Пусть проводник с постоянным током I помещен в магнитное поле с индукцией В. Если размеры по­перечного сечения проводника малы по сравнению с длиной, его можно считать линейным. Линейным элементом тока называют произведение тока на элемент длины провод­ника Idl.

Сила, действующая на линейный элемент тока, может быть определена по формуле

(3-1)

Проинтегрировав выражение, можно определить силу, действующую на весь проводник. Сила F зависит от величины тока, от размеров и ориентации проводника, от величины магнитной индукции, которая характеризует интенсивность поля. Измерив силу F, ток I, зная длину проводника и его положение в поле, можно определить магнитную индукцию В.

Магнитная индукция измеряется в теслах (тл). В си­стеме СГСМ она изменяется в гауссах (гс):

1 тл =10⁴гс.

Всякий электрический ток образует вокруг себя маг­нитное поле. Связь между током и возбужденным им в пус­тоте магнитным полем может быть выражена в дифферен­циальной форме следующим образом:

где δ — плотность тока в проводнике; dV — элементар­ный объем проводника; R — расстояние от dV до точки, в которой определяется В; μ₀ — магнитная постоянная, равная 4π• 10^-7гн/м.

Если размеры поперечного сечения проводника малы по сравнению с длиной проводника и расстоянием до точки наблюдения (проводник линейный), можно положить:

Следовательно,

Проинтегрировав, можно определить:

где L — контур, по которому проходит постоянный ток I.

Если контур с током находится в каком-либо веществе, то величина магнитной индукции будет отличной от В₀ в μ раз:

Безразмерная величина р называется магнитной проницаемостью. Ее называют также относитель­ной магнитной проницаемостью. Произведение магнитной проницаемости и магнитной постоянной обозначают р_а и называют абсолютной магнитной проницаемостью.

---

Изменение магнитной индукции в различных средах при одном и том же значении тока объясняется тем, что магнитное поле возбуждается не только током, проходящим по проводнику, но и внутримолекулярными токами веще­ства, окружающего проводник. Другим основным векто­ром магнитного поля является вектор напряженности Н, равный магнитной индукции В, деленной на абсолютную магнитную проницаемость μ_а:

Напряженность магнитного поля в отличие от магнит­ной индукции не зависит от свойств среды.

Для линейного проводника с током

Выражение представляет собой закон Био—Савара—Лапласа в интегральной форме.

Как было отмечено выше, магнитная индукция В в раз­личных средах при одном и том же возбуждающем поле токе I (при одной и той же напряженности) разная.

Величина индукции обусловлена не только током в про­воде I, но и внутримолекулярными токами вещества, окру­жающего провод. Опыт показывает, что всякое вещество, внесенное в магнитное поле, намагничивается. Внутримо­лекулярные токи под действием внешнего поля определен­ным образом ориентируются и их магнитное поле, слагаясь с внешним полем, меняет его.

Собственное макроскопическое магнитное поле вещества можно характеризовать вектором J, который называется вектором намагниченности. Этот вектор определяет, насколько магнитная индукция в данной среде В = μ_аН отличается от магнитной индукции в вакууме В₀ = μ₀Н при одной и той же напряженности магнитного поля

В однородных средах при слабых магнитных полях на­пряженность и намагниченность пропорциональны:

Безразмерный коэффициент k_M называется магнит­ной восприимчивостью.

Связь между тремя векторами магнитного поля можно записать следующим образом:

Следовательно,

Напряженность магнитного поля Н и намагниченность J в системе СИ измеряются в амперах, деленных на метр (а/м). В системе СГСМ напряженность магнитного поля измеряется в эрстедах (э), причем 1 а/м = 4π • 10^-3э.

Опыт показывает, что все вещества обладают магнитными свойствами. Однако у большинства из них магнитные свойства очень слабо выражены. У диамагнитных веществ магнитная проницаемость немного меньше единицы (например, у висмута μ = 0,99983). У парамагнитных веществ μ немного больше единицы (например, у платины μ = 1,00036). Только у ферромагнитных веществ (сталь, никель, пермаллой и др.) магнитная проницаемость значительно больше единицы (порядка 10² — 10⁴), причем проницаемость — величина переменная, μ = f(H). В электротехнических расчетах для всех неферромагнитных веществ принимают μ = 1. В дальнейшем рассматриваются только неферромагнитные среды и принимается μ_а = μ₀ = const.

Магнитный поток и его непрерывность

Поток вектора магнитной индукции

называют магнитным потоком. Магнитный поток измеряется в веберах (вб). В системе СГСМ магнитный поток измеряется в максвеллах (мкс):

---

1 вб — 10⁸мкс.

Магнитную индукцию можно определить как плот­ность магнитного потока. Если площадь S перпендикулярна вектору В и поле однородное, то Ф = BS.

Установлено, что магнитный поток сквозь замкнутую поверхность всегда равен нулю:

Пользуясь теоремой Остроградского, можно записать:

Это равенство справедливо для любого объема. Следо­вательно,

div В = 0.

Магнитное поле не имеет истоков. Оно является соленоидальным полем.

Картина магнитного поля графически изображается с помощью линий вектора В (магнитных линий). Эти линии всегда замкнуты либо уходят в бесконечность. Положительным направлением их выбирается то направление, куда будет обращен северный полюс магнитной стрелки, внесенной в поле.

В средах с постоянной магнитной проницаемостью

divH = 0.

Закон полного тока

Основным законом, характеризующим свойства маг­нитного поля, является закон полного тока, который уста­навливает связь между напряженностью магнитного поля и током. Он гласит: циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов, которые охвачены контуром интегрирования:

Положительное направление тока связано с направле­нием обхода контура правилом правого винта. Если обо­значить плотность тока δ_полн, то ток, проходящий через поверхность S, ограниченную кривой L,

Пользуясь теоремой Стокса, можно записать равенство

Следовательно,

Так как это равенство справедливо для всех значений предела интегрирования S, то подынтегральные функции равны между собой:

Полученное уравнение представляет собой дифференциальную форму записи закона полного тока для неизменных во времени полей и носит название первого уравнения Максвелла. Оно указывает на то, что магнитное поле вихревое. В вихревом поле работа сил поля по замкнутым кривым не всегда равна нулю.

Пользуясь уравнениями rot Н = δ_полн, div μ_аН = 0, можно рассчитать магнитное поле. Для области, не занятой токами (вне проводников с токами),

Эти уравнения аналогичны уравнениям электростатического поля в диэлектрической среде при отсутствии объемных зарядов. Следовательно, поле в области, не занятой токами, можно рассматривать как потенциальное и характеризовать скалярной функцией φ_м, положив grad φ_м = -Н. Величину φ называют скалярным магнитным потенциалом.

Векторный потенциал магнитного поля

Если требуется определить напряженность магнитного поля Н по заданной плотности тока δ, то непосредственное решение первого уравнения Максвелла rotH = δ может привести к сложным расчетам. В некоторых случаях удобнее вначале определить величину А, которая называется векторным потенциаломи связана с величиной Н соотношением

Так как написанное выражение определяет векторный потенциал не однозначно, надо задать дивергенцию А. Положим . Если подставить в первое уравнение Максвелла вместо напряженности магнитного поля Н равную ей величину , то получим .

---

Известно, что

Так как по условию , то

Векторный потенциал магнитного поля определяется по уравнению Пуассона. Решив дифференциальное уравнение, находим А. Решение уравнения может быть записано и в виде интеграла

где R — расстояние от точки, в которой определяется векторный потенциал, до элементов объема dV, на которые разбит весь объем V; δ — плотность постоянного тока. Этим решением удобно пользоваться тогда, когда интеграл легко вычисляется. Если ток течет по линейному провод­нику, то

Векторный потенциал магнитного поля линейного тока

Зависимость между магнитным потоком и векторным потенциалом

По определению магнитный поток равен:

Используя соотношение

получаем:

Преобразовав этот интеграл по теореме Стокса, получим:

Магнитный поток сквозь поверхность S равен циркуляции векторного потенциала вдоль кривой L, ограничивающей эту поверхность. Итак, для определения магнитного потока, пронизывающего площадку S, вычисляется циркуляция векторного потенциала по контуру L, ограничивающему поверхность S. Формулой удобно пользоваться тогда, когда известно значение А на контуре L.

Граничные условия в магнитном поле

На границе двух сред векторы магнитного поля В и Н должны удовлетворять определенным условиям, которые называются граничными.

Р

.

ассмотрим замкнутую цилиндрическую поверхность S. Площадки ΔS небольшие, и поэтому можно считать, что вектор В имеет одинаковые значения во всех точках данной площадки. Поток вектора В через всю поверхность S равен нулю, так как поверхность замкнутая. С другой стороны, поток может быть разбит на три части: Ф₁— поток сквозь верхнюю площадку; Ф₂ — поток сквозь нижнюю площадку и Ф_б — поток сквозь боковую поверхность цилиндра, причем сумма этих потоков должна равняться нулю

Так как

то

Если высоту цилиндра уменьшить так, чтобы верхняя и нижняя площадки ΔS совпали с граничной поверхностью, то поток сквозь боковую поверхность обратится в нуль, и тогда

В_1п = В_2п.

Следовательно, нормальная составляющая вектора маг­нитной индукции на границе двух сред непрерывна. Это первое граничное условие. Так как ,то

т. е. нормальные составляющие вектора напряженности магнитного поля на границе двух сред обратно пропорциональны магнитным проницаемостям этих сред.

Чтобы получить второе граничное условие, составим циркуляцию вектора Н вдоль кривой L. По закону полного тока

Циркуляцию по контуру можно представить в виде суммы трех интегралов, взятых: по верхнему участку Δl, по нижнему участку длиной Δl и по боковым участкам. Если Δl мало и направление обхода контура совпадает с направлением движения часовой стрелки, то можно за­писать:

Уменьшая длину боковых сторон так, чтобы участки Δl совпадали с граничной поверхностью, получаем:

Если по граничной поверхности течет конечной вели­чины ток с поверхностной плотностью , то полный ток равен:

---

Смотрите также файлы

• Т_14.doc

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx

• Ekonomika.pdf

• otvety на экзамен с 21 вопроса.docx

• Вопросы к экзамену.docx