Файл: Рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине Математический анализ.docx

Предельный признак Д’Аламбера. Пусть для знакоположительного ряда существует



Тогда:

а) при ряд сходится;

б) при ряд расходится.

Предельный признак Коши. Пусть для знакоположительного ряда существует



Тогда:

а) при ряд сходится;

б) при ряд расходится.

Если в предельных признаках Д’Аламбера и Коши получаем то нужны дополнительные исследования по другим признакам.

При использовании предельного признака Коши часто применяют формулу



Интегральный критерий сходимости. Пусть члены ряда имеют вид где – неотрицательная монотонно убывающая на функция. Ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) несобственный интеграл

Задания 9.1 – 9.2. Знакопеременный числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки:



где

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда

---

выполняются условия:

1)  (начиная с некоторого номера );

2) 

_{то ряд сходится}, а его сумма удовлетворяет условию

Следствие признака Лейбница. Если – n-я частичная сумма знакочередующегося ряда то

Степенным рядом называется ряд вида



где

Радиусом сходимости степенного ряда называется число r, которое находят по формуле

или

Ряд сходится, причем абсолютно, на интервале сходимости где и расходится на

Для определения области сходимости степенного ряда следует:

1) найти его радиус сходимости;

2) определить интервал сходимости с центром в точке a;

3) выяснить вопрос о сходимости ряда в граничных точках этого интервала, подставив их вместо x в заданный ряд.

Задания 10.1 – 10.2. Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью и функцию можно разложить в степенной ряд



в интервале и

---

.Тогда



Взяв достаточное число членов ряда, получим приближенное равенство



точность которого увеличивается с возрастанием .

Для того чтобы вычислить значение функции с точностью ,

необходимо взять сумму такого количества первых членов ряда, чтобы

.

Степенной ряд вида



называется рядом Тейлора функции

Рядом Маклорена функции называется ряд Тейлора вида



Имеют место разложения элементарных функций в ряд Маклорена:

---

4. Методические рекомендации к выполнению

контрольной работы

Задание 1. Найти неопределенные интегралы:

а) б) в)

Решение. а) Преобразуем подынтегральное выражение, а затем используем правила интегрирования и формулы (3), (4) таблицы интегралов:









б) 1-й способ. Выполним подстановку Тогда



Получим





2-й способ. Применим метод поднесения под знак дифференциала. Так как , то



в) 1-й способ. Применим подстановку тогда

Получим





Перейдя к переменной , получим



2-й способ. Применим метод поднесения под знак дифференциала. Так как , то





Задание 2. Вычислить определенные интегралы:

а) б)

---

в)

_{Решение.} а) Применим метод поднесения под знак дифференциала. Поскольку , то









б) Применим формулу (2) интегрирования по частям для определенного интеграла:











в) Заменяем Тогда Определим новые пределы интегрирования. Если то . Если то . Следовательно,





Задание 3. Вычислить несобственный интеграл первого рода:

;

Решение. 1) По определению несобственного интеграла имеем



Выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат и получим





Задание 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать рисунок.



Решение. Искомая фигура изображена на (рис. 5).


Рис. 5

Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решим систему уравнений:

---