ВУЗ: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Электроника
Добавлен: 23.10.2018
Просмотров: 13570
Скачиваний: 22
26
где
в
случае
электронного
и
дырочного
полупроводников
соот
-
ветственно
запишем
:
(
) /
;
;
n
C
T
n
F
C
C
n
N
η = ϕ − ϕ
ϕ χ = ϕ − ϕ ν =
;
(
) /
;
;
.
p
V
T
p
V
F
V
p
N
η = ϕ − ϕ ϕ χ = ϕ − ϕ ν =
Величину
χ ,
входящую
в
интегральное
уравнение
(1.10),
в
статистической
физике
называют
химическим
потенциалом
.
Химический
потенциал
является
функцией
концентрации
соответствующих
частиц
.
О
наличии
химического
потенциала
можно
говорить
только
в
том
случае
,
если
концентрации
элек
-
тронов
и
дырок
в
полупроводнике
различные
,
т
.
е
.
полупровод
-
ник
примесный
.
При
равенстве
концентраций
электронов
и
ды
-
рок
полупроводник
собственный
и
химический
потенциал
равен
нулю
.
В
компенсированном
полупроводнике
имеет
место
нали
-
чие
химических
потенциалов
дырок
и
электронов
,
но
они
равны
по
абсолютной
величине
и
направлены
навстречу
друг
другу
,
в
результате
чего
результирующий
химический
потенциал
равен
нулю
.
Разность химических потенциалов означает наличие
разности концентраций электронов или дырок в разных объ-
емах полупроводника (полупроводников), что, естественно,
вызывает перемещение — диффузию частиц в направлении
от большей концентрации к меньшей.
Таким
образом
,
разность
химического
потенциала
характеризует
возможность
диффузии
сводных
частиц
(
заряженных
или
незаряженных
),
подобно
тому
,
как
электрический
потенциал
характеризует
возможность
дрейфа
свободных
заряженных
частиц
.
Потенциал
Ферми
можно
запи
-
сать
в
виде
алгебраической
суммы
электрического
и
химического
потенциалов
:
;
F
C
n
ϕ = ϕ + χ
(1.11
а
)
.
F
V
p
ϕ = ϕ − χ (1.11
б
)
Отсюда
следует
еще
одно
название
величины
F
ϕ
—
элек
-
трохимический
потенциал
.
Градиент потенциала Ферми, бу-
дучи суммой градиентов электрического и химического по-
тенциалов, позволяет одновременно характеризовать оба ти-
па движения носителей — диффузию и дрейф.
27
В
условиях
равновесия
,
когда
направленного
движения
но
-
сителей
нет
,
должно
выполняться
условие
0
F
grad
ϕ =
,
т
.
е
.
.
F
const
ϕ =
Постоянство («горизонтальность») уровня Ферми в рав-
новесной системе является одним из фундаментальных соот-
ношений теории твердого тела. Заметим, что условие
ϕ
F
= const не означает постоянства каждого из слагаемых
ϕ
c
и
ϕ
F
. Иначе говоря, в равновесной системе могут иметь ме-
сто градиенты электрического и химического потенциалов
и соответственно дрейфовые и диффузионные потоки носите-
лей. Эти потоки должны взаимно уравновешиваться, т. е.
например, диффузионный поток электронов равен дрейфо-
вому потоку и потоки направлены навстречу друг другу.
Для
определения
химических
потенциалов
n
χ
,
p
χ
и
потенци
-
ала
Ферми
через
концентрации
n
и
p
нужно
решить
интегральное
уравнение
(1.10).
В
общем
виде
аналитического
решения
интеграла
нет
,
однако
в
двух
частных
случаях
,
принципиально
важных
для
практики
,
получаются
аналитические
решения
.
1.
Положим
0
χ <
и
Т
χ >> ϕ .
Тогда
,
пренебрегая
единицей
в
знаменателе
подынтегрального
выражения
,
т
.
е
.
используя
рас
-
пределение
Максвелла
—
Больцмана
,
получаем
уравнение
T
e
χ
ϕ
= ν,
решением
которого
будут
химические
потенциалы
:
ln
n
T
C
n
N
χ = ϕ
;
ln
p
T
V
p
N
χ = ϕ
.
(1.12)
Учитывая
,
что
решение
уравнения
получено
при
условии
0
χ < ,
приходим
к
выводу
,
что
полученные
решения
справедливы
при
условии
1
ν << .
Полупроводники
,
у
которых
выполняется
это
условие
,
т
.
е
.
концентрация
свободных
носителей
меньше
эффек
-
тивной
плотности
состояний
,
называют
невырожденными.
Потенциал Ферми для невырожденных полупроводни-
ков можно записать в виде:
ln
;
F
C
T
C
n
N
ϕ = ϕ + ϕ
(1.13
а
)
ln
.
F
V
T
V
p
N
ϕ = ϕ − ϕ
(1.13
б
)
28
Из выражений (1.13а) и (1.13б) следует, что потенциал
Ферми в невырожденных полупроводниках лежит в запре-
щенной зоне.
Вычитая
или
складывая
выражения
(1.13),
легко
получить
соответственно
выражения
(1.8)
и
(1.9).
Также легко видеть, что
у невырожденных полупроводников потенциал Ферми всегда
лежит в запрещенной зоне, поскольку логарифмы в обоих
выражениях (1.13) отрицательны.
2.
Положим
0
χ >
и
Т
χ >> ϕ .
Тогда
при
выполнении
усло
-
вия
T
χ
η > ϕ
подынтегральное
выражение
быстро
приближается
к
нулю
,
и
интегрирование
в
этом
диапазоне
не
имеет
смысла
.
По
-
этому
примем
в
качестве
верхнего
предела
интегрирования
T
χ
η = ϕ
.
Выполнив
интегрирование
,
получим
простое
уравнение
2
2
3
3
3
(
)
4
n
T
C
n
N
⎛
⎞
π
χ =
ϕ
⎜
⎟
⎝
⎠
;
2
2
3
3
3
(
) .
4
n
T
C
n
N
⎛
⎞
π
χ =
ϕ
⎜
⎟
⎝
⎠
Эти
решения
действительны
практически
при
3
η ≥ .
Полупроводники
,
у
которых
соблюдается
условие
1
ν > ,
т
.
е
.
концентрация
свободных
носителей
существенно
превышает
эф
-
фективную
плотность
состояний
в
разрешенной
зоне, называют
вырожденными или полуметаллами.
Для них распределение Максвелла — Больцмана недей-
ствительно.
Критерии
вырождения
можно
записать
в
виде
;
C
n
N
>
(1.14
а
)
.
V
p
N
>
(1.14
б
)
В
неравновесном
состоянии
значения
потенциалов
Ферми
в
(1.13
а
)
и
(1.13
б
),
вообще
говоря
,
различны
,
т
.
е
.
происходит
рас
-
щепление
потенциала
Ферми
,
тогда
их
называют
соответственно
квазиуровнями
Ферми
для
электронов
и
дырок
.
1.7
Концентрация
носителей
в
полупроводниках
Рассмотрим
концентрации
носителей
для
различных
типов
полупроводников
.
29
В
собственном
полупроводнике
концентрации
свободных
электронов
и
дырок
одинаковы
:
i
i
n
p
=
.
Тогда
из
формул
(1.9)
и
(1.13)
следует
,
что
при
любой
температуре
уровень
Ферми
соб
-
ственного
полупроводника
расположен
вблизи
середины
запре
-
щенной
зоны
.
Подставляя
i
i
n
p
=
в
формулу
(1.8),
получаем
кон
-
центрации
свободных
электронов
и
дырок
в
собственном
полу
-
проводнике
:
.
З
З
Т
T
З
i
i
C
V
c
v
T
n
p
N N e
N e
N e
ϕ
ϕ
−
ϕ
ϕ
−ϕ
=
=
≈
≈
ϕ
(1.15)
Зависимость
собственных
концентраций
i
n
и
i
p
от
темпера
-
туры
очень
сильна
и
обусловлена
в
основном
величиной
темпе
-
ратурного
потенциала
,
т
.
е
.
зависит
от
энергии
кристаллической
решетки
.
Изменение
энергии
кристаллической
решетки
приводит
к
изменению
колебаний
атомов
в
узлах
кристаллической
решет
-
ки
,
следовательно
,
изменяется
вероятность
нахождения
электро
-
нов
(
дырок
)
на
уровнях
в
разрешенной
зоне
.
Столь
же
сильно
зависит
собственная
концентрация
от
ши
-
рины
запрещенной
зоны
при
постоянной
температуре
.
Так
,
срав
-
нительно
небольшое
различие
в
величине
З
ϕ
у
германия
и
крем
-
ния
(0,67
эВ
и
1,11
эВ
)
приводит
к
различию
собственных
кон
-
центраций
при
комнатной
температуре
на
3
и
более
порядков
.
Сравнивая
(1.8)
и
(1.15),
соотношение
(1.8)
можно
записать
в
бо
-
лее
компактной
форме
:
2
.
i
np
n
=
(1.16)
Соотношение
(1.16)
говорит
о
том
,
что
увеличение
концен
-
трации
одного
типа
носителей
сопровождается
уменьшением
концентрации
другого
типа
носителей
.
Из
выражения
(1.16)
сле
-
дует
,
что
в
полупроводниках
с
различной
шириной
запрещенной
зоны
,
а
следовательно
,
с
различной
собственной
концентрацией
,
при
одинаковой
концентрации
электронов
(
дырок
)
концентрация
дырок
(
электронов
)
будет
различной
.
Рассмотрим
сказанное
на
конкретном
примере
.
Используя
выражение
(1.16),
запишем
очевидное
соотноше
-
ние
для
полупроводников
из
германия
и
кремния
:
2
2
iГ
Г
Г
К
К
iК
n
n p
n p
n
=
.
30
Используя
соотношение
(1.15),
можно
записать
2
6
10
ЗГ
T
Г
Г
К К
n p
e
n p
ϕ
ϕ
=
≈
.
В
кремниевом
полупроводнике
выполним
условие
10
K
K
n
p
=
,
т
.
е
.
кремниевый
полупроводник
является
ярко
выра
-
женным
электронным
.
Потребуем
,
чтобы
концентрация
электро
-
нов
в
германиевом
и
кремниевом
полупроводниках
была
одина
-
ковой
.
При
выполнении
данного
условия
можно
записать
:
5
10
Г
Г
p
n
=
,
т
.
е
.
германиевый
полупроводник
должен
быть
дырочным
.
Используя
формулы
(1.16)
и
(1.7)
и
полагая
c
v
N
N
=
,
не
-
трудно
выразить
концентрации
n
и
р
через
собственную
концен
-
трацию
i
n
;
E
F
T
i
n
n e
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
(1.17
а
)
.
F
E
T
i
p
n e
ϕ −ϕ
−
ϕ
=
(1.17
б
)
Отсюда
легко
получить
потенциал
Ферми
в
двух
формах
ln
;
F
E
T
i
n
n
ϕ = ϕ + ϕ
(1.18
а
)
ln
.
F
E
T
i
p
n
ϕ = ϕ − ϕ
(1.18
б
)
Для
того
чтобы
определить
потенциал
F
ϕ
по
формулам
(1.13)
или
(1.18),
нужно
знать
концентрации
свободных
носителей
.
На
рис
. 1.10
и
1.11
приведены
зонные
диаграммы
для
элек
-
тронного
и
дырочного
полупроводников
.
При оценке величин
n
и р используют условие нейт-
ральности полупроводника.
Это важное условие формулируется следующим образом:
в однородном полупроводнике не может быть существенных
не скомпенсированных объемных зарядов ни в равновесном
состоянии, ни при наличии тока.