Файл: Рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине Математический анализ.docx

, а внешнее по . Для того, чтобы расставить пределы интегрирования, проведем через область прямые, параллельные оси . Они пересекут сначала дугу параболы затем прямую . Следовательно, линией входа в область будет , а линией выхода . При этом область проектируется на отрезок оси , т. е. . Получим



Сначала вычисляется внутренний интеграл, а затем внешний интеграл (из-под внутреннего интеграла вынесли множитель, который не зависит от ):





Так как область является правильной в отношении обеих координатных осей, то переходя к повторному (двукратному) интегралу можно выполнить внутреннее интегрирование по , а внешнее – по . Для того чтобы расставить пределы интнгрирования, проведем через область прямые, параллельные оси . Они пересекут сначала прямую , затем дугу параболы . Следовательно, линией входа в область будет , а линией выхода

---

. При этом область проектируется на отрезок оси , т. е. . Получим



Сначала вычислим внутренний интеграл, а затем внешний интеграл.







Ответ: .

б) Данное тело (рис. 8) ограничено сверху частью параболического цилиндра Боковая поверхность образована в результате пересечения плоскостей (плоскость ), а снизу – плоскостью . Проекция тела на плоскость (область ) представляет собой треугольник, ограниченный прямыми и (ось ) (рис. 9). Этот треугольник ограничивает тело снизу.


Рис. 8 Рис. 9

Объем тела вычисляется по формуле (7):



Область является правильной в отношении оси .

Переходим к повторному (двукратному) интегралу и выполним внутреннее интегрирование по

---

, а внешнее – по . Запишем границы области в виде , . Найдем отрезок на оси , на который проектируется область . Решая совместно уравнения и , находим координаты точки пересечения прямых: . Область проектируется на отрезок оси , т. е. . Для того чтобы расставить пределы интегрирования, проведем через область прямые, параллельные оси . Они пересекут сначала прямую , затем прямую . Следовательно, линией входа в область будет , а линией выхода будет . Получим



Вычислим сначала внутренний интеграл, а затем внешний интеграл.





Преобразуем подынтегральное выражение и приходим к интегралу, который вычисляем:

---

Ответ: .

Задание 8. Исследовать ряд на сходимость:

а) б) в) г)

Решение. а) Для исследования на сходимость применим предельный признак сравнения. Сравним данный ряд с рядом Дирихле (обобщенным гармоническим рядом) . Для определения показателя рассмотрим общий член заданного ряда . Если , то «скорость роста» числителя и знаменателя задают их старшие степени. Находим , поэтому . Следовательно, сравниваем данный ряд с расходящимся гармоническим рядом , общий член которого . Вычислим предел





Так как гармонический ряд расходится, то по предельному прзнаку сравнения расходится ряд .

б) 1-й способ. Для исследования на сходимость применим признак сравнения. Так как



то сравним данный ряд со сходящимся рядом Дирихле . Общий

член ряда . Поскольку выполняется неравенство , то по признаку сравнения ряд также сходится.

2-й способ. Для исследования на сходимость данного ряда можно применить предельный признак сравнения. Сравним данный ряд с рядом Дирихле . Для определения показателя

---

рассмотрим общий член заданного ряда и определим выражение, к которому он эквивалентен, если .

, где

Следовательно, сравниваем данный ряд с рядом Дирихле . Этот ряд сходится, так как Общий член этого ряда . Значит, и заданный ряд сходится. Вычислим предел отношения





По предельному признаку сравнения из сходимости ряда следует сходимость ряда .

в) Применим признак Д’Аламбера, который является наиболее рациональным в случае присутствия факториала. Так как , , то имеем











Таким образом, по признаку Д’Аламбера ряд сходится.

г) Применим признак Коши. Вычислим предел





Отсюда следует, что по признаку Коши ряд сходится.

Задание 9. Найти радиус и область сходимости степенного ряда, установить тип сходимости (абсолютная, условная сходимость):

---