Файл: Дана Система Линейных Алгебраических Уравнений. Требуется решить её тремя способами 1) Решить её методом Гаусса (исключения неизвестных элементарными преобразованиями матрицы) Проверить решение.doc

Проверка решения подстановкой в систему

Проверим решение подстановкой в уравнения исходной системы.

1-е уравнение системы: x₁ + x₂ + 5x₃ = 0

Подставляем значения неизвестных в левую часть:

3 + 2 + 5_*(–1) = 2+3 – 5 = 0 - получаем правую часть уравнения.
2-е уравнение системы: 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 8

Подставляем значения неизвестных в левую часть:

2_*3 + 3_*2 + 4_*(-1) = 6 + 6 – 4 = 12 – 4 = 8 - получилась правая часть уравнения.
3-е уравнение системы: 3 x₁ – 2 x₂ + 4 x₃ = 1.

Подставляем значения неизвестных в левую часть:

3_*3 – 2_*2 + 4_*(–1) = 9 – 4 – 4 = 1 - получаем правую часть уравнения.

Кстати, мы только что умножили матрицу A=

1 2 3 1 3 -2 5 4 4

на вектор x =

3 2 -1

и получили вектор b =

0 8 1

---

2. Пример решения СЛАУ «матричным методом» (с использованием обратной матрицы). Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.

Пусть дана СЛАУ A x = b.
Если известна обратная матрица A^-1 то решение получается по формуле x = A^-1 b .

Рассмотрим СЛАУ

x1 + x2 + 5x3 = 0 2x1 + 3x2 + 4x3 = 8 3x1 - 2x2 + 4x3 = 1

Обозначим матрицу, обратную к A через C: C = A^-1, C = (c_ij).

С =

с11 с21 с31 с12 с22 с32 с13 с23 с33

E =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

(определение единичной матрицы)

Обратная к A матрица определяется равенство AA^-1 = A^-1A = AC = CA = E.

AC=

1 2 3 1 3 -2 5 4 4

с11 с21 с31 с12 с22 с32 с13 с23 с33

=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

---

Для вычисления обратной матрицы к матрице коэффициентов надо вычислить все столбцы обратной матрицы.

Запишем это равенство матриц в виде трёх равенств столбцов:

	1 2 3 1 3 -2 5 4 4	с11 с21 с31	=	1 0 0
	1 2 3 1 3 -2 5 4 4	с12 с22 с32	=	0 1 0
	1 2 3 1 3 -2 5 4 4	с13 с23 с33	=	0 0 1

Получили три СЛАУ порядка 3*3 с одной и той же матрицей коэффициентов.

Будем решать их одновременно методом Жордана-Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу системы (матрица коэффициентов и три столбца правых частей):

---

1 2 3 1 3 -2 5 4 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Прямой ход метода Гаусса:
1. Применим к матрице следующие элементарные преобразования:

Прибавим ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на -2;

прибавим к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на -3

(первая строка не меняется):

1 2+(-2)*1 3+(-3)*1 1 3+(-2)*1 -2+(-3)*1 5 4+(-2)*5 4+(-3)*5 1 0+(-2)*1 0+(-3)*1 0 1+(-2)*0 0+(-3)*0 0 0+(-2)*0 1+(-3)*0

1 0 0 1 1 -5 5 -6 -11 1 -2 -3 0 1 0 0 0 1

2. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование:

прибавим к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 5:

(первая и вторая строка не меняется):

1 0 0+5*0

1 1 -5+5*1

5 -6 -11+5*(-6)

1 -2 -3+5*(-2)

0 1 0+5*1

0 0 1+5*0

1 0 0

1 1 0

5 -6 -41

1 -2 -13

0 1 5

0 0 1

---

Прямой ход метода Гаусса закончен. Матрица системы преобразована в верхнетреугольную, можно переходить к обратному ходу метода Гаусса.
А можно продолжить элементарные преобразования матрицы с целью превратить матрицу в единичную. Это называется методом Жордана-Гаусса.
Итак, продолжим преобразования. Заметим, что первые два элемента на главной диагонали (случайно) оказались равны 1.
Все элементы главной диагонали всегда можно сделать единичными, поделив каждую строку на её диагональный элемент. В данном случае
3. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование:

третью строку поделим на -41 (умножим на -1/41):

1 0 0 1 1 0 5 -6 -41/-41 1 -2 -13/-41 0 1 5/-41 0 0 1/-41

≡

1 0 0 1 1 0 5 -6 1 1 -2 13/41 0 1 -5/41 0 0 -1/41

4. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование:

• 
  прибавим к 1-й строке 3-ю строку, умноженную на -5, чтобы обнулить 3-й элемент 1-й строки; первые два элемента 1-й строки не изменятся
  
• 
  прибавим ко 2-й строке 3-ю строку, умноженную на 6, чтобы обнулить 3-й элемент второй строки; первые два элемента 2-й строки не изменятся
  

Эти преобразования составляют специфическую (“Жорданову”) часть метода Жордана-Гаусса. Можно назвать её «обратным ходом» для матрицы коэффициентов.

1 0 0

1 1 0

5+(-5)*1 -6+6*1 1

1+(-5)*13/41 -2+6*13/41 13/41

0+(-5)*(-5/41) 1+6*(-5/41) -5/41

0+(-5)*(-1/41) 0+6*(-1/41) -1/41

---