Следовательно,

На границе двух сред касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля претерпевает скачок, равный плотности поверхностного тока, протекающего по границе. Если η = 0, т. е. по граничной поверхности ток не протекает, то Н_1τ=Н_2τ, т. е. касательная составляющая вектора Н непрерывна на границе двух сред.

Так как

то

На рисунке изображена одна из линий вектора В у границы двух сред с проницаемостью μ₁ и μ₂. Нетрудно получить соотношение

или

Соотношение это представляет собой закон преломле­ния линий вектора В на границе двух сред.

Энергия магнитного поля

Энергию магнитного поля линейного контура с током можно подсчитать по формуле (ТОЭ, ч. I, гл. 1)

или в случае одного витка

где ψ — магнитное потокосцепление; Ф — магнитный поток.

Чтобы определить, каким образом энергия распределяется в объеме, занятом полем, преобразуем написанное выражение. Площадь S, ограниченную контуром, разобьем на элементарные площадки dS. Магнитный поток сквозь каждую площадку равен:

Весь поток, сцепленный с контуром, получится при интегрировании элементарных потоков сквозь площадь S

П

остроим на контурах, ограничивающих площадки dS, силовые трубки. Так как в магнитном поле линии вектора В всегда замкнуты, то силовые трубки получатся замкнутыми. Они заполнят весь объем V, занятый магнитным полем. Если обозначить ось трубки L, то циркуляция вектора Н вдоль оси любой трубки будет равна току контура

Энергия, заключенная в объеме каждой трубки,

Так как магнитный поток dФ в пределах одной трубки неизменен, то он не зависит от переменной dl и может быть внесен под знак интеграла как постоянная величина

Энергия, заключенная во всех трубках, равна энергии магнитного поля

Таким образом мы получили новое выражение для энергии магнитного поля контура с током

Эта формула справедлива и в случае нескольких контуров с током. Она позволяет определить энергию магнитного поля в самом общем случае. Энергию магнитного поля можно записать и таким образом, чтобы в выражение вошли векторный потенциал А и плотность тока δ. Так как В = rot А, то

Пользуясь выражением

можно записать:

Преобразовав первый интеграл по теореме Остроград­ского, получим:

где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.

Так как магнитное поле занимает неограниченный объем, то S можно представить себе как шаровую поверхность бесконечно большого радиуса R. Вектор [АН] убывает в функции расстояния не медленнее 1/R³, тогда как поверхность растет не быстрее R².

Следовательно, при R→∞

Тогда, записав по первому уравнению Максвелла вместо rotH плотность тока δ, получим:

причем интегрирование распространяется только на область V, занятую токами. Вне этой области δ = 0 и величина интеграла не изменится.

2. Расчет индуктивности, взаимной индуктивности простейших устройств

---

Расчет магнитного поля чаще всего сводится к определению вектора напряженности Н. Величины токов и положения проводников, по которым эти токи протекают, должны быть заданы. Если рассматривается поле в неферромагнитной среде, можно считать, что

гн/м.

Если непосредственное определение напряженности маг­нитного поля Н связано с большими математическими труд­ностями, удобно вводить векторный потенциал. Определив векторный потенциал, можно легко найти напряженность поля.

При расчете магнитных полей могут быть применены следующие методы:

метод наложения; применение закона полного тока в интегральной форме; применение первого уравненияМаксвелла; применение уравнений Пуассона и Лапласа для векторного потенциала; метод зеркальных изображений; метод конформных преобразований; графический метод расчета и ряд других методов. Ниже на ряде конкретных примеров будут рассмотрены некоторые из перечисленных выше методов.

Расчет магнитного поля одиночного провода

По прямому цилиндрическому проводу круглого сечения протекает ток I. Радиус провода а. Требуется определить напряженности магнитного поля внутри и вне провода, считая его уединенным и бесконечно длинным.

В силу симметрии линии вектора Н являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны оси провода. Центры этих окружностей лежат на оси цилиндра. На одинаковых расстояниях от оси цилиндра численное значение вектора Н одно и то же

Рассмотрим линию вектора Н внутри провода. Циркуляция Н_вн по этой линии равна охваченному току

Так как Н_вн вдоль контура интегрирования имеет одинаковое чис­ленное значение и направлена по касательной к линии L, то

Приравняв циркуляцию и полный ток, получим:

На поверхности проводника напряженность поля имеет наибольшее значение.

Если контур интегрирования L провести вдоль линии вектора Н вне провода, циркуляция Н_вш равна току в проводе:

Следовательно,

На границе

На рисунке показана кривая

Определим векторный потенциал А. Направление векторного потенциала совпадает с направлением вектора плотности тока. Следовательно, для прямого проводника с током вектор А направлен параллельно оси провода. Если ось z цилиндрической системы координат совме­стить с осью провода, то векторы А и Н будут иметь по одной про­екции А = A_z, Н =H_ф, которые зависят от координаты z. Так как по определению векторного потенциала

то в рассматриваемом случае

Внутри провода

Если принять А_вн = 0 при z=a, постоянная интегрирования равна:

Поэтому

Вне провода

Так как векторный потенциал непрерывен, то при А_вн = = A_вш. Постоянная интегрирования в выражении А_вш равна:

Следовательно,

Линии вектора Н определяются равенством . Вдоль них векторный потенциал постоянен. Это положение справедливо для любого плоскопараллельного магнитного поля.

---

Магнитный поток внутри провода на участке длиной I

Следовательно,

Чтобы подсчитать потокосцепление ψ_вн, найдем часть тока I, с которым сцеплен поток dФ_вн, пронизывающий площадку dS=I dr. Эта часть тока будет относиться к току I, как πr² относится к πа².

Искомое потокосцепление определяется из выражения

Так как , то . Следовательно, потокосцепление в рассматриваемом случае в 2 раза меньше потока.

Зная потокосцепление, можно найти внутреннюю индуктивность одиночного провода

Как видно из формулы, L_BH не зависит от радиуса провода. Внешний поток и потокосцепление будут равны. Внешняя индуктивность одиночного провода будет равна бесконечности, так как обратный провод бесконечно удален от рассматриваемого.

Энергию магнитного поля в объеме можно подсчитать по двум формулам:

или

В обоих случаях она равна:

Расчет индуктивности двухпроводной линии.

О

пределить индуктивность двухпроводной линии передачи электрической энергии. Провода параллельны, и расстояние между их осями d. Радиусы проводов одинаковы и равны а. Магнитный поток, сцепленный с линией на участке длиной I, можно записать в виде суммы трех потоков . Первое слагаемое представляет собой внешний магнитный поток

Пользуясь принципом наложения, можно найти магнитную индукцию В_вш как сумму двух векторов, каждый из которых представляет собой магнитную индукцию одиночного провода. При этом допускается некоторая не­точность, так как благодаря эффекту близости в двухпроводной линии ток не будет равномерно распределен по сечению, как это имеет место в одиночном проводе.

Если выбрать направление обхода контура по линии 56785, а токи в проводах направить, векторы В_вш и dS совпадут по направлению и внешний магнитный поток

Так как Ф_ВШ сцеплен с током I 1 раз, то потокосцепление Ψ_ВШ будет равно поток Ф_ВШ:

Внутренний магнитный поток и потокосцепление, если не учитывать наличие второго провода, можно определить из выражений

Так как линия двухпроводная, то

Соответственно

Зная потокосцепление, можно определить индуктивность двухпроводной линии

Для проводов из неферромагнитного материала магнитная проницаемость μ может быть принята равной единице.

Обычно в линии расстояние . Поэтому и величина . Положив и отбросив второе слагаемое в выражении индуктивности, находим:

После замены натурального логарифма десятичным, учитывая, что гн/м, получим выражение индуктив­ности на единицу длины линии:

гн/м.

Р

ассмотрим точку m на граничной плоскости.

Напряженность магнитного поля и ее составляющие в этой точке определяются методом наложения:

В той же точке напряженность магнитного поля и ее составляющие от тока I₂ равны:

Согласно граничным условиям

или

Следовательно,

Решив эти уравнения, получим фиктивные токи:

Зная фиктивные токи, находим векторы магнитного поля в области I:

---

где rʹ — расстояние от выбранной точки до первого провода; г" —расстояние от той же точки до второго провода.

Векторы магнитного поля в области II

где r₂ — расстояние от выбранной точки до провода с током I₂.

---

Смотрите также файлы

• Т_14.doc

• ChTOB_SDAT_NA_5.docx

• Ekonomika.pdf

• otvety на экзамен с 21 вопроса.docx

• Вопросы к экзамену.docx