ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2019
Просмотров: 758
Скачиваний: 3
6
9,
10
Компактны
е
и свя
з
ные мно
ж
ес
тва
в
числовом
прост
р
анстве,
критери
й
компактнос
ти мно
ж
ест
в
а много
м
е
р
но
й
плоскост
и, числовые компакты.
Т
еоре
ма о насл
едовании
компактнос
ти
и
связност
и
при непре
р
ывно
м отобра
жен
ии. Тео
р
ема Ве
йе
рштрасс
а
о
дос
тиже
нии на число
в
ом
компакте
(от
р
ез
ке) своих
миним
а
льных и макс
имал
ь
ных (п
ром
е
жуточ
ных
) зн
ачен
и
й
не
преры
в
но
й
числово
й
функц
и
ей. Поня
тие равно
м
ерно
й
не
преры
в
нос
т
и чи
словой ф
у
нкции на множестве ч
и
сло
в
о
го
п
р
о
с
тра
н
ст
ва
. Т
е
ор
е
м
а
Кан
т
ор
а
.
9,
10
Примеры
компактных и связных
мно
жеств в числовых плоскостях. Прибли
жённое представл
е
ние не
пре
р
ывных
фун
к
ц
и
й
лома
н
ыми и
кусоч
н
о
постоян
н
ы
м
и фу
нк
ци
ями.
8
Тема 4. Основы дифференциального исчисления
11
Поня
тие
к
р
ат
ной
ди
ффере
нц
ир
уемо
сти в точке одном
е
рно
й
чис
лово
й
ф
у
нк
ци
и одн
о
й де
й
с
тв
и
т
е
л
ь
н
ой
п
е
р
е
менной, её
диффе
ре
нциалы. Произ
водные ф
у
нкц
ии
разл
ичных по
ря
дков.
11
Геомет
рич
е
ская и ф
и
зическая интер
прет
ации (
в
торо
й
) производ
но
й функ
ции, ур
авн
е
ние
к
а
сат
ельно
й к
гр
аф
ик
у
фун
к
ц
ии. Вычислен
ие
про
и
звод
н
ы
х.
Таблиц
а
произ
в
одны
х и правил
а
диффе
рен
ц
иров
ан
ия.
4
12
Основные
теоремы (Ролля,
Лаг
р
анжа,
Коши) д
и
ффере
нц
иального
исч
и
сле
ния.
12
Пра
в
ил
а Л
о
пит
а
ля и
вычисле
н
ие пре
делов функций.
Вычисление пред
елов
функц
ий с
по
мощью правил Лопит
а
ля.
4
13,
14
Форм
ула Т
е
йлора и вид её остатков в
формах
Пе
ано, Лаг
р
а
н
жа и Коши.
13,
14
Приближё
нные выч
и
с
ления ф
у
нкций с
помощью
форм
ул Те
йлора и
М
а
кло
р
е
на.
Вид форм
ул Маклоре
н
а для ос
нов
ных элеме
н
тарных функц
ий.
8
Тема 5. Исс
л
едован
ие пове
дения функций и
построение
их графиков
15
Экст
ремум
ы
функц
и
и, необходимые и
достаточ
ные условия экстре
мум
а
фун
к
ц
ии. Пр
изн
а
к
и
локал
ьн
ого
воз
растан
ия (убывани
я) фу
нк
ции
.
15
Поис
к ма
к
с
имал
ьных
и ми
ним
а
льных
значе
н
ий ф
у
н
к
ци
и н
а
отрезке.
Поис
к м
а
к
с
имал
ьных
и
ми
н
и
ма
ль
ных значе
н
ий ф
у
н
к
ц
и
и на от
рез
к
е.
4
16
Локал
ь
ная
выпуклос
ть вниз (
вверх
)
граф
ик
а ф
у
н
к
ци
и и е
го точк
и
пе
реги
ба, достат
очный признак локально
й
выпуклост
и
, точки пе
региб
а
.
16
Вертикал
ьные и накл
онные ас
им
птоты
граф
ик
а ф
у
н
к
ци
и. Ис
следова
н
ие
фу
нк
ций
и постр
оени
е
граф
ико
в
.
Исследова
н
ие фу
н
к
ци
й и п
о
строе
н
и
е
графиков.
4
16
Итого
16
64
7
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1.
Пределы.
Требуется вычислить предел, заданный для каждого вари
анта в прил. 1.
2.
Производные.
Требуется вычислить производные функций, задан
ных для каждого варианта в прил. 2.
3.
Применение производной к исследованию функций.
Требуется ис
следовать функцию и построить ее график (конкретная функция для каждого
варианта дана в прил. 3).
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.
Метод математической индукции, формулы для частичных сумм
арифметической и геометрической прогрессий, формула бинома Ньютона.
2.
Бесконечномалые и ограниченные последовательности рациональ
ных чисел и их арифметические свойства, неравенства Бернулли и сумма
геометрической прогрессии.
3.
Понятие сходимости для последовательности рациональных чисел,
арифметические свойства сходящихся последовательностей, лемма о двух
«милиционерах».
4.
Арифметика действительных чисел (поле действительных чисел),
теоретикомножественные операции с подмножествами действительных чи
сел, ограниченные (сверху [снизу]) подмножества.
5.
Теорема о точной нижней (верхней) грани ограниченного снизу мно
жества действительных чисел.
6.
Числовая прямая и расширенная числовая прямая, обобщение поня
тий точных верхних и нижних граней.
7.
Прямые произведения подмножеств числовой прямой, числовая и
расширенная числовая многомерные плоскости, числовые пространства и
множества числовых точек в них.
8.
Внутренность, внешность и границы непустого множества в число
вом пространстве, лемма о граничной точке.
9.
Понятия открытых и замкнутых множеств числового пространства,
предельные точки (точки прикосновения) множества числового пространства
и понятие замыкания множества.
10.
Теорема о свойствах пересечения и объединения открытых (замкну
тых) множеств числового пространства, открытость числовой окрестности чи
слового пространства.
11.
Понятия связности и несвязности непустого множества числового
пространства, формулировка теоремы о связных множествах числовой пря
мой.
12.
Общие понятия функции и отображения, классификация отображе
ний (инъекции, сюръекции и биекции) и функций (взаимнооднозначные и
сюръективные функции).
13.
Понятие числовой функции (отображения) и её графика, способы за
дания числовых функций (в том числе, – многомерных), общая компонента по
следовательности.
8
14.
Понятия предельной и изолированной точек числового пространства,
понятия сходимости и предела (Коши) числовой функции, понятия сходимо
сти и предела последовательности в числовом пространстве; локальная огра
ниченность сходящейся в точке числовой функции.
15.
Лемма Больцано о сходимости монотонной и ограниченной последо
вательности на числовой прямой, 2й замечательный предел.
16.
Лемма о вложенных отрезках числовой прямой и её следствие для
многомерной числовой плоскости.
17.
Понятие подпоследовательности последовательности; лемма о нали
чии предела у подпоследовательности последовательности, имеющей предел;
арифметика пределов сходящихся числовых последовательностей и функций.
18.
Лемма Больцано — Вейерштрасса и её следствия для многомерных
числовых плоскостей.
19.
Понятия эквивалентности для бесконечномалых и бесконечно
больших числовых последовательностей и функций, использование символов
о
малое и
О
большое, 1й замечательный предел, признаки Коши (радикаль
ный) и Даламбера бесконечной малости последовательности.
20.
Лемма о наличии последовательности, стремящейся к предельной
точке числового пространства.
21.
Понятие предела числовой функции по Гейне и его равносильность
понятию предела по Коши.
22.
Предельные точки многомерных числовых функций и числовых по
следовательностей, понятия верхнего и нижнего пределов одномерной число
вой последовательности (функции в точке), лемма об их существовании.
23.
Фундаментальные последовательности в числовом пространстве,
критерий Коши сходимости числовой последовательности и его следствия для
многомерных плоскостей.
24.
Понятия непрерывности числовой функции в точке и на множестве,
формулировка теоремы о непрерывности элементарных функций на про
странствах их определения, классификация точек разрыва одномерной чи
словой функции одной действительной переменной.
25.
Теорема о пределе сложной числовой функции.
26.
Понятие компактности непустого множества в числовом пространст
ве, критерий компактности множества многомерной плоскости, числовые ком
пакты.
27.
Понятие непрерывности числового отображения, критерий его не
прерывности.
28.
Теорема о связности образа связного пространства при непрерывном
числовом отображении и её следствия для отрезка.
29.
Теорема о компактности образа числового компакта при непрерыв
ном числовом отображении и теорема Вейерштрасса о достижении на число
вом компакте (отрезке) своих минимальных и максимальных (промежуточ
ных) значений для непрерывной одномерной числовой функции. Непрерыв
ность обратного отображения для непрерывной и строго монотонной функции
на отрезке.
9
30.
Понятие равномерной непрерывности числовой функции на множе
стве числового пространства, теорема Кантора о равномерной непрерывности
непрерывного числового отображения на числовом компакте.
31.
Понятие кратной дифференцируемости в точке (справа [слева]) од
номерной числовой функции одной действительной переменной, её диффе
ренциалы, кратная дифференцируемость функции на открытом множестве
(локальная дифференцируемость), понятие кратной гладкости функции на
промежутках числовой прямой.
32.
Приращение одномерной числовой функции в точке числовой пря
мой для заданного приращения аргумента, приращение и дифференциал
дифференцируемой в точке функции, непрерывность дифференцируемой в
точке функции.
33.
Единственность локальнодифференциального вида кратно диффе
ренцируемой в точке функции и представление этого вида функции через её
дифференциалы.
34.
Понятие производной функции в точке, равносильность дифферен
цируемости и наличия производной функции в точке, высшие производные
функции в точке и на множестве, пример дважды дифференцируемой в нуле
функции, не имеющей в нуле второй производной.
35.
Геометрическая и физическая интерпретации (второй) производной
функции в точке, уравнение касательной к графику функции в точке диффе
ренцируемости функции.
36.
Производные суммы, произведения и частного дифференцируемых
функций, производная суперпозиции дифференцируемых функций, произ
водная для обратной к дифференцируемой функции.
37.
Теоремы Ферма и Ролля.
38.
Теоремы Лагранжа и Коши.
39.
Правила Лопиталя.
40.
Теорема Пеано о формуле Тейлора.
41.
Вид остатков в формах Лагранжа и Коши для формулы Тейлора,
формулы Маклорена для основных элементарных функций.
42.
Понятие экстремума функции, стационарные и критические точки
функции, необходимое условие экстремума функции.
43.
Лемма о локальном возрастании (убывании) локально дифференци
руемой функции и 1ое достаточное условие её экстремума.
44.
2ое достаточное условие экстремума функции.
45.
Понятия локальной выпуклости вниз (вверх) графика функции и его
точки перегиба, лемма о достаточном условии локальной выпуклости вниз
(вверх) для графика дважды локально гладкой функции и её следствия о на
личии точки перегиба.
46.
Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
10
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
О с н о в н а я
1.
Ильин В. А, Позняк Э. Г.
Основы математического анализа: Учебник
для вузов: в 2 ч.– М.: Физматлит, 2001.
2.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н.
Теория функций комплексной пере
менной: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2001.
3.
Демидович Б. П.
Сборник задач и упражнений по математическому
анализу: Учеб. пособие для вузов. М: Астрель, 2002.
4.
Соловьев В.И.
Математика в экономической деятельности: Учебное
пособие для вузов. – М.: Дрофа, 2008.
Д о п о л н и т е л ь н а я
5.
Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П., Ляшко И. И.
Справочное
пособие по высшей математике (Антидемидович): Учебное пособие для
вузов: в 5 т. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
6.
Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шишкин А. А.
Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для ву
зов. – М. Физматлит, 2002.
7.
Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А.
Задачи и уп
ражнения по математическому анализу: Учебное пособие для вузов: в 2
х кн. – М.: Высшая школа, 2002.
8.
Гельбаум Б., Олмстед Дж.
Контрпримеры в анализе. – Волго
град: Платон, 1997.
9.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х.
Математический
анализ: Учебник для вузов: в 2х ч. – М.: Издательство Московского
университета, 1985 — 1987.
10.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В.
Элементы теории функций и
функционального анализа: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004.
11.
Кудрявцев Л. Д.
Курс математического анализа: Учебник для
вузов: в 3х т. М.: Дрофа, 2004.
12.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.
Методы теории функций ком
плексного переменного: Учебное пособие для вузов. – СПб.: Лань, 2002.
13.
Никольский С. М.
Курс математического анализа: Учебник для
вузов. – М.: Физматлит, 2001.
14.
Фихтенгольц Г.М.
Курс дифференциального и интегрального
исчисления: Учебник для вузов: в 3х т. – М.: Физматлит, 2002.