Файл: Дана Система Линейных Алгебраических Уравнений. Требуется решить её тремя способами 1) Решить её методом Гаусса (исключения неизвестных элементарными преобразованиями матрицы) Проверить решение.doc

1 0 0

1 1 0

0 0 1

1 - 65/41 -2+78/41 13/41

25/41 1- 30/41 -5/41

5/41 0 – 6/41 -1/41

1 0 0

1 1 0

0 0 1

-24/41 -4/41 13/41

25/41 11/41 -5/41

5/41 – 6/41 -1/41

5. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование:

прибавим к 1-й строке 2-ю строку, умноженную на -1:

(третья и вторая строка не меняется):

1 0 0

1+(-1)*1 1 0

0+(-1)*0 0 1

-24/41+(-1)*(-4/41) -4/41 13/41

25/41+(-1)*11/41 11/41 -5/41

5/41+(-1)*(-6/41) – 6/41 -1/41

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-20/41 -4/41 13/41

13/41 11/41 -5/41

11/41 – 6/41 -1/41

Преобразования закончены.

Часть расширенной матрицы, состоявшая из правых частей, превратилась в матрицу, обратную главной матрице СЛАУ (обратную к матрице коэффициентов):

A-1 = C =

-20/41 -4/41 13/41 14/41 11/41 -5/41 11/41 -6/41 -1/41

=

с11 с21 с31 с12 с22 с32 с13 с23 с33

---

Умножим обратную матрицу на столбец правых частей исходной системы:

A-1b=

– 20/41 -4/41 13/41 14/41 11/41 -5/41 11/41 -6/41 -1/41

0 8 1

=

(– 20/41)*0 + (14/41)*8+(11/41)*1 (-160/41)*0 + (11/41)*8+(-6/41)*1 (13/41)*0 + (-5/41)*8+(-1/41)*1

=

(112+11)/41 (88-6)/41 (-40-1)/41

=

123/41 82/41 -41/41

=

3 2 -1

=

x1 x2 x3

Получили тот же ответ, что и другими методами (Гаусса и Крамера).

---

3. Пример Решения СЛАУ методом Крамера

Рассмотрим СЛАУ (ту же самую, что и для метода Гаусса)

x1 + x2 + 5x3 = 0 2x1 + 3x2 + 4x3 = 8 3x1 - 2x2 + 4x3 = 1

По формулам Крамера значение переменной x_i равно отношению соответствующего вспомогательного определителя к главному определителю системы:
x_i = Δ_i / Δ
Выпишем матрицу коэффициентов СЛАУ, столбец правых частей и столбец неизвестных:

(матрицы и столбцы ниже заключены в квадратные скобки)

A =

1 2 3 1 3 -2 5 4 4

,

b =

0 8 1

,

x =

x1 x2 x3

,

Вычислим главный определитель системы = определитель матрицы коэффициентов разложением по первой строке:

det A=Δ=

1 2 3 1 3 -2 5 4 4

=

1*

3 -2 4 4

-1*

2 3 4 4

+ 5*

2 3 3 -2

=

---

= 1_*(3_*4 – (-2)_*4) – 1_*(2_*4 – 3_*4) + 5_*(2_*(-2) – 3_*3) =
= 1_* (12 + 8) – 1_*(8 – 12) + 5_*( -4 – 9) =
= 1*20 – 1*(-4) + 5*(-13) = 20 + 4 – 65 = - 41 = Δ = det A ≠ 0,
следовательно СЛАУ имеет единственное решение (при любых правых частях), которое можно вычислить по формуле Крамера.
Вычисление вспомогательных определителей и неизвестных.
1. Для вычисления Δ₁ заменяем первый столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов и вычисляем определитель разложением по первой строке:

Δ1=

0 8 1 1 3 -2 5 4 4

=

0*

3 -2 4 4

– 1*

8 1 4 4

+ 5*

8 1 3 -2

=

= 0_*(3_*4 – (-2)_*4) – 1_* (8_*4 – 1_*4) + 5_*(8_*(-2) – 1_*3) =
= 0 – 1*(32 – 4) + 5*(-16 – 3) =
= –1*28 + 5*(-19) = -28 – 95 = -123 = Δ₁
x₁ = Δ₁ / Δ = -123/-41 = 3

2. Для вычисления Δ₂ заменяем второй столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов и вычисляем определитель разложением по первой строке:

Δ2=

1 2 3 0 8 1 5 4 4

=

1*

8 1 4 4

- 0*

2 3 4 4

+ 5*

2 3 8 1

=

---

= 1_*(8_*4 – 1_*4) – 0_*(2_*4 – 3_*4) + 5_*(2_*1 – 3_*8) =
= 1*(32 – 4) – 0 + 5*(2 – 24) =
= 1*28 – 0 + 5*(-22) =

= 28 – 110 = -82 = Δ₂
x₂ = Δ₂ / Δ = -82/-41 = 2
3. Для вычисления Δ₃ заменяем третий столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов и вычисляем определитель разложением по первой строке:

A =

1 2 3 1 3 -2 0 8 1

=

1*

3 -2 8 1

– 1*

2 3 8 1

+ 0*

2 3 3 -2

=

= 1_*(3_*1 – (-2)_*8) – 1_*(2_*1 – 3_*8) + 0_*(2_*(-2) – 3_*3) =
= 1_*(3 +16) – 1_*(2 – 24) + 0 =
= 1_*19 – 1_*(-22) =
= 19 + 22 = 41
x₃ = Δ₃ / Δ = 41/-41 = -1

Можно записать вектор решения:

x =

x1 x2 x3

=

3 2 -1

.

Сравниваем с результатом решения СЛАУ методом Гаусса

---