ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2019
Просмотров: 4687
Скачиваний: 6
Лекция 4
36
заданы значение функции
y
i
и производной
y
0
i
, то
K
i
= 2. Для всякого
i = 0, . . . , n K
i
>
1, т.е. в каждой колонке обязательно присутствует y
i
—
значение функции в точке
x
i
. Обозначим
p = K
1
+ K
2
+ . . . + K
n
− 1.
Многочлен
H
p
(x) степени p называется многочленом Эрмита, если
H
(k)
p
(x) = y
(k)
i
,
i = 0, . . . , n,
k = 0, 1, . . . , K
i
− 1.
x
x
0
x
1
· · ·
x
n
y
y
0
y
1
· · ·
y
n
y
0
y
0
0
y
0
1
· · ·
y
0
n
y
00
...
...
· · ·
...
y
000
... y
(K
0
−1)
0
y
(K
1
−1)
0
· · · y
(K
n
−1)
0
K
0
K
1
· · ·
K
n
Погрешность для многочлена Эр-
мита выражается аналогично по-
грешности для многочлена Лагран-
жа. Если интерполяция происхо-
дит на отрезке
[a, b], содержащем
x
i
,
i = 0, . . . , n и функция f (x)
(p+1) раз непрерывно дифференци-
руема, то погрешность выражается
формулой:
R
p
(x) = f (x)
− H
p
(x) =
f
(p+1)
(ξ)
(p + 1)!
(x
− x
0
)
K
0
(x
− x
1
)
K
1
. . . (x
− x
n
)
K
n
,
где
ξ неизвестная точка принадлежащая интервалу [a, b]. Принято обозна-
чать
ω
p+1
(x) = (x
− x
0
)
K
0
(x
− x
1
)
K
1
. . . (x
− x
n
)
K
n
.
1.4.4
Интерполяция кубическими сплайнами
Сплайном, соответствующим данной функции
f (x) и данным узлам x
0
, . . . x
n
,
называется функция
s(x), удовлетворяющая следующим условиям:
1. на каждом сегменте
[x
i
−1
, x
i
], i = 1, 2, . . . , n,функция s(x) является
многочленом третьей степени;
2. функция
s(x), а также её первая и вторая производные непрерывны
на
[a, b];
3.
s(x
i
) = f (x
i
), i = 0, 1, . . . , n.
Лекция 4
37
s
i
(x
i
) = f (x
i
),
s
0
i
(x
i
) = s
0
i
−1
(x
i
),
s
00
i
(x
i
) = s
00
i
−1
(x
i
).
Лекция 5
38
1.5
Лекция 5
÷èñëåííîå
äèåðåí-
öèðîâàíèÿ
ïðîèçâî
äíàÿ
ìíîãî÷ëåíà
Ëàãðàíæ
à
ìåòî
ä
íåîïðåäåë¼ííûõ
ê
îýèöèåíòîâ
ðàçëî
æ
åíèå
â
ð
ÿä
Ò
åéëîðà
ìåòî
ä
óíãå
1.5.1
Кусочная интерполяция (КИ)
Оценка погрешности интерполяции функции
f (x) с помощью ИП P
n
(x)
составляет:
|R
n
(x)
| = |f(x) − P
n
(x)
|
6
M
n+1
(n + 1)!
|ω
n+1
(x)
| ,
где
M
n+1
= max
[a,b]
|f
(n+1)
(x)
| — получена в предположении существования
(n + 1)-ой непрерывной производной функции f (x).
На практике же далеко не всегда приходится иметь дело с очень глад-
кими функциями (у которых первая и высшие производные непрерывны).
В связи с этим часто применяется кусочная интерполяция. Для прибли-
жения функции в точке
x строится полином невысокой степени по данным
в табличных точках, ближайшим к точке
x.
Пусть необходимо вычислить
f (x) для x
∈ [x
i
, x
i+1
].
Кусочно-линейная интерполяция. Для вычисления используется линей-
ное приближение
f (x)
≈ f
i
+
f
i+1
− f
i
h
(x
− x
i
), где h = x
i+1
− x
i
.
Очевидно, что при подстановке
x = x
i
или
x = x
i+1
получается тождество.
Кусочно-квадратичная интерполяция. Привлекается ещё одна таблич-
ная точка (
x
i
−1
или
x
i+1
), и строится полином второй степени:
f (x)
≈ f
i
+
f
i+1
− f
i
h
(x
− x
i
) +
f
i+1
− 2f
i
+ f
i
−1
2h
2
(x
− x
i
)(x
− x
i+1
).
Лекция 5
39
Очевидно, что при подстановке
x = x
i
или
x = x
i+1
или
x = x
i
−1
получа-
ется тождество.
Кусочно-кубическая интерполяция.
f (x)
≈ f
i
+
f
i+1
− f
i
h
(x
− x
i
) +
f
i+1
− 2f
i
+ f
i
−1
2h
2
(x
− x
i
)(x
− x
i+1
)+
+
f
i+2
− 3f
i+1
+ 3f
i
− f
i
−1
6h
3
(x
− x
i
−1
)(x
− x
i
)(x
− x
i+1
).
Нетрудно убедиться, что при
f
i
−1
, f
i
, f
i+1
, f
i+2
в последних двух формулах
стоят биномиальные коэффициенты.
Более высокие степени ИП для КИ, как правило, не используют. Узлы
интерполяции при кусочной интерполяции берутся вблизи интересующего
нас узла
x
i
.
1.5.2
Другие способы интерполяции
По аналогии с интерполяционным многочленом
P
n
(x) = a
n
x
n
+a
n
−1
x
n
−1
+
. . . + a
0
можно искать приближение таблично заданной функции в виде:
P
n
(x) = a
n
ϕ
n
(x) + a
n
−1
ϕ
n
−1
(x) + . . . + a
0
ϕ
0
(x)
по системе линейно независимых функций
{ϕ
k
(x) : k = 0, 1, . . . , n
}.
Исходя из условий интерполяции (совпадения значения полинома с таб-
личными значениями функции), для неопределённых коэффициентов
{a
i
}
получим систему линейных уравнений:
a
n
ϕ
n
(x
0
) + a
n
−1
ϕ
n
−1
(x
0
) + . . . + a
0
ϕ
0
(x
0
) = y
0
, i = 0, 1, . . . , n.
Для существования и единственности решения необходимо, чтобы детер-
минант удовлетворял условию
∆ =
ϕ
0
(x
0
) ϕ
1
(x
0
) ϕ
3
(x
0
)
· · · ϕ
n
(x
0
)
ϕ
0
(x
1
) ϕ
1
(x
1
) ϕ
3
(x
1
)
· · · ϕ
n
(x
1
)
...
...
...
. . .
...
ϕ
0
(x
n
) ϕ
1
(x
n
) ϕ
3
(x
n
)
· · · ϕ
n
(x
n
)
6= 0.
Например, периодическую функцию может оказаться удобно приближать
в виде полинома по системе функций
{1, sin(kx), cos(kx)} — это тригоно-
Лекция 5
40
метрическая интерполяция. Часто используется, если функция разложи-
ма в ряд Фурье.
1.5.3
Обратная интерполяция
Пусть необходимо определить, при каком значении
x функция f (x) при-
нимает заданное значение. Если функция
y(x) строго монотонна на ин-
тервале интерполирования
[a, b], то ничто не мешает поменять ролями x
i
и
y
i
в таблице:
x
0
x
1
x
2
· · · x
n
y
0
y
1
y
2
· · · y
n
→
y
0
y
1
y
2
· · · y
n
x
0
x
1
x
2
· · · x
n
C формальной точки зрения безразлично, что считать функцией и что ар-
гументом. В этом случае представляется удобным приближать с помощью
интерполяционного полинома зависимость
x = x(y). Это и есть обратная
интерполяция. Многочлен в форме Лагранжа и в форме Ньютона выпи-
сывается стандартным образом.
Замечание. Если допустить, что функция
y(x) строго монотонна на
интервале интерполирования
[a, b], то можно получить ещё один способ
решения нелинейных уравнений вида
y(x) = 0. Пусть построен много-
член обратной интерполяции ˆ
P
n
(y) для обратной функции x(y). Доста-
точно подставить в него ноль. Это даст корень уравнения
x
∗
= ˆ
P
n
(0).
1.5.4
Численное дифференцирование (ЧД) с помощью многочлена Лагран-
жа.
Приблизим функцию
f (x), заданную таблично, интерполяционным мно-
гочленом Лагранжа
P
n
(x). В качестве значения f
0
(x) приближённо можно
принять
P
0
n
(x). Оценим возникающую погрешность. Известно, что
f (x)
− P
n
(x) = R
n
(x) =
f
(n+1)
(ξ(x))
(n + 1)!
ω
n+1
(x), ξ(x)
∈ [a, b].