Файл: Тема 11.doc

.

Здесь и в дальнейшем при построении эпюр крутящих моментов следует пользоваться следующим правилом знаков: если смотреть на отброшенную часть со стороны сечения, в котором определяется крутящий момент, то при вращении внешним моментом стержня по часовой стрелке его следует брать со знаком “минус”, и наоборот – при вращении внешним моментом вала против часовой стрелки его следует брать со знаком “плюс”.

Рассмотрим пример построения эпюры крутящих моментов.

Пример 11.1. Построить эпюру крутящих моментов для стержня, изображенного на рис.11.10а.

Рис.11.10

Решение:

1. Разобьем вал на участки: I, II, III, IV и V.

2. Пользуясь правилом для определения крутящих моментов, изложенным выше, находим:

; кНм; кНм;

кНм; .

Крутящие моменты на участках I, II, III опредеделялись слева, на участках IV, V  справа.

3. Откладываем полученные моменты от базисной линии и строим эпюру крутящих моментов (Рис.11.10б).

11.9. Вывод формул для напряжений и деформаций при кручении валов

Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, на поверхности которого нанесена сетка, образованная системой образующих и окружностей, сотавляющих внешние контуры сечений (Рис.11.11).

Рис.11.11

Наблюдения показывают, что после закручивания прямоугольники, образованные сеткой, перекашиваются, ось стержня остается прямолинейной, контуры поперечных сечения, круглые и плоские до деформации, не меняют своих очертаний и после деформации. При кручении происходит поворот одного сечения по отношению к другому на угол, называемый углом закручивания. Расстояние между поперечными сечениями практически не меняется, а это указывает на отсутствие продольных деформаций. Если провести прямую линию вдоль радиуса поперечного сечения стержня в торцовом сечении, то в процессе закручивания эта прямая линия не искривляется.

Приведенные наблюдения отражают лишь те деформации, которые происходят на поверхности стержня, но не позволяют делать какие-либо заключения о деформации внутренних волокон. В связи с этим сформулируем ряд гипотез, которые затем положим в основу последующих выводов. Эти гипотезы следующие:

1. Сечения плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания.

2. Радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе кручения не искривляются.

3. Поперечные сечения, не удаляясь друг от друга в процессе деформации, лишь скользят одно относительно другого, в связи с чем при кручении наблюдается деформация чистого сдвига.

Принятые гипотезы позволяют предположить, что при кручении круглого стержня в результате сдвига возникают только касательные напряжения, а нормальные равны нулю.

Для вывода формулы для касательных напряжений при кручении валов рассмотрим стержень радиуса , заделанный одним концом (Рис.11.12), на свободном конце которого приложим пару сил с моментом .

---

Рис.11.12

На боковой поверхности стежня проведем образующую AD, которая после кручения займет положение АD₁. Под действием скручивающего момента сечение I – I повернется на угол относительно жесткой заделки. Сечение II – II повернется на угол . Таким образом, взаимный угол поворота сечений I – I и II – II составит .

Рассмотрим отдельно элемент стержня длиной . Левое сечение элемента будем считать неподвижным (Рис.11.13). Образующая ВС наклонится на малый угол и займет положение ВС₁. Угол сдвига волокна, принадлежащего поверхности вала, найдем из равенства:

.

Для произвольного волокна, отстоящего от центра тяжести на расстоянии угол сдвига будет равен:

.

Рис.11.13

Применяя для двух точек С₁ и D₁ закон Гука при сдвиге (11.6), запишем выражения для касательных напряжений:

; (11.26)

. (11.27)

Сравнивая формулы (11.26) и (11.27), приходим к выводу, что касательные напряжеения при кручении вала пропорциональны расстоянию от оси вала. Наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от центра тяжести сечения.

Формула (11.27) представляет собой закон изменения касательных напряжений в поперечном сечении вала. На рис.11.14 представлен график изменения касательных напряжений.

Рис.11.14

Выделим вокруг точки на расстоянии от центра тяжести площадку и вычислим момент силы, действующей на этой площадке , относительно оси стержня:

.

Полный крутящий момент будет равен:

. (11.28)

Подставляя в формулу (11.28) значение из формулы (11.27), получим:

. (11.29)

В формуле (11.29) величина для всех точек поперечного сечения одинакова, поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Под знаком интеграла останется величина , представляющая собой полярный момент инерции поперечного сечения . Тогда выражение (11.29) преобразуется к виду:

или

. (11.30)

Подставляя выражение для в формулу (11.27), получим:

. (11.31)

Выражение (11.31) представляет собой закон распределения касательных напряжений вдоль радиуса сечения и позволяет определить касательное напряжение в любой точке поперечного сечения. При , т.е. в центре тяжести поперечного сечения, касательные напряжения равны нулю.

Максимальные напряжения в сечении возникают в наиболее удаленных точках сечения при :

. (11.32)

Выражение (11.31) так же, как и выражение (11.27) устанавливают прямо пропорциональную зависимость величины касательных напряжений от расстояния точки до центра тяжести сечения. Графически этот закон представлен на рис.11.14.

Величина называется полярным моментом сопротивления круглого сечения при кручении и характеризует влияние размеров сечения на способность скручиваемого элемента сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

---

Угол закручивания поперечного сечения можно определить из формулы (11.30):

.

Интегрируя это выражение по всей длине стержня, получим:

. (11.33)

Если вал имеет постоянный диаметр, а крутящий момент по всей длине стержня не меняется, то после интегрирования выражения (11.33), угол закручивание будет иметь вид:

. (11.34)

Величина называется жесткостью поперечного сечения вала при кручении и характеризует влияние геометрических размеров поперечного сечения и физических характеристик материала на способность вала сопротивляться закручиванию.

Для ступенчатых стержней или же стержней, у которых крутящий момент меняется по длине скачкообразно, угол закручивания между начальным и конечным сечениями вала определяется как сумма углов закручивания с постоянным отношением :

, (11.35)

где  число участков вала.

Полный угол закручивания не всегда может характеризовать жесткость вала при кручении. Если на протяжении длины вала крутящие моменты имеют разные знаки, то полный угол закручивания может оказаться небольшим, в то время как на отдельных участках угол закручивания может быть значительным. В связи с этим для оценки жесткости скручиваемого стержня применяется другая мера – относительный угол закручивания

. (11.36)

Размерность относительного угла закручивания или .

11.10. Потенциальная энергия при кручении. Анализ напряженного состояния при кручении

При упругих деформациях потенциальная энергия деформации , накапливаемая в вале, численно равна работе внешних :

. (11.37)

Работа внешних сил по теореме Клапейрона (7.7) при кручении равна:

, (11.38)

где  крутящий момент, вызванный действием внешнего момента .

Подставляя значение для работы внешних сил в формулу (11.37) и учитывая, что , получим:

. (11.39)

Формулой (11.39) можно пользоваться при ступенчатом изменении крутящих моментов и жесткости вала. Потенциальная энергия в этом случае будет равна сумме потенциальных энергий, найденных на каждом участке с постоянным отношением .

Как следует из выражений (11.27) и (11.31), а также из рис.11.14, касательные напряжения, меняясь по величине вдоль радиуса, остаются ему перпендикулярны. На основании закона парности касательных напряжений они возникают также и в продольных сечениях (Рис.11.15).

Рис.11.15

Нормальные напряжения как в поперчных, так и в продольных сечениях равны нулю. Вдоль радиуса касательные напряжения также отсутствуют. Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках, одна из которых находится а плоскости поперечного сечения, а другая в плоскости продольного диаметрального сечения, действуют только касательные напряжения. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Как известно, при чистом сдвиге в площадках, наклоненых к площадкам чистого сдвига под углом 45⁰, в данном случае под углом 45⁰ к оси вала, действуют главные растягивающие и сжимающие нормальные напряжения. Траектория этих напряженний представляет винтовую линию, наклоненную под углом 45⁰ к образующей (Рис.11.16).

---

Рис.11.16

По величине главные напряжения и во всех точках сечения равны касательным напряжениям . Подобное действие нормальных напряжений вызывает разрушение материалов, находящихся в хрупком состоянии, по винтовой линии, так как хрупкие материалы плохо сопротивляются растяжению.

11.11. Условия прочности и жесткости при кручении валов. Примеры расчета валов

Расчет валов на прочность, как правило, выполняют по допускаемым напряжениям. Условие прочности имеет вид:

. (11.40)

Допускаемое напряжение определяется в соответствии с методикой, изложенной в разделе 11.7 настоящей темы.

Условие прочности (11.40) позволяет решать три задачи:

1. Первая задача состоит в проверке напряжений при заданном моменте и известном диаметре вала.

2. Вторая задача заключается в определении допускаемой величины для момента при заданном диаметре вала и известном допускаемом напряжении.

3. Третья задача, наиболее важная, является задачей проектировочного расчета: при заданном моменте и допускаемом напряжении необходимо найти диаметр вала.

Прежде, чем перейти к решению третьей задачи, запишем формулы, в которых полярный момент инерции и полярный момент сопротивления выражены через диаметр вала.

Полярный момент инерции для сплошного сечения вала был определен в теме №4, формула (4.15):

.

Для полого вала (кольцевое сечение) с внешним диаметром и внутренним :

,

где .

Полярный момент сопротивления для сплошного сечения найдем из формулы:

.

Для кольцевого сечения полярный момент сопротивления будет равен:

.

Теперь диаметр сплошного вала может быть найден из условия прочности следующим образом:

, откуда .

Для вала кольцевого сечения:

, откуда .

Кроме расчета на прочность, валы рассчитывают также на жесткость. Условие жесткости имеет вид:

, (11.41).

где  относительный угол закручивания;  допускаемый относительный угол закручивания вала в радианах деленных на метр, нормируемый техническими условиями.

Диаметр сплошного вала их условия жесткости (11.41) при будет равен:

.

Для кольцевого сечения . Поэтому

.

Таким образом, для одного и того же вала диаметр определяется дважды: один раз – из условия прочности, второй  из условия жесткости. Из двух полученных размеров берется больший.

Величина внешнего скручивающего момента не всегда задается непосредственно. Часто приходится определять момент по числу оборотов вала в минуту и мощности машины, вращающей вал, выраженной в лошадиных силах или в киловаттах.

Мощность представляет собой работу в единицу времени (секунду), которая равна работе внешнего момента , где  угол, на который повернется шкив за одну секунду.

---

За одну секунду шкив совершит оборотов, следовательно, . Работу на этом угле поворота найдем из формулы:

(кНм/cек).

С другой стороны

(кНм/сек),

где  мощность в лошадиных силах.

Приравнивая эти два выражения, найдем:

(кНм). (11.42)

Учитывая, что одна л.с. равна 0,736 кВт и выражая внешний момент через мощность , заданную в киловаттах, получим:

(кНм). (11.43)

Пример 11.2. Стержень круглого поперечного сечения длиной см и диаметром см скручивается моментом кНм.

Определить:

1. Касательное напряжение в точке поперечного сечения стержня, отстоящей на расстоянии 1 см от центра тяжести сечения.

2. Найти максимальный угол закручивания стержня. Материал стержня – сталь ( МПа).

Решение:

1. Крутящий момент в вале будет равен внешнему моменту

кНм.

2. Касательное напряжение в любой произвольной точке сечения вала можно определить по формуле (11.31):

МПа.

3. Максимальный угол закручивания вала найдем по формуле (11.34):

(1/м).

Пример 11.3. Вал скручивается моментом кНм.Допускаемое напряжение МПа. Допускаемый угол закручивания рад/м. Модуль сдвига МПа. Определить диаметр вала.

Решение:

1. Из условия прочности (11.40) находим:

м мм.

3. Из условия жесткости (11.36):

м мм.

4. Из двух полученных диаметров берем больший, т.е.

мм.

Пример 11.4. Определить диаметр вала кольцевого сечения, если передаваемая валом мощность кВт. Число оборотов вала в минуту . Допускаемые напряжения МПа. Допускаемый угол закручивания (1/м). Модуль сдвига МПа. Отношение диаметров .

Решение:

1. Момент, передаваемый на вал, определим по формуле (11.43):

(кНм).

2. Определяем диаметр из условия прочности:

м мм.

4. Находим диаметр из условия жесткости:

м мм.

5. Берем большее значение: мм; мм.

Пример 11.5. Как отличается несущая способность двух стержней круглого поперечного сечения при кручении (Рис.11.17), если для первого стержня МПа, а для второго  МПа.

Рис.11.17

Решение:

1. Из условия прочности (11.40) найдем величину крутящего момента для первого сечения:

Нм.

2. Из условия прочности найдем величину крутящего момента для второго сечения:

Нм.

3. Сравнивая моменты для первого и второго сечения, приходим к выводу, что у второго сечения несущая способность

в раза больше.

Пример 11.6. Как отличаются жесткости двух стержней круглого поперечного сечения при кручении (Рис.11.17), если для первого стержня модуль упругости МПа, а для второго - МПа.

Решение:

1. Находим жесткость для первого сечения:

(Нм²).

2. Находим жесткость для второго сечения:

(Нм²).

3. Сравнивая жесткости для первого и второго сечения, приходим к выводу, что у второго сечения жесткость

в раза больше.

11.12. Кручение стержней некруглого поперечного сечения

---