Добавлен: 23.10.2018

Просмотров: 374

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Раздел 3. Математические и инструментальные методы портфельного анализа

Портфельный анализ. Модель Марковица. Формирование таблицы вариантов инвестиционных портфелей. Поддержка решений при оптимизации портфельных инвестиций в условиях стабильной и нестабильной экономики.


Тема 3.1. Портфельный анализ. Модель Марковица

Портфельная теория Марковица (англ. mean-variance analysis) — подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин) — разработанная Гарри Марковицем методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор активов, исходя из требуемого соотношения доходность/риск. Сформулированные им в 1950-х годах идеи составляют основу современной портфельной теории (https://ru.wikipedia.org/wiki/Портфельная_теория_Марковица).

Можно рассмотреть два различных подхода к формированию портфеля.

Первый связан с выбором активов, доходность которых стабильна, но существует не нулевая вероятность потери активов. Тогда цель портфельного анализа состоит в определении оптимального набора активов, при котором риски потерь являются минимальными. Данная стратегия портфельного анализа выражена рекомендацией: «не храните яйца (деньги) в одной корзине (в одном банке, одном активе)».

Второй подход, для которого применима теория Марковица, состоит в выборе совокупности компенсационных активов. Считается, что доходность активов является случайной величиной, но вероятности их полных потерь нулевые. Тогда цель портфельного анализа состоит в выборе совокупности активов, которая обеспечит высокую среднюю доходность (критерий 1) и минимальное отклонение уровня дохода от этого среднего (критерий 2 – риск должен быть минимальным). Снижение риска достигается использованием компенсационных активов, коэффициент корреляции доходностей которых является отрицательным. Модель Марковица позволяет выбрать оптимальный набор компенсационных активов с высокой средней доходностью.

При записи модели используются свойства математического ожидания и формула математического ожидания суммы случайных величин. Пусть для формирования оптимального портфеля выбраны n активов, доходность которых на период инвестирования – случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями . Пусть – доли использования каждого актива в формируемом портфеле, которые удовлетворяют условиям:

. (3.1)

Тогда доходность портфеля на периоде инвестирования – случайная величина, которая зависит от доходности активов и определяется по следующей формуле:

. (3.2)

Найдем математическое ожидание (среднее значение) доходности :

.

Формулу для средней доходности портфеля можно записать в более наглядном виде:

. (3.3)

Из формулы (3.3) следует, что средняя доходность формируемого портфеля определяется средними доходностями активов и долями их включения в портфель.


Найдем выражение для дисперсии доходности портфеля :

.

Откуда получаем формулу для дисперсии портфеля в матричной записи:

. (3.4)

Здесь вектор – доли активов размерностью (1 × n); – вектор столбец долей активов размерностью (n × 1); – ковариационная матрица активов, которая отражает взаимозависимость доходностей выбранных активов, размерностью (n × n).

Модель Марковица предписывает выбор оптимального вектора долей, при котором средняя доходность портфеля должна быть не меньше заданной инвестором величины (ограничение на критерий 1), а уровень риска отклонения доходности от средней величины был бы минимальным (минимизация критерия 2). Математически модель записывается с использованием выражений (3.1), (3.3), (3.4) в следующем виде. Найти из условий:

; (3.5)

; (3.6)

. (3.7)

Задание 3.1. Доказать, что средний уровень доходности портфеля изменяется в пределах: , т.е. от минимальной средней до максимальной средней доходностей выбранных активов:

. (3.8)

Учитывая утверждение в задании 3.1, аналитику следует рекомендовать инвестору указанные там границы для выбора требуемой доходности .

Рассмотрим уровни риска для оценок реальной доходности портфеля. Обозначим границы доходности портфеля: %Низ и %Верх. Математическая статистика дает следующие доверительные интервалы для реальной доходности портфеля (см. формулу (3.2)):

%Низ %Верх, где %Низ = ; %Верх = . (3.9)

Здесь – квантиль распределения доходности, определяемый заданным уровнем доверительной вероятности (для нормального распределения и уровня значимости 5% ).

Задание 3.2. Провести сравнение приведенных формул модели Марковица (3.5) – (3.7), границ изменения средней доходности портфеля (3.8) и уровней риска доходности (3.9) с формулами программы «Портфельный анализ СЭ.xls». Указать номера ячеек листа Excel, в которых вычисляются соответствующие величины.

Тема 3.2. Портфельный анализ. Формирование таблицы вариантов инвестиционных портфелей

Для использования модели Марковица на практике необходимо найти вероятностные оценки ее параметров (эта задача решается в Теме 3.3) и обосновать выбор уровня средней доходности портфеля . Эту задачу решаем в данном разделе путем формирования таблицы вариантов инвестиционных портфелей при разных значениях . В таблице 3.1 приведены 10 вариантов портфеля, сформированного из 5 активов (расчеты проведены в среде Excel).

Таблица 3.1. Пример вариантов портфеля, полученных с использованием модели Марковица при изменении равномерно в пределах 1,8% до 5.1%.

вар

А1

А2

А3

А4

А5

СД %

ДИ%

%Низ

%Верх

1

0,87

0,00

0,00

0,13

0,00

2,73%

1,03%

1,69%

3,76%

2

0,87

0,00

0,00

0,13

0,00

2,73%

1,03%

1,69%

3,76%

3

0,87

0,00

0,00

0,13

0,00

2,73%

1,03%

1,69%

3,76%

4

0,74

0,00

0,00

0,26

0,00

2,93%

1,06%

1,87%

3,98%

5

0,51

0,00

0,00

0,49

0,00

3,29%

1,20%

2,09%

4,49%

6

0,29

0,00

0,00

0,71

0,00

3,65%

1,44%

2,21%

5,09%

7

0,06

0,00

0,00

0,94

0,00

4,01%

1,73%

2,28%

5,75%

8

0,00

0,00

0,27

0,73

0,00

4,38%

2,13%

2,24%

6,51%

9

0,00

0,00

0,63

0,37

0,00

4,74%

2,59%

2,15%

7,33%

10

0,00

0,00

1,00

0,00

0,00

5,10%

3,07%

2,03%

8,17%



В приведенной таблице первые три портфеля совпадают по всем параметрам, так как при выбранных исходных данных ограничение (3.6) модели Марковица выполняется как строгое неравенство. По остальным портфелям наблюдается закономерность в изменении долей активов А1 – А5, включенных в портфель (см. данные столбцов 2 – 6 таблицы). Характерным свойством таблицы вариантов является увеличение риска доходности, определяемого величиной доверительного интервала (столбец ДИ%), с ростом средней доходности (столбец данных СД%).

Задача аналитика состоит в обосновании рекомендации для инвестора по выбору оптимального варианта портфеля. Данная задача может быть решена с использованием экономико-математических методов принятия решений в условиях риска и неопределенности.

При использовании максиминных стратегий (принцип максимальной гарантированной доходности портфеля) оптимальным вариантом в таблице 3.1 следует считать портфель 7.

Задание 3.3. Пояснить порядок выбора варианта 7 и дать его полную характеристику.

Задание 3.4. Обосновать порядок проведения дополнительных расчетов при необходимости повышения точности расчетов оптимального портфеля.

Тема 3.3. Поддержка решений при оптимизации портфельных инвестиций в условиях стабильной и нестабильной экономики

Проведенный выше портфельный анализ базировался на использовании теоретических знаниях и в модели Марковица использованы теоретические модели процессов. Однако в настоящее время не существует теории для оценок параметров этой модели: ковариационной матрицы в формуле (3.4) и прогнозов средних доходностей выбранных активов в формуле (3.3). На практике эти количественные данные оцениваются на основе эмпирического подхода (на основе наблюдений количественных данных).

Следует иметь в виду, что основной принцип эмпирического подхода «так было, так будет!» не всегда выполняется. Эмпирические знания верны для стабильной экономики, для которой комплекс закономерностей формирования событий в прошлом без изменения может быть перенесен на будущее. Тогда для оценок и можно использовать временные ряды совместных значений доходностей в прошлом и статистические методы их обработки. Пример исходных данных квартальных доходностей 5 активов представлен в таблице 3.2.

Таблица 3.2. Квартальные наблюдения процентных ставок по финансовым инструментам

квартала

1

2

3

4

5

1

2,5%

-1,4%

2,2%

2,3%

-2,6%

2

2,9%

4,9%

6,8%

4,8%

3,8%

3

2,4%

1,6%

4,9%

3,7%

0,1%

4

1,8%

2,5%

4,0%

3,4%

0,6%

5

2,2%

4,7%

6,1%

4,8%

2,5%

6

3,5%

4,7%

7,0%

5,5%

6,6%

7

3,3%

-0,4%

2,9%

3,2%

-1,6%

8

2,1%

2,9%

5,5%

4,1%

1,9%

9

1,8%

3,3%

5,9%

4,2%

1,6%

10

2,0%

0,1%

3,3%

3,2%

0,3%

11

3,0%

4,9%

6,8%

5,2%

4,5%

12

2,6%

4,2%

5,8%

4,9%

4,4%

Сред

2,51%

2,67%

5,10%

4,11%

1,84%


На основе этих исходных данных в условиях стабильной экономики можно оценить требуемые параметры. Средние доходности активов приведены в последней строке таблицы 3.2, а ковариационная матрица, вычисленная с использованием встроенной функции КАВАР() приведена в таблице 3.3.

Эмпирический подход для оценки параметров модели Марковица может быть использован в условиях нестабильной экономики, т.е. экономики, для которой в будущем сохраняются тенденции изменений экономических показателей. Тогда для поиска данных, аналогичных таблицам 3.2 и 3.3 применяют эконометрические методы анализа временных рядов.

Таблица 3.3. Оценки ковариационной матрицы формулы (3.4) по данным таблицы 3.2.

i\j

1

2

3

4

5

1

2,925E-05

1,667E-05

1,948E-05

1,877E-05

5,062E-05

2

1,667E-05

0,000456

0,000323

0,000188

0,000498

3

1,948E-05

0,000323

0,000245

0,000139

0,000368

4

1,877E-05

0,000188

0,000139

0,000086

0,000229

5

5,062E-05

0,000498

0,000368

0,000229

0,000659

Состояние экономики, для которой принципы эмпирического моделирования процессов неприменимы, называется кризисной. Профессиональные знания и опыт аналитика направлены на надежную оценку состояния экономики при решении конкретной аналитической задачи.

Методические подходы портфельного анализа в среде Excel с использованием инструмента «Поиск решения» в условиях стабильной и нестабильной экономик приведены в описании соответствующих лабораторных работ.