ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4684
Скачиваний: 6
Лекция 4
31
Из системы
(
T
0
(x) = 1 = c
1
(x) + c
2
(x),
T
1
(x) = x = c
1
(x)(x +
√
x
2
− 1) + c
2
(x)(x
−
√
x
2
− 1).
следует, что
c
1
= c
2
= 1/2. Таким образом,
T
n
(x) =
(x +
p
(x
2
− 1))
n
+ (x
−
p
(x
2
− 1))
n
2
.
Свойства:
1.
T
2n
(x) — чётные функции, T
2n+1
(x) — нечётные функции.
2.
T
n
(x) выражается через косинус, следовательно
|T
n
(x)
|
6
1 при x
∈
[
−1, 1].
3. Из уравнения
T
n
(x) = cos(n arccos x) = 0 получаем, что
x
k
= cos
(2k
− 1)π
2n
,
k = 1, . . . , n
— нули
T
n
(x).
4. Из уравнения
T
0
n
(x) =
− sin(n arccos x)
−n
√
1
−x
2
= 0 получаем, что
ξ
k
= cos
kπ
n
,
k = 0, . . . , n
— точки экстремума
T
n
(x). Заметим, что T
n
(ξ
k
) = (
−1)
k
.
Геометрическая интерпретация.
Если верхнюю полуокружность еди-
ничного радиуса разделить на
n частей, то середины дуг — координаты
нулей, экстремумы — точки деления (рис. 4.1).
Наименьшее отклонение от нуля
Так как
T
0
(x) = 1 и T
n+1
(x) =
2xT
n
(x)
−. . ., то коэффициент при главном члене равен 2
n
−1
. В погрешно-
сти многочлена Лагранжа участвует многочлен
ω
n+1
= (x
−x
0
)
·. . .·(x−x
n
)
с старшим коэффициентом
1. Поэтому рассматривают также изменённый
многочлен Чебышёва
T
x
(n) = 2
1
−n
T
n
(x) со старшим коэффициентом 1.
Справедлива следующая
Лекция 4
32
ξ
0
x
1
ξ
1
x
2
ξ
2
ξ
3
ξ
4
x
3
x
4
Рис. 4.1: Геометрическая интерпретация корней и точек экстремума поли-
нома Чебышёва при
n = 4.
Теорема 4.1. Для всякого многочлена
P
n
(x) степени n с единичным
старшим коэффициентом имеет место неравенство
max
x
∈[−1,1]
|P
n
(x)
|
>
max
x
∈[−1,1]
|T
n
(x)
| = 2
1
−n
,
причём знак равенства возможен только в случае
P
n
(x) = T
n
(x).
Доказательство «
>
». Будем действовать от противного. Пусть найдётся
такой многочлен, что
max
x
∈[−1,1]
|P
n
(x)
| < max
x
∈[−1,1]
|T
n
(x)
| = 2
1
−n
.
(4.4)
Рассмотрим многочлен
Q
n
−1
(x) = T
n
(x)
− P
n
(x) степени не выше n
− 1
(оба слагаемых имеют старший единичный коэффициент). Подставим в
него точки
ξ
k
n
= sin
kπ
n
,
k = 0, . . . , n (точки экстремума многочлена T
n
(x)):
sign(Q
n
−1
(ξ
i
n
)) = sign((
−1)
k
2
1
−n
− P
n
(ξ
k
n
))
из-за (4.4)
=
= sign((
−1)
k
2
1
−n
) = (
−1)
k
.
Заметим, что знак многочлена
Q
n
−1
(x) меняется n + 1 раз на отрезке
[
−1, 1] (т.к. k = 0, . . . , n). Значит, многочлен Q
n
−1
(x) степени не выше
n
− 1 имеет n различных корней. Получили противоречие.
Доказательство единственности.
Из-за последней теоремы многочлен
T
n
(x) получил название наименее
уклоняющегося от нуля.
Лекция 4
33
1
−1
b
a
1
−1
b
a
x
′
=
b+a
2
+
b
−a
2
x
x =
2x
′
−(b+a)
b
−a
x
x
x
′
x
′
Рис. 4.2: Линейные преобразования отрезка
[
−1, 1] в [a, b] и обратно
Заметим, что теорема работает только на отрезке
[
−1, 1]. Хочется снять
это ограничение. Для этого рассматривают линейные преобразования от-
резка
[
−1, 1] в [a, b] x
0
=
b+a
2
+
b
−a
2
x и обратно x =
2x
0
−(b+a)
b
−a
. Получаем
многочлен
T
[a,b]
n
(x) =
b
− a
2
n
T
n
2x
− (b + a)
b
− a
= (b
− a)
n
2
1
−2n
T
n
2x
− (b + a)
b
− a
со старшим коэффициентом
1, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке
[a, b]. Будем называть T
[a,b]
n
(x) также чебышёвским. Нетрудно проверить,
что нулями многочлена
T
[a,b]
n
(x) являются точки
x
k
=
b + a
2
+
b
− a
2
cos
(2k
− 1)π
2n
,
k = 1, . . . , n.
(4.5)
Теперь можно дать ответ на вопрос, как уменьшить погрешность ин-
терполяции
R
n
(x) за счёт выбора узлов интерполяции. Если в качестве
узлов интерполяции выбрать корни (4.5) многочлена
T
[a,b]
n+1
(x), тогда
max
a6x6b
|ω
n+1
(x)
| = max
a6x6b
|T
[a,b]
n+1
(x)
| = (b − a)
n+1
2
1
−2(n+1)
.
При этом улучшить (т.е. уменьшить) последнюю величину уже нельзя.
Получаем
|R
n
(x)
|
6
M
n+1
(n+1)!
(b
− a)
n+1
2
1
−2(n+1)
, где
M
n+1
= max
a6x6b
|f
(n+1)
(x)
|.
1.4.2
Среднеквадратическое приближение (метод наименьших квадратов)
Рассмотрим принципиально иной способ приближения функций, задан-
ных таблицей своих значений
x
0
x
1
· · · x
n
y
0
y
1
· · · y
n
. Будем искать приближе-
ние в виде полинома степени
m: P
m
(x) = a
0
+ a
1
x + . . . + a
m
x
m
, такого,
Лекция 4
34
который минимизирует сумму квадратов отклонений полинома от задан-
ных значений функции:
Φ(a
0
, a
1
, . . . , a
m
) =
n
X
i=0
(P
m
(x
i
)
− y
i
)
2
.
Ясно, что при
m = n решением задачи является полином Лагранжа,
поскольку на нём достигается абсолютный минимум:
Φ = 0. Известно,
что при
m < n задача имеет единственное решение. При m > n задача
имеет бесконечное множество решений.
Рассмотрим случай
m < n. Условия минимума функции Ф следуют из
математического анализа:
∂Φ
∂a
k
= 2
n
X
i=0
(P
m
(x
i
)
− y
i
)x
k
i
= 0,
k = 0, 1, ..., m.
После подстановки выражения для
P
n
(x) и перегруппировки слагаемых,
получим:
a
0
n
X
i=0
x
k+0
i
+ a
1
n
X
i=0
x
k+1
i
+ . . . + a
m
n
X
i=0
x
k+m
i
=
n
X
i=0
y
i
x
k
i
,
k = 0, . . . , m.
Эта система линейных уравнений с симметричной матрицей:
n + 1
P
x
i
· · ·
P
x
m
i
P
x
i
P
x
2
i
· · ·
P
x
m+1
i
P
x
2
i
P
x
3
i
· · ·
P
x
m+2
i
...
...
. . .
...
P
x
m
i
P
x
m+1
i
· · ·
P
x
m+m
i
a
0
a
1
a
2
...
a
m
=
P
y
i
P
y
i
x
i
P
y
i
x
2
i
...
P
y
i
x
m
i
.
Полином степени
m < n с коэффициентами, найденными таким обра-
зом, называется среднеквадратичным приближением функции, заданной
таблицей. (Или наилучшим среди полиномов степени
m приближением к
функции по табличным данным.)
Соответствующую погрешность приближения можно характеризовать
среднеквадратичным отклонением
∆ =
1
n+1
n
P
i=0
[P
m
(x
i
)
− y
i
]
2
.
Основная сфера применения — обработка экспериментальных данных.
Лекция 4
35
Экспериментальные данные характеризуются значительным разбросом
(ошибки измерения, экспериментальный «шум» и т.д.) Интерполяцион-
ный полином, построенный по этим точкам, плохо отражает поведение
функции
f (x). Среднеквадратичный полином «сглаживает шум».
Пример.
Пусть известно, что величина
y является некоторой функцией
от аргумента
x, причём в результате измерений получена таблица значе-
ний
y
k
= y(x
k
), k = 1, 2, 3, 4.
Полученные измерения позволяют приближённо считать, что зависи-
мость
y = y(x) является линейной, т.е.
y = ax + b,
(4.6)
где
a, b - некоторые числа. Числа a, b в эмпирической формуле (4.6) необхо-
димо подобрать таким образом, чтобы при значениях
x = x
k
(
k = 1, 2, 3, 4)
выполнялись условия:
ax
1
+ b = y
1
,
ax
2
+ b = y
2
,
ax
3
+ b = y
3
,
ax
4
+ b = y
4
.
(4.7)
Получилась система четырёх линейных уравнений относительно двух
неизвестных
a, b. Классического решения данной системы нет.
Введем функцию
Φ(a, b) =
4
P
k=1
(ax
k
+ b
− y
k
)
2
, равную сумме квадратов
невязок, и примем за обобщённое решение системы (4.7) ту пару чисел
(a, b), для которой функция Φ(a, b) принимает наименьшее значение. По-
лучим систему двух уравнений:
z
}|
{
∂Φ
∂a
= 0,
∂Φ
∂b
= 0.
Данная система имеет обычное классическое решение.
1.4.3
Многочлены Эрмита
Предположим, что функция задана конечным набором своих значений, а
также некоторых производных (возможно, не во всех точках). В таблице,
K
i
определяет количество данных в
i-ом узле. Например, если в узле x
i