ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.12.2019
Просмотров: 522
Скачиваний: 12
,
где
,
и
есть
скалярное произведение вектора
с ортами осей координат. Тогда из
последнего равенства имеем
где ,
и
- углы, которые составляет вектор
соответственно
с осями 0х, 0у и 0z.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Если скалярное
произведение двух векторов равно нулю,
то эти векторы ортогональны. Действительно,
если ни один из векторов не нулевой, то,
по определению скалярного произведения,
последнее может быть равно нулю только
тогда, когда
,
т.е.
.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
Скалярное произведение векторов в координатной форме
.
13.Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.
Под
векторным
произведением векторов
и
понимают
вектор
,
имеющий длину и направленный перпендикулярно
к плоскости
,определяемой
векторами
и
,
причем так, что векторы
,
и
образуют правую
тройку
векторов (длина вектора
численно равна площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
как
на сторонах (это геометрический смысл
векторного произведения).
Векторное
произведение обозначают:
или
.
Очевидно, что
(из определения векторного произведения).
.
Векторное произведение подчиняется
только распределительному закону:
.
Теорема.
Пусть
,
,
.
Тогда:
1)
;
2)
.
Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения:
.
Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:
.
Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:
рис.4.
,
,
.
Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.
Отсюда следует:
,
ч.т.д.
2) Воспользуемся только что доказанной формулой:
.
Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Замечание. Векторное произведение часто записывают в форме определителя:
.
Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторного произведения. Она компактна и удобна для запоминания.
Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Доказательство. С одной стороны,
.
С другой стороны,
.
Но,
,
откуда и следует утверждение. Далее,
т.к.
,
то
.
Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойство справедливо и для столбцов определителя.
14. Смешанное произведение. Координатная форма смешанного произведения.
-
Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условия компланарности трех векторов.
Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего вектора мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму против часовой стрелки. В противном случае базис называется левым.
Пространство называется ориентированным, если из двух классов базисов выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными.
Если пространство ориентировано, мы можем ввести определение смешанного произведенния.
Смешанным
произведением
векторов
,
и
(в
данном порядке) называется число, равное
оюъему ориентированного параллелепипеда,
построенного на этих векторах, если они
не компланарны; и равно нулю, если они
компланарны.
Смешанное
произведение векторов
,
и
обозначается
.
При перестановке сомножителей в смешанном
произведении может измениться только
ориентация тройки векторов. Поэтому
абсолютная величина смешанного
произведения не
зависит
от порядка сомножителей. Для любых
векторов
,
и
,
сравнивая ориентации тройки векторов,
получаем:
=
=
=
=
=
(2).
Предложение 1.
Каковы
бы ни были векторы
и
,
найдется едиснтвенный (не зависящий от
)
вектор
такой,
что при любом
выполнено
равенство:
(1).
Док-во:
Сначала докажем существование вектора
,
а потом установим его единственность.
Пусть векторы
и
коллинеарны.
Тогда при любом
векторы
,
и
компланарны
и
=0.
Поэтому мы можем положить
.
Раасмотрим неколлинеарные векторы
и
и
предположим сначала, что
,
и
некомпланарны.
Построим на них ориентированный
параллелепипед и примем его за основание
параллелограмм, построенный на
и
.
Введем ориентацию на прямой OH,
перпендикулярной основанию. Мы зададим
её с помощью вектора
длины
1, составляющего с
и
правую
тройку
,
,
.
(Тройка
,
,
также правая).
-
скалярная проекция вектора
на
.
По модулю она равна высоте параллелепипеда
ОН, а знак её определяется ориентацией
тройки
,
,
.
тогда
и только тогда, когда концы векторов
и
лежат
в одном полупространстве, т.е. тройка
,
,
- правая. Таким образом,
положительно
для правой тройки
,
,
и отрицательно для левой.
Пусть
положительное число S — площадь основания
параллелепипеда. Тогда проивзедение
по
модулю равно объему параллелепипеда,
а знак его совпадает со знаком
.
Это значит, что
.
Полученное равенство совпадает с (1),
если
(3).
Осталось рассмотретьс лучай, когда
и
не
коллинеарны, а
,
и
компланарны.
В этом случае
лежит
в плоскости векторов
и
,
следовательно, ортогонален вектору
,
вычисленному по формуле (2). Поскольку
=0
и
=0,
вектор (3) удовлетворяет равенству (2) и
в этом случае. Итак, мы нашли вектор,
который удовлетворяет равенству (2) при
любом
и
определяется только по
и
.
Допустим, что для фиксированных
и
нашлось
2 вектора
и
таких,
что для любого
выполнено
равенство:
и
.
отсюда следует, что
или
=0.
Поэтому вектор
ортогонален
каждому вектору пространства и,
следовательно, равен нулевому вектору.
Это доказывает, что вектор
,
определяемый формулой (2), может быть
только один. Предложение полностью
доказано.
Теорема
3.
Смешанное произведение векторов
,
и
выражается
через их компоненты
,
и
в
произвольном базисе
по
ф-ле:
=
-
*
Д
ок-во:
Заметим, что
и
умножим скалярно обе части на вектор
.
Мы получим
=
+
+
,
Учитывая рав-ва (1) и приводя подобные
члены, получаем нужный нам результат.
Через
детерминанты 3его порядка мы можем
написать:
=
(4)
Предложение 2. Равенство нулю детерминанта матрицы из компонент 3х векторов необоходимо и достаточно для компланарности векторов.
Док-во:
это сразу следует из ф-лы (4), т.к.
