ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 811
Скачиваний: 4
Результаты представим в таблице:
i
x i
У1
0
0
1
1
0.1
1.1
2
0.2
1.83
3
0.3
1.254
4
0.4
1.315
5
0.5
1.369
6
0.6
1.415
7
0.7
1.456
8
0.8
1.491
9
0.9
1.521
10
1.0
1.547
Метод Рунге-Кутты
2..,
Проинтегрируем уравнение
х у ' - х у = 1
с начальным
условием у (
1
) =
0
на отрезке [l,
2
] с шагом
h
=
0
.
2
.
У
1
Здесь
f ( x , y ) = — + — .
Находим числа:
*
х 2
kx = h - f ( x , y )
=
0.2
h
кх
х + - , у + —
2
2
г 0
1
л
J V
,
л
г
=
0.2
v
/
•
h
/12
х + - , У + ^ -
2
2
к - '
' '
к2 = h f
к$ = h - f
k4 = h
•
f ( x + h, y + k i ) = 0.2
=
0
.
2
;
0.1
1
+ -
=
0.2
1.1
l . l 2 ,
0.09
1
+ -
1.1
\.V
^ 0.18
1
л
------------------
1
------------- ;
1.2
1.2"
= 0.18;
= 0.18;
= 0.17;
53
Следовательно, Ауо = — (A^j +
2к2
+
2&3
+
k
4 ) = 0.18, т.е.
6
У\
=
У
0
+
Avo
=
0
+
0.18
=
0
.
1 8
.
Аналогичным образом находим
h = h - f ( x , y ) =
0.2
• + ■
1-2
1
.
2
-
= 0.17;
k 2 = h - f x + — , y + —
1
=
0.2
k 3 = h - f ( x + ^ , y + ^ -
=
0
.
2
-
/
0.26
1
------------------
1
------------- ;
1.3
1.3'
0.25
1
-----------------
1
--------------
1.3
1.3"
= 0.15;
= 0.15;
&4
=
h- / ( х + к , у + кз) =
0.2
1
'о .З З
1 Л
+ — -
1.4
1.4"
= 0.14;
Следовательно, Ayj = — (Arj +
2k2
+
2k
3
+ £
4
) = 0.15, т.е.
6
У2 = У\
+АУ1
= 018 + 0.15 = 0.33 и т.д.
Лабораторная работа №14
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕ РЕ НЦИАЛЬ НЫХ
УРАВНЕНИЙ
Задание.
Используя
классический
метод
Рунге-Кутты
четвертого порядка, определить численное решение
задачи Коши для системы на заданном отрезке с
шагом
0.01
и
0.05.
Оценить
главный
член
погрешности по правилу Рунге. Сравнить численное
решение с аналитическим.
54
№ 2 .
\
x
' = 4
x
' + 5
x
2’
Xl( o ) = 2 ,
x
2 (
o
)
= 1,
t e [ 0 , l ]
[ *
2
= “ 2*! +
2
x
2
;
№
1 .
\X
l
4
*
l +
2
* 2 >
x j
(o)
= - 3 ,
*
2
( 0 ) = 4 ,
t
e [ 0 , l ] ,
[*2= -3*i - * 2;
№3. Г
1
6^ 1 + 8 ^2 ’
*1
(
0
) =
-2 , x 2
(O) = 1,
t
e [0,1}
[*
2
=
-2 x \ - 2 x 2 ;
№4. {
1
1
2 ’ *j(o) = - l , *
2
(
0
) = - 2, ^е[0,л-}
[*
2
= -4 * i + * 2 ;
№5. j Xl “ ~8Xl +
8X2
’
xi
(O) = 2,
x 2
(O) = 1,
t e
[0,3l
[*
2
= -
2
*
1
;
№
6
. I
1
1
2 ’ *i(o) = l, *
2
(o) = -
2
, ^ е [
0
,тг].
[ *
2
=
2*1
- * 2 ;
№7.
\ Xl
3
x
' +5
x
2 ’
*j (
0
) =
6
, *
2
(o) = 3,
t e [
0,lj
[* 2 = - 2 * i + 4 * 2 ;
№
8
. Г
1
X1
ХЪ x l
(
0
) =
2
, *
2
(
0
) = -
1
,
te[0 ,7 r\
[*
2
= 4*i
- x 2 ;
№9. Г
1
2X1+ХЪ
*!(0) = 0, *
2
(0) = 3, /e [ 0 ,3 j
. -[*
2
=
2*1
- 3 * 2 ;
№ 1 0 . j * 1
Xl
5X2,
* i(0 ) = 1,
* 2 (0) = - 1 , / е [ 0 ,т г }
[ * 2= *1
+ * 2 ;
55
№
1 1
.
{*'
44 +6jt2.
(0)=5
x2(0) =
2
, / € [
0
,
3
}
[*2=-*i + *
2
;
№12. ( * '
8X1 5X2' *i(0) = -3, ч ( 0 ) =2, / e [0,*}
1*2
*1
>
№14. { * 1 = 2 * l +5*2.
(o) = 1>
{ o ) = 4 , g [0 ;rj
[*
2
= —4*1 -
2
*
2
!
№15. Р 1 = -
3
* 1 - 2* 2-
( 0 ) = _3j
(o)= 4 , , e [
0
,
3
}
[*2
=
3
*i +2*2;
№16. Г | = Х | ' 512’ x ,( 0 ) = - l, ^
2
(
0
)= 1. / s [0,1 J
1*2
= *1
+ 3 * 2 ;
№17. |
ч
= - « Ч + 4 *2.
(0) = 5
j
(0)=4_ ( £ [
o j j
|* 2 = - 3 * i + * 2 ;
№18. Й = - 2 4 - 5
x
2 .
хг(0)=2> (s[0j)r]
[*2
1
’
№
1 9 '
&
'
-
5
++
S
;
4
(
0
b
4
'
I 2
( °
b
3
’
' £ [0 ’3)
№
20
.
\ Xl
2X1
**2 ’ *i(
0
) = -
1
, *
2
(
0
) = -
2
, f e [
0
,
1
}
[*2
=
*1
+ 2 x 2>
56
Л абораторная работа №15
РЕШ ЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫ КНОВЕННЫ Х
ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНЫ Х УРАВНЕНИЙ
Задание.
Найти численное решение линейной краевой задачи
для дифференциального уравнения второго порядка:
1
) конечно-разностным
методом,
используя
аппроксимацию производных второго порядка и
шаг
h
=
0
.
1
;
_з
2
) методом прогонки с точностью £' =
10
; шаг
h
= 0.05.
№
1
.
№
2
.
»
У
х
у
=
2
x c o s—;
4
2
У
= л/2л--4>/2, у(0) = 0.
У
v
2 ,
•
у
'
У
_
2
2
=
е
sin
j c ;
У
v 2 у
№3.
= 0, у(0) = 0.
»
Зу
№4.
у(0) = 7, д,(1) = 4 — = .
ые
у * - Ъ
- ^ - у = 9 х е - х -,
2
9
20
Я
1
) = —
г
+
~
~
’
^
= —
+
yje
е
9
26
57