W_л

1

^sT_дв^s1^T_э^s1

Нелинейная система после линеаризации:

1



y

W_{л .}

1W_лW_нэ

^ЗдесьW_нэ^{jqa,}

^jq_1^a,

- комплексный коэффициент передачи.

Графический способ:

Используя критерий Михайлова строим набор кривых в которых амплитуда и круговая частота являются параметрами. В точке (0,0) выражение1W_лW_нэприравненное нулю совпадет с кривой Михайлова и даст параметры цикла автоколебаний.

y

W_л

1W_лW_нэ

M

.W_л_N

, тогда

^D_1^j,,a^{qa,}

^jq_1^a,

^jT_дв^j1^T_э^j1

Строим указанный полином на комплексной плосоксти.

x

Экстраполируя значения, получаем амплитуду и частоту цикла колебаний. Используя критерий Михайлова заключаем, что полученный цикл автоколебаний будет устойчив, т.к. при увеличении амплитуды система становится устойчивой, при уменьшении –неустойчивой.

Аналитический метод

Представим

^D₁^j,,a^{в виде слагаемых:}

^D₁^j,,a^U^,a^jV^,a

Для равенства нулю всей этой комплексной функции надо приравнять нулю мнимую и действительную части.

^_^U,a^q,a^2T_э^T_дв



^_^V,a^q_1^,a^{3}

^T_э^T_дв

Решение системы уравнений с помощью ЭВМ дает искомые значения. Для проверки устойчивости вычисляем проверочные условия:

^U^,a

 _п

^V^,a

 _п

2_пT_эT_дв

13_п²_T_эT_дв

Аналогично находим производные по амплитуде в точке устойчивого цикла.

 

_1 ^aп  _{ }

U_,a_

_{2c aп}2_b2 _4ca _



a _aп 

 _

_aп2 _

 

_aп3

^V,a

_4c b

a _aп

_aп3

Для устойчивости надо выполнить условие:

^V^,a

 _п

^U^,a

a _aп

_^V^,a

a _п

^U^,a

 _п

Подставляя значения в проверочное условие, убеждаемся в правильности предположения об устойчивости предельного цикла.

Частотный метод с помощью АФЧХ

В точке предельного цикла амплитуда и частота колебаний постоянны, и нелинейный элемент описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

^W^j,a^W_нэ^j,a^W_л^j.

По критерию Найквиста – Михайлова для линейных систем можно определить устойчивость замкнутой системы по разомкнутой.

M_a,_

1

^{qa,}

^jq₁^a,

Раскрывая значения разомкнутой системы, получим:

W_лj_

1

^{qa,}

.

^jq₁^a,