Файл: Рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине Математический анализ.docx

откуда т. е. . Тогда .

Площадь данной фигуры, ограниченной линиями и , находим по формуле (3).







Задание 5. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

_а) б)

_в) г)

Решение. а) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.





Разделим обе части уравнения на и на при условии и :





Теперь переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:



Вычислим второй интеграл используя метод поднесения под знак дифференциала. Поскольку , то









Произвольную константу записали в форме (где

---

), чтобы в итоге получить решение в удобной форме записи.

Применим свойства логарифма и _. Получим



Отсюда общее решение запишется в виде , где .

б) Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид , найдем корни. Разлагаем левую часть этого уравнения на множители . Тогда или . Получили корни характеристического уравнения: . Все корни различные вещественные числа. Частными решениями дифференциального уравнения, соответствующими полученным корням характеристического уравнения, на основании (4, будут . Общее решение принимает вид



в) Составим характеристическое уравнение . Поэтому , . Корни вещественны и равны, т. е. корень кратности 2. Частными решениями дифференциального уравнения, на основании (5), будут , , а общее решение запишется в виде



г) Запишем характеристическое уравнение . Решаем его как квадратное:

---

Получили два комплексно сопряженных корня вида , где . Тогда частными решениями данного уравнения, на основании (6), будут . Общее решение принимает вид



Задание 6. Решить задачу Коши при начальном условии



Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, так как искомая функция и ее производная входят в него в первой степени. Решим его методом Бернулли. Общее решение уравнения будем искать в виде , где и – дифференцируемые функции. Находим . Подставим и в заданное уравнение:



Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем за скобки общий множитель



Согласно используемому методу решения находим функцию как частное решение дифференциального уравнения . Последнее уравнение решаем как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Получаем , откуда . Разделим обе части уравнения на и получим ( при условии ). Почленно интегрируя, имеем

---

, , .

В итоге для определения функции имеем уравнение Подставим в него найденную функцию и снова получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:



Интегрируем и получаем



Запишем общее решение для найденных функций и :



Используя начальное условие подставляем в общее решение заданные значения переменных и определяем соответствующее значение произвольной постоянной При этом значении из общего решения получаем частное решение задачи Коши , удовлетворяющее заданному начальному условию.

Задание 7. Изобразить заданное тело и его проекцию на плоскость С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

а)

---

б)

Решение. а) Данное тело (рис. 6) ограничено сверху частью плоскости а боковая поверхность образована в результате пересечения параболического цилиндра , плоскости и плоскости .



Рис. 6 Рис. 7

Область (проекция тела на плоскость ) ограничена параболой прямыми (рис. 7). Область ограничивает тело снизу. Область является правильной в отношении оси .

Объем тела вычисляется по формуле (7):



Решая совместно уравнения и находим координаты точки пересечения параболы и прямой: . Переходим к повторному (двукратному) интегралу и выполняем внутреннее интегрирование по

---