Файл: Умноженной на множитель в форме показательной функции W.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 400
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
(10)
Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов
(11)
пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.
Преобразование Фурье свертки сигналов
Пусть сигнал s(t) представляет собой свертку сигналов a(t) и b(t):
(5)
Тогда спектральная плотность сигнала s(t) равна:
(6)
Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:
(7)
Таким образом, спектральная плотность S(ω) свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.
Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.
При удовлетворении условий теоремы Котельникова спектральная плотность сигнала после дискретизации является периодической последовательностью спектральных плоскостей непрерывной функции с периодом Wд без взаимных наложений и пересечений (наложение спектров отсутствует)
Явление, при котором высококачественные спектральные компоненты исходного непрерывного сигнала отожествляется с низкочастотными компонентами после дискретизации, называется наложением спектров.
Все компоненты непрерывного сигнала, лежащие за пределами основного диапазона частот наложаться внутрь основного диапазона частот после дискретизации.
Спектральная плотность дискретного сигнала
является периодической функцией частоты с периодом Wд независимо от выполнения теоремы Котельникова.
Основная формулировка теоремы:
Любой непрерывный сигнал с конечным спектром (имеющим максимальное значение
) можно представить в виде дискретных отсчетов 
, частота дискретизации которых должна быть выбрана не менее чем в два раза выше максимального значения спектра сигнала:
, передать его по линии связи, а затем восстановить исходный аналоговый сигнал.
Теорема показывает, что сигнал можно заменить его дискретными значениями, и дает правило на вычисление шага дискретизации
Так же важной характеристикой фильтра является его импульсная характеристика, так как она позволяет рассчитать сигнал на выходе фильтра. это есть отклик фильтра на дельта функцию, то есть на импульс бесконечно малый по времени и бесконечно большой по амплитуде.
Процесс восстановления сигнала
Для восстановления аналогового непрерывного сигнала необходимо, прежде всего, подать последовательность цифровых отсчетов на ЦАП (рис.), а затем полученный на его выходе электрический дискретный и квантованный сигнал пропустить через ФНЧ.
Если спектр исходного сигнала был ограничен частотой FВ, то частота среза ФНЧ выбирается равной FВ. Частота дискретизации FД при этом должна была быть взята в соответствии с теоремой Котельникова равной 2FВ.
Однако, все рассмотренное выше основывалось на некоторых идеализированных условиях. Рассмотрим некоторые проблемы, возникающие в практических применениях.
То как будет выглядеть спектр сигнала после дискретизации на рис. показано при условии что частота дискретизации FД по крайней мере в два раза выше наивысшей частоты спектра.
Если уменьшать частоту дискретизации FД, то частичные спектры будут «сходиться» по частотной оси, а при выборе частоты дискретизации FД непозволительно низкой, они будут перекрываться (. При этом восстановить спектр исходного сигнала уже не получится.
Исходя из этого определяется минимально допустимая частота дискретизации FД. В соответствии с рассмотренным перефразируем теорему Котельникова следующим образом. Для того чтобы иметь возможность восстановить исходный сигнал после его дискретизации без искажений необходимо, чтобы частота дискретизации FД была бы по крайней мере в два раза выше частоты FВ наивысшей спектральной составляющей, присутствующей в исходном сигнале.
Обратим внимание, что в соответствии с нашими прежними рассуждениями, разговор идет не только о возможности восстановления сигнала. Невозможность восстановления сигнала после дискретизации означает потерю информации, которую он нес. Т. е. рассмотренные выше условия определяют минимально допустимую частоту взятия отсчетов исходного непрерывного сигнала при вводе их в цифровую вычислительную систему.
Рис. Определение предельной частоты дискретизации для восстановления спектра исходного сигнала
(Вместо Найквиста в нашем унике лучше говорите Котельников
Прим. автора)
Как видно из рис. предельная частота дискретизации FД, при которой перекрытия частичных спектров еще не происходит, равна удвоенной верхней частоте спектра сигнала, т. е. равна 2FB. Эта частота называется частотой Найквиста. Дискретизация с частотой Найквиста называется предельной дискретизацией. Очевидно, что при выборе частоты дискретизации равной частоте Найквиста АЧХ такого фильтра должна быть идеальной (как это и показано на рис.).
Сигнал, дискретизированный с FД > 2FB, называется передискретизированным сигналом. Несмотря на то, что в этом случае получается избыточное число отсчетов, на практике частоту дискретизации FД выбирают именно так. Дискретизация с такой частотой разносит частичные спектры относительно друг друга по частотной оси на большее расстояние. При этом между наивысшей частотой спектра исходного сигала FВ и половиной частоты дискретизации FД/2 будет некоторый интервал, в который можно «поместить» срез АЧХ ФНЧ. Чем больше этот интервал, тем меньше требований к фильтру. Требования к АЧХ аналогового фильтра на входе дискретизатора будут зависеть от того, как близко частотные составляющие частичных спектров (внеполосного сигнала) отстоят от FД/2, а также требуемой величиной их подавления.
Построение аналоговых фильтров высокого порядка связано с известными трудностями – требуется применение прецизионных пассивных элементов и высококачественных операционных усилителей с хорошей температурной и временной стабильностью. Кроме того, надо иметь в виду, что всякий фильтр высокого порядка обладает существенно нелинейной фазовой характеристикой.
Передискретизация позволяет значительно снизить требования к характеристике аналогового ФНЧ. Даже удвоение Fд дает возможность сделать срез его АЧХ довольно пологим (рис. а). А при увеличении частоты дискретизации в четыре (рис. .б) и более раз, требования к аналоговому ФНЧ снижаются до вполне заурядных.
Рис. Требуемые АЧХ аналоговых фильтров после двукратного (а) и четырехкратного (б) повышения частоты дискретизации
Чтобы облегчить требования к фильтрации преобразованного сигнала, перед ЦАП можно разместить цифровой фильтр. Выполнить такой фильтр с нужными характеристиками значительно проще, чем аналоговый. Он может иметь достаточно высокий порядок и при этом обладать линейной фазовой характеристикой.
Характеристика цифрового фильтра, как и спектр цифрового сигнала, тоже имеет периодическую структуру и тоже повторяется на частотах, кратных частоте дискретизации. Поэтому, если цифровой фильтр будет работать на частоте дискретизации FД, то подавить высокочастотные компоненты все равно не удастся.
Проблема может быть решена путем искусственного увеличения частоты дискретизации FД в несколько раз. При этом недостающие значения сигнала вычисляются по известным значениям методами интерполяции (рис. ). Фактически речь идет о «сглаживании» цифрового сигнала перед его подачей на ЦАП, Так как число уровней дискретных отсчетов на выходе цифровой системы при этом увеличивается, то и разрядность ЦАП должна быт увеличена.
Соотношение (8) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ), а (3) – обратного преобразования Фурье (ОДПФ)
xp(n)=
Xp(k)
(3)
(8)
Из определений (3) и (8) видно, что обе последовательности
Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов
(11)пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.
Преобразование Фурье свертки сигналов
Пусть сигнал s(t) представляет собой свертку сигналов a(t) и b(t):
(5)Тогда спектральная плотность сигнала s(t) равна:
(6)Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:
(7)Таким образом, спектральная плотность S(ω) свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.
Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.
- Спектральная плотность непрерывного сигнала до и после дискретизации, и их связь. Спектральная плотность сигнала после дискретизации при условии удовлетворения или не удовлетворения условий теоремы Котельникова. Явление наложения спектров при дискретизации непрерывных сигналов. Примеры.
При удовлетворении условий теоремы Котельникова спектральная плотность сигнала после дискретизации является периодической последовательностью спектральных плоскостей непрерывной функции с периодом Wд без взаимных наложений и пересечений (наложение спектров отсутствует)
Явление, при котором высококачественные спектральные компоненты исходного непрерывного сигнала отожествляется с низкочастотными компонентами после дискретизации, называется наложением спектров.
Все компоненты непрерывного сигнала, лежащие за пределами основного диапазона частот наложаться внутрь основного диапазона частот после дискретизации.
Спектральная плотность дискретного сигнала
является периодической функцией частоты с периодом Wд независимо от выполнения теоремы Котельникова. - Теорема отсчетов Котельникова во временной области, формулировка. Импульсная характеристика восстанавливающего фильтра, ее свойства. Процесс восстановления наглядно графически, примеры. Интерпретация процесса восстановления непрерывного сигнала в частотной области как идеальная низкочастотная фильтрация дискретизированного во времени сигнала.
Основная формулировка теоремы:
Любой непрерывный сигнал с конечным спектром (имеющим максимальное значение
) можно представить в виде дискретных отсчетов , частота дискретизации которых должна быть выбрана не менее чем в два раза выше максимального значения спектра сигнала: , передать его по линии связи, а затем восстановить исходный аналоговый сигнал.Теорема показывает, что сигнал можно заменить его дискретными значениями, и дает правило на вычисление шага дискретизации
Так же важной характеристикой фильтра является его импульсная характеристика, так как она позволяет рассчитать сигнал на выходе фильтра. это есть отклик фильтра на дельта функцию, то есть на импульс бесконечно малый по времени и бесконечно большой по амплитуде.
Процесс восстановления сигнала
Для восстановления аналогового непрерывного сигнала необходимо, прежде всего, подать последовательность цифровых отсчетов на ЦАП (рис.), а затем полученный на его выходе электрический дискретный и квантованный сигнал пропустить через ФНЧ.
Если спектр исходного сигнала был ограничен частотой FВ, то частота среза ФНЧ выбирается равной FВ. Частота дискретизации FД при этом должна была быть взята в соответствии с теоремой Котельникова равной 2FВ.
Однако, все рассмотренное выше основывалось на некоторых идеализированных условиях. Рассмотрим некоторые проблемы, возникающие в практических применениях.
То как будет выглядеть спектр сигнала после дискретизации на рис. показано при условии что частота дискретизации FД по крайней мере в два раза выше наивысшей частоты спектра.
Если уменьшать частоту дискретизации FД, то частичные спектры будут «сходиться» по частотной оси, а при выборе частоты дискретизации FД непозволительно низкой, они будут перекрываться (. При этом восстановить спектр исходного сигнала уже не получится.
Исходя из этого определяется минимально допустимая частота дискретизации FД. В соответствии с рассмотренным перефразируем теорему Котельникова следующим образом. Для того чтобы иметь возможность восстановить исходный сигнал после его дискретизации без искажений необходимо, чтобы частота дискретизации FД была бы по крайней мере в два раза выше частоты FВ наивысшей спектральной составляющей, присутствующей в исходном сигнале.
Обратим внимание, что в соответствии с нашими прежними рассуждениями, разговор идет не только о возможности восстановления сигнала. Невозможность восстановления сигнала после дискретизации означает потерю информации, которую он нес. Т. е. рассмотренные выше условия определяют минимально допустимую частоту взятия отсчетов исходного непрерывного сигнала при вводе их в цифровую вычислительную систему.
Рис. Определение предельной частоты дискретизации для восстановления спектра исходного сигнала
(Вместо Найквиста в нашем унике лучше говорите Котельников
Прим. автора)
Как видно из рис. предельная частота дискретизации FД, при которой перекрытия частичных спектров еще не происходит, равна удвоенной верхней частоте спектра сигнала, т. е. равна 2FB. Эта частота называется частотой Найквиста. Дискретизация с частотой Найквиста называется предельной дискретизацией. Очевидно, что при выборе частоты дискретизации равной частоте Найквиста АЧХ такого фильтра должна быть идеальной (как это и показано на рис.).
Сигнал, дискретизированный с FД > 2FB, называется передискретизированным сигналом. Несмотря на то, что в этом случае получается избыточное число отсчетов, на практике частоту дискретизации FД выбирают именно так. Дискретизация с такой частотой разносит частичные спектры относительно друг друга по частотной оси на большее расстояние. При этом между наивысшей частотой спектра исходного сигала FВ и половиной частоты дискретизации FД/2 будет некоторый интервал, в который можно «поместить» срез АЧХ ФНЧ. Чем больше этот интервал, тем меньше требований к фильтру. Требования к АЧХ аналогового фильтра на входе дискретизатора будут зависеть от того, как близко частотные составляющие частичных спектров (внеполосного сигнала) отстоят от FД/2, а также требуемой величиной их подавления.
Построение аналоговых фильтров высокого порядка связано с известными трудностями – требуется применение прецизионных пассивных элементов и высококачественных операционных усилителей с хорошей температурной и временной стабильностью. Кроме того, надо иметь в виду, что всякий фильтр высокого порядка обладает существенно нелинейной фазовой характеристикой.
Передискретизация позволяет значительно снизить требования к характеристике аналогового ФНЧ. Даже удвоение Fд дает возможность сделать срез его АЧХ довольно пологим (рис. а). А при увеличении частоты дискретизации в четыре (рис. .б) и более раз, требования к аналоговому ФНЧ снижаются до вполне заурядных.
Рис. Требуемые АЧХ аналоговых фильтров после двукратного (а) и четырехкратного (б) повышения частоты дискретизации
Чтобы облегчить требования к фильтрации преобразованного сигнала, перед ЦАП можно разместить цифровой фильтр. Выполнить такой фильтр с нужными характеристиками значительно проще, чем аналоговый. Он может иметь достаточно высокий порядок и при этом обладать линейной фазовой характеристикой.
Характеристика цифрового фильтра, как и спектр цифрового сигнала, тоже имеет периодическую структуру и тоже повторяется на частотах, кратных частоте дискретизации. Поэтому, если цифровой фильтр будет работать на частоте дискретизации FД, то подавить высокочастотные компоненты все равно не удастся.
Проблема может быть решена путем искусственного увеличения частоты дискретизации FД в несколько раз. При этом недостающие значения сигнала вычисляются по известным значениям методами интерполяции (рис. ). Фактически речь идет о «сглаживании» цифрового сигнала перед его подачей на ЦАП, Так как число уровней дискретных отсчетов на выходе цифровой системы при этом увеличивается, то и разрядность ЦАП должна быт увеличена.
- Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) периодических последовательностей. Связь коэффициентов ДПФ периодической последовательности со спектральной плотностью конечной последовательности. Свойства ДПФ (линейность, периодичность, симметрия, сдвиг во временной области, сдвиг в частотной области, преобразование произведения последовательностей, преобразование циклической свертки последовательностей), примеры.
Соотношение (8) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ), а (3) – обратного преобразования Фурье (ОДПФ)
xp(n)=
Xp(k) (3) (8)Из определений (3) и (8) видно, что обе последовательности