Файл: Рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине Математический анализ.docx

Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона – Лейбница



где – первообразная функция для

При использовании метода замены переменной (или метода подстановки) определенный интеграл вычисляют по формуле



При нахождении определенного интеграла с помощью метода интегрирования по частям используют формулу

(2)

_где – функции, дифференцируемые на

Задания 3.1 – 3.2. Несобственный интеграл от функции по бес-

_{конечному промежутку} (или несобственный интеграл первого рода) определяется равенством



Если указанный предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Если – первообразная функции , то верна формула



_{Аналогично определяется несобственный интеграл от функции} по бесконечному промежутку В случае сходимости верна формула

Задания 4.1 – 4.2. Площадь плоской фигуры D (рис. 1), ограниченной кривыми и прямыми находится по формуле (3)

Рис. 1

---

Задания 5.1 – 5.2. Дифференциальное уравнение вида



называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предполагая, что почленным делением на его сводят к уравнению



Далее равенство интегрируют и получают общий интеграл.

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид



где

Общим решением этого уравнения является функция



где …, – линейно независимые частные решения; – произвольные постоянные.

Для нахождения частных решений данного уравнения составляют характеристическое уравнение



и решают его.

Каждому корню характеристического уравнения соответствует определенное частное решение:

а) если – простой действительный корень, то ему соответствует решение вида

(4)

б) если – действительный корень кратностью k то ему соответствует k частных решений

…, (5)

_{в) если} – пара комплексно-сопряженных корней, то им соответствуют два частных решения:

---

(6)

г) если – пара комплексно-сопряженных корней кратностью k то им соответствуют частных решения:

…,

…,

Задания 6.1 – 6.2. Дифференциальное уравнение вида



где – заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Метод Бернулли. Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка необходимо:

1) искать общее решение уравнения в виде где – функции, которые надо найти;

2) подставить в заданное уравнение;

3) записать уравнение в виде



4) найти функцию как частное решение дифференциального уравнения

5) найти общее решение уравнения

6) записать общее решение исходного уравнения для найденных функций u, v.

Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию

---

Задания 7.1 – 7.2. Объем V цилиндрического тела T, ограниченного сверху поверхностью снизу плоскостью и сбоку цилиндрической поверхностью (рис. 2), вычисляют по формуле: (7) где область D – проекция тела на плоскость

Рис. 2

Если область интегрирования – правильная в отношении оси (рис. 14), то



Если область интегрирования – правильная в отношении оси (рис. 15), то



Рис. 3 Рис. 4

Задания 8.1 – 8.2. Числовым рядом называется выражение вида



где

Сумма



называется n-й частичной суммой.

Если существует предел



то ряд называется сходящимся, а S – его суммой; пишут

Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то

---

Следствие необходимого признака сходимости. Если то ряд расходится.

Признак сравнения. Пусть для знакоположительных рядов и начиная с некоторого n выполняется неравенство



Тогда:

а) из сходимости ряда следует сходимость ряда

б) из расходимости ряда следует расходимость ряда

Предельный признак сравнения. Если для знакоположительных рядов и существует



то оба эти ряда сходятся или оба расходятся.

Для исследования по признаку сравнения или предельному признаку сравнения часто используют следующие ряды:

а) ряд сходящийся при и расходящийся при

_б) ряд Дирихле (обобщенный гармонический ряд) сходящийся при и расходящийся при

_Если то последовательности и называются эквивалентными, что обозначают

_{В частности}

---