ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2111
Скачиваний: 1
21
б
) ;
)
(
)
(
0
a
q
a
y
a
K
в
)
.
)
(
)
(
)
(
0
a
a
a
y
a
y
a
K
Условия
на
правом
конце
b
x
задаются
аналогично
.
Замечание
.
Аналогичные
краевые
задачи
получим
в
случае
,
когда
1
0
),
sin(
)
(
)
(
)
,
(
n
n
n
n
t
x
u
x
u
t
x
u
1
0
),
sin(
)
(
)
(
)
,
(
n
n
n
n
t
x
F
x
F
t
x
F
1
),
sin(
)
(
)
(
n
n
n
n
a
t
x
t
1
),
sin(
)
(
)
(
n
n
n
n
a
t
x
t
1
0
),
sin(
)
(
)
(
n
n
n
n
a
t
x
q
q
t
q
где
0
,
,
,
,
,
q
q
n
n
n
n
n
–
постоянные
; )
(
0
x
u
–
решение
стационарных
краевых
задач
,
описанных
в
разделе
1.7;
а
)
(
x
u
n
–
решение
краевых
задач
,
рассмотренных
выше
в
этом
разделе
.
Следует
иметь
в
виду
,
что
частоты
колебаний
n
являются
в
общем
случае
неизвестными
величинами
,
определяемыми
в
процессе
решения
задачи
.
1.9.
Основные
термины
Струна
,
стержень
,
пластина
,
тело
.
Температура
,
тепловой
поток
,
интенсивность
теплового
потока
,
количество
тепла
,
коэффициент
теплопроводности
,
теплообмен
,
коэффициент
температуропроводности
.
Краевые
(
граничные
)
условия
,
начальные
условия
.
Обыкновенное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
,
краевая
задача
одномерной
стационарной
теплопроводности
.
Уравнение
параболического
типа
,
начально
-
краевая
задача
одномерной
нестационарной
теплопроводности
.
Уравнение
эллиптического
типа
.
Первая
,
вторая
,
третья
краевая
задача
.
Краевая
задача
двухмерной
стационарной
теплопроводности
.
Уравнение
гиперболического
типа
,
начально
-
краевая
задача
.
Уравнения
продольных
колебаний
струны
,
продольных
и
крутильных
колебаний
стержня
.
Гармонические
колебания
упругих
тел
.
22
2.
Решение
краевой
задачи
для
линейного
обыкновенного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
2.1.
Постановка
задачи
Рассмотрим
следующую
краевую
задачу
:
требуется
на
отрезке
b
a
,
найти
решение
)
(
x
Y
дифференциального
уравнения
),
(
)
(
)
(
x
f
y
x
q
y
x
p
y
y
L
(2.1)
или
)
(
)
(
)
(
]
[
x
g
y
x
y
x
K
y
L
, (2.2)
удовлетворяющее
условиям
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2
1
0
2
1
0
b
b
y
b
b
y
b
a
a
y
a
a
y
a
(2.3)
где
)
(
),
(
),
(
x
f
x
q
x
p
, )
(
x
K
(
0
)
(
x
K
), )
(
x
K
, )
(
x
, )
(
x
g
–
заданные
функции
,
непрерывные
на
b
a
, ;
,
,
,
,
0
2
1
0
b
a
a
a
2
1
,
b
b
–
заданные
действительные
числа
,
причем
0
2
1
2
0
a
a
,
0
2
1
2
0
b
b
. (2.4)
Напомним
,
что
в
отличие
от
имеющей
всегда
единственное
решение
задачи
Коши
для
уравнений
(2.1), (2.2),
краевая
задача
(2.1), (2.3)
или
(2.2), (2.3)
может
иметь
или
одно
решение
,
или
бесконечно
много
решений
,
или
,
наконец
,
может
совсем
не
иметь
решений
.
Везде
далее
будем
предполагать
существование
единственного
решения
)
(
x
Y
поставленной
краевой
задачи
,
что
часто
вытекает
из
физического
смысла
того
явления
или
процесса
,
математическое
моделирование
которого
привело
к
задаче
(2.1), (2.3)
или
(2.2), (2.3).
Заметим
,
что
уравнение
(2.1)
может
быть
сведено
к
уравнению
(2.2)
после
умножения
(2.1)
на
положительный
множитель
dt
t
p
x
a
e
x
K
)
(
)
(
, (2.5)
и
тогда
)
(
)
(
)
(
x
q
x
K
x
, )
(
)
(
)
(
x
f
x
K
x
g
.
И
наоборот
,
уравнение
(2.2)
может
быть
сведено
к
уравнению
(2.1),
для
этого
достаточно
разделить
обе
части
уравнения
(2.2)
на
)
(
x
K
и
ввести
обозначение
)
(
/
)
(
)
(
),
(
/
)
(
)
(
),
(
/
)
(
)
(
x
K
x
g
x
f
x
K
x
x
q
x
K
x
K
x
p
.
2.2.
Алгоритм
метода
Галеркина
В
методе
Галеркина
для
нахождения
приближенного
решения
задачи
(2.1),
(2.3)
строится
функциональная
последовательность
0
)
(
x
y
n
из
пробных
решений
)
(
x
y
n
следующим
образом
.
23
Задаемся
на
отрезке
b
a
,
некоторой
системой
дважды
непрерывно
дифференцируемых
функций
)
(
),...,
(
),
(
1
0
x
u
x
u
x
u
n
таких
,
что
)
(
0
x
u
удовлетворяет
краевым
условиям
(2.3),
а
функции
)
(
),...,
(
),
(
2
1
x
u
x
u
x
u
n
,
называемые
пробными
функциями
,
линейно
независимы
на
b
a
,
и
удовлетворяют
однородным
краевым
условиям
.
0
)
(
)
(
,
0
)
(
)
(
1
0
1
0
b
u
b
b
u
b
a
u
a
a
u
a
(2.6)
Составляем
функцию
n
i
i
i
n
x
u
C
x
u
x
y
1
0
)
(
)
(
)
(
(2.7)
с
неизвестными
пока
постоянными
коэффициентами
n
C
C
C
,...,
,
2
1
.
Подчеркнем
,
что
в
силу
линейности
условий
(2.3),
функция
(2.7)
при
любых
значениях
n
C
C
,...,
1
удовлетворяет
этим
условиям
.
Подставляя
функцию
)
(
x
y
n
из
(2.7)
вместо
)
(
x
y
в
уравнение
(2.1),
получаем
функцию
n
i
i
i
n
u
L
C
x
f
u
L
x
C
C
C
R
1
0
2
1
,
)
(
)
,
,...,
,
(
(2.8)
которая
называется
невязкой
.
Как
видно
из
(2.8),
невязка
линейно
зависит
от
параметров
n
C
C
C
,...,
,
2
1
и
является
характеристикой
уклонения
функции
(2.7)
от
точного
решения
)
(
x
Y
задачи
(2.1), (2.3).
Во
всяком
случае
,
если
при
некоторых
значениях
параметров
n
C
C
C
,...,
,
2
1
невязка
на
]
,
[
b
a
тождественно
равна
нулю
,
то
)
(
)
(
x
y
x
Y
n
в
силу
единственности
)
(
x
Y
.
Однако
в
общем
случае
невязка
оказывается
отличной
от
нуля
.
Поэтому
подбираем
значения
параметров
n
C
C
,...,
1
так
,
чтобы
невязка
в
каком
-
то
смысле
была
бы
наименьшей
.
В
обобщенном
методе
Галеркина
значения
параметров
n
C
C
,...,
1
определяются
из
системы
уравнений
,
,
1
,
0
)
(
,
,
,...,
1
n
k
x
W
x
C
C
R
k
n
(2.9)
где
b
a
dx
x
g
x
x
g
x
)
(
)
(
))
(
),
(
(
, (2.10)
а
)
(
),...,
(
1
x
W
x
W
n
–
заданные
непрерывные
и
линейно
независимые
на
b
a
,
функции
,
часто
называемые
поверочными
функциями
.
Заметим
,
что
если
в
качестве
поверочных
функций
взять
пробные
,
то
получится
метод
Галеркина
в
авторском
варианте
[1].
Заметим
также
,
что
если
)
(
),...,
(
1
x
W
x
W
n
входят
в
полную
систему
функций
,
то
при
n
равенства
(2.9)
свидетельствуют
об
ортогональности
невязки
всем
элементам
полной
системы
[3].
Значит
,
невязка
сходится
при
n
к
нулю
в
среднем
,
и
можно
ожидать
сходимости
последовательности
(2.7)
к
точному
решению
)
(
x
Y
в
среднем
,
т
.
е
.
.
0
)
(
)
(
),
(
)
(
lim
x
y
x
Y
x
y
x
Y
n
n
n
24
Записав
условие
(2.9)
в
развернутом
виде
,
для
определения
значений
параметров
n
C
C
,...,
1
получаем
неоднородную
систему
линейных
алгебраических
уравнений
n
-
го
порядка
n
j
k
j
kj
n
k
b
C
a
1
,
,
1
,
(2.11)
где
b
a
k
k
k
b
a
k
j
j
j
k
j
kj
dx
W
qu
u
p
u
x
f
x
W
u
L
x
f
b
dx
W
qu
u
p
u
x
W
u
L
a
.
)
)
(
(
))
(
,
)
(
(
,
)
(
))
(
,
(
0
0
0
0
(2.12)
Решив
систему
(2.11)
и
подставив
определяемые
этим
решением
значения
параметров
n
C
C
,...,
1
в
(2.7),
заканчиваем
построение
пробного
решения
)
(
x
y
n
.
Опишем
теперь
возможный
алгоритм
приближенного
решения
задачи
(2.1),
(2.3)
методом
Галеркина
,
предполагая
,
что
)
(
x
y
n
сходится
к
)
(
x
Y
при
n
.
1.
Подготовительный
шаг
алгоритма
.
На
этом
шаге
выбираем
функцию
)
(
0
x
u
,
пробные
функции
)
(
),...,
(
1
x
u
x
u
n
и
поверочные
функции
)
(
),...,
(
1
x
W
x
W
n
.
Находим
функцию
)
(
)
(
0
0
x
f
u
L
x
R
,
т
.
е
.
невязку
от
подстановки
)
(
0
x
u
в
уравнение
(2.1).
Если
,
0
)
(
:
]
,
[
0
x
R
b
a
x
то
)
(
)
(
0
x
Y
x
u
,
и
вычисления
заканчиваем
.
Если
же
0
)
(
0
x
R
,
то
переходим
к
следующему
шагу
алгоритма
.
2.
Первый
шаг
алгоритма
.
Строим
)
(
)
(
)
(
1
1
0
1
x
u
C
x
u
x
y
,
определив
значение
1
C
из
решения
системы
(2.11)
при
1
n
.
Находим
невязку
1
1
0
1
1
0
1
)
(
)
(
)
,
(
u
L
C
x
R
u
L
C
x
f
u
L
x
C
R
.
Если
,
0
)
,
(
:
]
,
[
1
x
C
R
b
a
x
то
)
(
)
(
1
x
y
x
Y
,
и
задача
решена
,
если
же
0
)
,
(
x
C
R
,
то
находим
11
0
1
,
)
(
)
(
max
x
u
x
y
b
a
или
12
1
,
)
,
(
max
x
C
R
b
a
.
Если
1
11
или
2
12
,
где
1
и
2
заданные
меры
точности
приближенного
решения
,
то
полагаем
)
(
)
(
1
x
y
x
Y
и
вычисления
заканчиваем
,
если
же
1
11
или
2
12
,
то
переходим
к
вычислениям
на
следующем
шаге
и
т
.
д
.
Таким
образом
,
на
m
-
м
)
1
(
m
шаге
алгоритма
строим
функцию
m
i
i
i
m
x
u
C
x
u
x
y
1
0
)
(
)
(
)
(
,
определив
значения
m
C
C
,...,
1
из
решения
системы
(2.11)
при
m
n
,
и
определяем
невязку
m
i
i
i
m
u
L
C
x
R
x
C
C
R
1
0
1
.
)
(
)
,
,...,
(
Если
,
0
)
,
,...,
(
:
]
,
[
1
x
C
С
R
b
a
x
m
то
)
(
)
(
x
y
x
Y
m
,
и
вычисления
заканчиваем
.
25
Если
0
)
,
,...,
(
1
x
C
C
R
m
,
то
находим
)
(
)
(
max
1
,
1
x
y
x
y
m
m
b
a
m
или
)
,
,...,
(
max
1
,
2
x
C
C
R
m
b
a
m
.
Если
1
1
m
или
2
2
m
,
то
)
(
)
(
x
y
x
Y
m
,
если
же
1
1
m
или
2
2
m
–
переходим
к
)
1
(
m
-
му
шагу
.
2.3.
Алгоритм
вариационного
метода
Ритца
Идея
вариационного
метода
состоит
в
замене
краевой
задачи
(2.2), (2.3)
равносильной
задачей
об
отыскании
дважды
непрерывно
дифференцируемой
на
b
a
,
функции
)
(
x
Y
,
доставляющей
экстремум
следующему
функционалу
),
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
a
y
q
b
y
q
a
y
T
a
y
b
y
T
b
y
dx
y
x
g
y
x
y
x
K
y
J
a
b
a
a
b
b
b
a
(2.13)
причем
значения
параметров
b
a
b
a
b
a
T
T
q
q
,
,
,
,
,
в
этом
функционале
определяются
в
зависимости
от
значений
2
1
0
2
1
0
,
,
,
,
,
b
b
b
a
a
a
по
таблице
2.1.
Таблица
2.1
Значения
параметров
функционала
№
0
a
1
a
0
b
1
b
a
T
b
T
a
b
a
q
b
q
1
0
0
0
0
0
2
a
a
0
2
b
b
0 0 0 0
2
0
0 0 0
0
2
a
a
0 0 0 0
)
(
1
2
b
K
b
b
3
0
0
0
0
0
2
a
a
0
2
b
b
0
)
(
1
0
b
K
b
b
0 0
4 0 0
0
0 0
0
2
b
b
0 0
)
(
1
2
a
K
a
a
0
5 0 0
0
0
0 0 0
0
)
(
1
2
a
K
a
a
)
(
1
2
b
K
b
b
6 0 0
0
0
0
0
2
b
b
0
)
(
1
0
b
K
b
b
)
(
1
2
a
K
a
a
0
7
0
0
0
0
0
2
a
a
0
2
b
b
)
(
1
0
a
K
a
a
0 0 0
8
0
0
0
0
0
2
a
a
0
)
(
1
0
a
K
a
a
0 0
)
(
1
2
b
K
b
b
9
0
0
0
0
0
2
a
a
0
2
b
b
)
(
1
0
a
K
a
a
)
(
1
0
b
K
b
b
0 0