^Wл.колеб

Изображение переходнойфункции:

_ 1

^T_дв^s1^T_э^s1

W_л  W

1 1

^{s .колеб sT}_дв^s1^T_э^s1 ^л

Следует отметить, что, хотя выражение дляH(s)совпало с выражением для передаточной функции линейной части исходной системы,появление «S»в знаменателе обусловлено принципиально иными причинами. В данном случае это не интегратор, а следствие воздействия на звено единичной ступеньки.

Представим выражение для H(s) в виде суммы простых дробей с неизвестными множителями А, В, С, крторые затем найдем методом неопределенных коэффициентов:

H_s_^{A B}  ^C

^s ^T_дв^s1 ^T_э^s1_.

С помощью системы MathCad получаем разложение переходной функции на слагаемые.

A:= 1

^Tдв

^B:=

^C:=

T_э

 ¹

^Tдв

T_э^Tдв

 ¹

T_э

При таких значениях переменных переходная функция:

1

H(s) :=

^Tдв ^Tэ

 

^s  ^T_э   ^T_дв 



T

¹_^(T_дв^s1)



_ ¹_^(T_э^s1)

T

Аппроксимируем полученную переходную функцию переходной функцией

^h₁^t

апериодического звена первого порядка с запаздыванием на время.Для этого строим график переходной функцииh{t)и проводим касательную к кривой в точке перегиба. Эта^{прямая будет в то же время являться касательной кh}₁^t^{в точке(,0) .}

Аналитический метод:

Найдем параметры аппроксимирующей функции аналитическим путем. Для этого вычислим вторую производнуюh(t), которая, как известно, в точке перегиба равна нулю, а затем, зная координаты точки перегиба, найдем коэффициенты в уравнении касательной. В свою очередь, зная уравнение касательной, можно определить точные параметры апериодического звена, тогда как графическим методом это можно сделать лишь приближенно.

Соответствующая изображению переходная функция имеет вид.

 ^t 



 ^t



h(t) :=





^Tдв^e

^Tдв^





• ^T_эe

_Tэ

¹

^Tэ^Tдв

Определим производную переходной функции:

 ^t 

_

 ^t









e

dh(t) :=

_Tдв 

• e

_Tэ

^Tэ^Tдв

Теперь определим вторую производную переходной функции:

 ^t 



 ^t



d2h(t):=

 _Tдв

e



^Tдв

 _Tэ

e

T_э

.

Далее приравняем полученное выражение к нулю и, получим решение уравнения

^{h&t0.Такимрешениембудеткоординататочкиперегибаt}_п^.

^T_э

 

T



_^Tдв^Tэ^дв

^t_п^:=

^T_э^T_дв

Определим коэффициенты в уравнении касательной у= kt + b:

Тогда параметры аппроксимирующей переходной функции:

1 1 b

п

h_t_пt_пh^&_t_п

^Tэкв^_k

^h&t

= 0,316

 

k

^h&^t_п

= 0,025.



_c,при

_b,

^0b,^&0



^c,при

_

_b,



Введем фазовые координаты:

^x_1^{tyt,x}_2^{ty&t.}

Тогда уравнения движения системы имеют вид:

_x^&_1t_x_2t_



_T_эквx^&_2t_x_2y_1t_

Исключаем время из этой системы дифференциальных уравнений. В итоге получаем следующее уравнение фазовой траектории.

dx_2

dx₁

^y₁^t^x₂

.

Значение

^y_1^t

может быть одним из значений выхода реле.

^1.y₁^t^=с.

dx_2

cx₂

. Тогда

_dx^T_экв^x₂^cc_dx

. Проинтегрировав указанное

dx₁

^Tэкв^x2

¹ cx₂ ²

выражение, получим.

^x_1^x_2^T_экв^x₂^T_экв^clnx₂^c

• Const'.

^2.y₁^t^=-с.

dx₂

^cx2. Тогда

_dx^T_экв^x₂^cc_dx

. Проинтегрировав указанное

dx₁

^Tэкв^x2

¹ cx₂ ²

выражение, получим.

^x_1^x_2^T_экв^x₂^T_экв^clnx₂^c

• Const'''.

Используя уравнение обратной связи и условие нулевого управления, приводим значение выхода реле в зависимости от фазовых координат.

 _x_1b,

_c,при



bx

0,x0

₁ 

^c,при

1 2

_x_1b,

^{ }0xb,x0

_  1 2

Получаем на фазовой плоскости линии переключения.

Теперь учтем запаздывание. Когда фазовая траектория дойдет до линии переключения,из-зазапаздываниясистемапереключитсяпозжеиуспеетпройтизаэто

время путь

x₂.Поэтому запаздывание учитывается наклоном линий переключения на

^{уголarctan}^.

Поскольку участки фазовых траекторий при

^y_1^{tc и}

^y_1^tc

имеют

одинаковую форму (но разное расположение относительно оси), а кроме того, соседние участки траекторий в каждой из этих областей обличаются лишь значением произвольной постоянной интегрирования, целесообразно при построении воспользоваться шаблоном.

_xdx1

Тогда

dt

¹ dx

² dt

^x_2^x₁ ¹

Проинтегрируем полученное выражение от точки А до точки В.

t_{B B 1}

_∫dt_{∫xxdx1}t_At_B

_{tA A2} 1