Формулы Крамера имеют вид:

  x _i =  _i ( i  = ).                                                (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i =  _i / .

Если главный определитель системы  и все вспомогательные определители  _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы  = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

                                               x₁ +   x₂ +  x₃ +      x₄ = 5,

                                               x₁ + 2x₂ -   x₃ +    4x₄ = -2,

                                             2x₁ -  3x₂ -   x₃ -     5x₄ = -2,

                                             3x₁ +   x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

 

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители  _i ( i = ), получающиеся из определителя  путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

             

                 

Отсюда x₁ =  ₁/ = 1, x₂ =  ₂/ = 2, x₃ =  ₃/ = 3, x₄ =  ₄/ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

9. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

                                                      x +  y - 3z = 2,

                                                    3x - 2y +  z = - 1,

                                                    2x +  y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

 ~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

                                                    x + y - 3z = 2,

                                                    -5y + 10z = -7,

---

                                                           - 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

10. Скалярные и векторные величины. Линейные операции операции с векторами.

Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном скаляре.

Если некоторая скалярная величина определяется одним числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях координат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине

Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом - числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Зная координаты начала и конца вектора и , можно найти координаты вектора, определяемого этими точками , т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание векторов производят геометрически.

Этот способ называют правилом треугольника.

Математически сложение записывают или , если речь идет о вычитании векторов.

Если в пространстве задано несколько векторов, число которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) записывают как Геометрически этот способ называют правилом многоугольника.

Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр  получают новый вектор , совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) которого изменяется в  раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если   0, или противоположно исходному вектору, если  < 0. В координатной форме, если

, то .

Два одинаково направленных и параллельных вектора называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть разной длины

Два вектора и называют коллинеарными, если существуют такие два числа  и , не равные нулю одновременно, что выполняется равенство

Три вектора , и назовем компланарными, если существуют такие три числа ,  и , не равные одновременно нулю, что выполняется равенство

11.Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в базисе.

Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке (рис. 1.29). Эти векторы называются базисными.

---

Пусть на плоскости задан базис . Построим прямые и , содержащие базисные векторы и соответственно. Эти прямые пересекаются, так как базисные векторы неколлинеарные. Согласно пункт 1 теоремы 1.1, вектор можно представить в виде , где — проекция вектора на вдоль ; — проекция вектора на вдоль , причем проекции определяются однозначно. Вектор , принадлежащий прямой , можно разложить по базису на этой прямой (см. разд. 1.7), т.е. представить в виде , причем число определяется однозначно. Вектор , принадлежащий прямой , можно разложить по базису на этой прямой (см. разд. 1.7), т.е. представить в виде , причем число определяется однозначно. Подставляя эти разложения в равенство , получаем

Теорема 1.4 (о разложении вектора по базису на плоскости). Любой вектор , принадлежащий плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости, т.е. представлен в виде (1.3), где числа и определяются однозначно.

Коэффициенты и в разложении (1.3) называются координатами вектора а относительно базиса (число называют абсциссой, а — ординатой вектора ). Например, числа 2 и -3 являются координатами вектора ( — абсцисса, — ордината вектора ).

Базисные векторы , отложенные от одной (произвольной) точки плоскости, называются репером на плоскости.

Базис на плоскости называется правым (или, что то же самое, упорядоченная пара неколлинеарных векторов называется правой парой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки (это направление поворота считается положительным). Базисные векторы (рис.1.30,а) правого базиса расположены соответственно как большой и указательный пальцы правой руки, если, смотреть на ее ладонь.

Левым базисом на плоскости (левой парой) называется такой базис, у которого кратчайший поворот от вектора к вектору происходит по часовой стрелке (такое направление вращения считается отрицательным). Базисные векторы (рис. 1.30,6) левого базиса расположены соответственно как большой и указательный пальцы левой руки, если смотреть на ее ладонь.

Отметим следующее свойство: если неколлинеарные векторы образуют правую пару, то пары, получающиеся перестановкой векторов (пара ) или заменой одного вектора противоположным (например, а ), образуют левую пару.

Пример 1.9. В параллелограмме точка делит сторону в отношении ; точка — середина стороны ; — точка пересечения медиан треугольника (рис. 1.31). Разложить векторы и по векторам и .

Решение. Чтобы разложить вектор , применяем правило ломаной: вектор замыкает ломаную и ломаную .

Поэтому и , т.е. .

Выразим все векторы этого равенства, за исключением искомого вектора , через векторы и .

Учитывая, что и , получаем .

Отсюда .Так как точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам, а точка делит медиану треугольника в отношении , заключаем, что , т.е.

---

По правилу сложения векторов имеем . Следовательно, . Отсюда находим искомое разложение

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке (рис.1.32). Эти векторы называются базисными.

Пусть в пространстве задан базис . Построим прямые , содержащие базисные векторы соответственно. Без ограничения общности можно считать, что эти прямые пересекаются в одной точке (в противном случае можно было взять любые пересекающиеся в одной точке прямые , параллельные прямым соответственно, поскольку проекции вектора на параллельные прямые равны (см. свойство 1 проекций в разд. 1.2.2)). Тогда любой вектор можно однозначно представить в виде суммы своих проекций: , где — векторы, принадлежащие прямым соответственно (см. п.2 теоремы 1.1). Раскладывая проекции по базисам на соответствующих прямых (см. разд.1.3.1), находим: . Подставляя эти разложения в равенство , получаем

(1.4)

Теорема 1.5 (о разложении вектора по базису в пространстве). Любой вектор может быть разложен по базису в пространстве, т.е. представлен в виде (1.4), где числа определяются однозначно.

Коэффициенты в разложении (1.4) называются координатами вектора относительно базиса (число , называют абсциссой, — ординатой, а — аппликатой вектора а ). Например, числа являются координатами вектора ( — абсцисса, — ордината, — аппликата вектора ).

Базисные векторы , отложенные от одной (произвольной) точки, называются репером.

1. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве определяется неоднозначно. Например, если — базис в пространстве, то система векторов при любом также является базисом.

2. Следующие свойства выражают геометрический смысл линейной зависимости и линейной независимости векторов:

а) два (и более) коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны; два линейно независимых вектора не коллинеарны;

б) три (и более) компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны; три линейно независимых вектора не компланарны;

в) четыре (и более) вектора линейно зависимы.

Докажем, например, последнее свойство. Пусть — произвольные векторы. Если первые три вектора линейно зависимы, то и вся система — линейно зависима (см. свойство 6 в разд. 1.1.3). Если же векторы линейно независимы, то согласно пункту 2,"б" они не компланарны и, следовательно, образуют базис в пространстве. Тогда вектор можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде линейной комбинации векторов . В этом случае система векторов также линейно зависима (см. свойство 4 в разд. 1.1.3).

3. Понятие базиса непосредственно связано с понятием линейной независимости. Базис представляет собой упорядоченную совокупность линейно независимых векторов:

а) на прямой — это один линейно независимый вектор (см. пункт 1 замечаний 1.2);

---

б) на плоскости — это два линейно независимых вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке (см. пункт 2,"а");

в) в пространстве — это три линейно независимых вектора, взятые в определённом порядке (см. пункт 2,"б").

4. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — это полная система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве) в том смысле, что любой вектор (на прямой, на плоскости, в пространстве) линейно выражается через базисные векторы.

5. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве), так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.

6. Базис — это полная линейно независимая система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве).

Базис в пространстве называется правым (или, что то же самое, упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой), если, наблюдая из конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден происходящим против часовой стрелки (рис.1.33,а). Если описанный поворот виден происходящим по часовой стрелке, то базис называется левым (упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой тройкой) (рис. 1.33,6).

Отметим следующие свойства: если тройка некомпланарных векторов — правая, то тройки, получающиеся "циклической" перестановкой трех векторов — также правые, а тройки, получающиеся перестановкой двух векторов или заменой одного вектора противоположным (например, — левые).

12. Скалярное произведение. Координатная форма скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов и называется число S =| | | | сos ( ). Эта операция обозначается .В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. . Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

.

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как , где - проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

, т.е. .

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен

.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

---

Смотрите также файлы

• buymov_anton_sergeevich.doc

• Ekonomisechkaya_TYeORIYa.doc

• Mikroekonomika.docx

• osnovy_energosberezhenia.docx

• Osnovy_psihologii_i_pedagogiki.docx