ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 810
Скачиваний: 4
№5.
у ” - — =
5 cos*;
4
У
к
= 5е
4 , у (0) =
1
.
V
•‘ ■ У
№
6
.
у" - у =
10
* cos
2
*;
У
Г
7ГЛ
= -71,
у
Г 7Г^
- 7Z.
№7.
y - - y L J - L
= 2 xe-* ;
2
2
у (0) =
1, у(1)
= - + 2 е2 - 5 е
е
№
8
.
у" - у ' - 2 у = \0е
x cos*;
У
/ лл
л
= -Ъе
2
,
у(7г) = е п .
\
/
№9.
у* + - - — = 5ех
sin*;
2
2
У
=
0
, Я
0
) = -
2
.
№
10
.
у " - у = 2х
cos*;
71
у\ —
= 71,
у
- 71.
58
№
11
.
y(
0) = -3 ,
y(l) = - 7e 2
+-
№ 12.
/ - Y ~ 3y = 3e2;
y(l) = 3e 2 - 4 e , y(2) = — - e .
e
№13.
y ” + y ' ~ —
= 5 cos—;
7
y
4
2
n
„ - ’L
l = 5e “I - 3 ,
y (
0) = 1.
№14.
у - + У - - ^ = е~х ;
У
2
2
3
1
y ( - l ) = e 2 - e , y(\) = e 2 - -
e
№15.
№ 16.
y ' - T =5 e "
4
y (
0) = 1, .>>(1) - 5e
2
- 4e.
y" - 4 y '
= 5sinx;
/ - 1 = 5 ^ - ! , y(/r) = 5<T2;r.
59
№17.
» 3 /
о
2
У + ~ у ~ У = 2х
;
у ( - 1) = ~
+ 2 е 2 - 9 ,
у ( 0) = - 9 .
у/е
№18.
у ” + у' - 2 у
= e 2x cos
2
x;
У
=
0
,
у
я-
=
0
.
№19.
у"
+
— - Зу = 5ех
cosx;
у{
0
) = -
1
, у
71
= е 2
.
№20.
у " - 4 у = е 2х
sinx;
У
К
=
1
,
у(тг)
= е
=
р2
\
Образец выполненш заданш
Метод конечных разностей
Получим решение краевой задачи
у ' + х у 1-
0 .5 ^ =
1
,
х
\у(2) + 2у'(2) = 1,
^ ( 2 .3 ) = 2.15,
Разбив отрезок [2;2.3] на части с шагом А = 0.1, получим
четыре узловые точки с абсциссами
*5
=
2
;
ху
=
2
.
1
;
х 2 =
2
.
2
;
*3
= 2.3 . Две точки
xq
= 2 и
*3
= 2.3 являются конечными, а
две другие - внутренними. Данное уравнение во внутренних
точках заменим конечно-разностным уравнением
60
У
/+1
~ 2У1
+ У
/-1
+
У
/+1
-У1-1
_
0 5
Z l = i (, = 2,3).
h 2
2h
x i
Для краевых условий составим
конечно-разностное
уравнение в конечных точках
- у
2
+ 4 Л - З у
0
У
О
+
2
-
2 А
УЗ =2.15 0 = 3).
Данная задача сводится к решению системы уравнений
- у
2
+ 4yi - Зуд
,
У0
+ ------------ --------- =
1
0.1
У2 ~ 2yi
+
УО
0.01
УЗ ~ 2У2 +У\
+
2
.
1
-
У
2
~У
0
0.2
0.5— = 1,
2.1
0.01
УЗ =2.15.
+
2.2
• ——— - 0 . 5 ^ - =
1
,
0.2
2.2
Выполнив преобразования, имеем
- 2 .9 у
0
+ 4 у! — у
2
=0.1,
375.9у
0
— 841>1 +464.1у2 =4.2,
391.6yi -881у2 +488.4уз = 4.4,
УЗ
=2.15.
Подставив значение у
3
в третье уравнение, получим для
определения остальных неизвестных систему
Г -2.9у
0
+ 4 у
1
- у
2
=0.1,
< 375.9у
0
- 8 4 1 л +464.1у2 = 4.2,
3 9 1 .6 у !-8 8 1 у 2 =-1045.66.
Решая эту систему уравнений, получим
61
х 0 =2
jq =
2.1
*2
=
2.2
х
3
= 2.3
УО =
2-235;
Л =2.185;
Л> =2.158;
У2
=2.150.
Метод прогонки
Определим решение задачи
у* + х у '- 0 . 5 — =
1,
х
[у(2.3) = 2.15,
методом прогонки.
Здесь а о = Ь «
1
= 2 ,
А =
1, /? о = * > А = ° > 5 = 2.15;
узловые точки имеют абсциссы л:, = 2 + 0.05 • /; коэффициенты
Pi =
*/»
4i
=
; / / = ! O' = 0,1,2,...,
6
).
Xt
Метод прогонки состоит из «прямого хода», в котором
определяют коэффициенты
mi =
2 h z q i - 4
2 + hpj
’
(/ =
1
,
2
,...,
n -
1
), а также
a
1
ЛА
f
0
—
,
—
a o « _ 0 :l
«1
2
~
hpj
2
+
hpi
2f i
2
+
hpi
1
mi
1
di - Fjh - n j C i ^ d i ^ i
0
=
1,2,....,n
-1 ).
После
выполнения
«прямого хода»
переходят к
выполнению «обратного хода», который состоит в определении
значений искомой функции по формулам
62