ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2024
Просмотров: 228
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
61 |
|
K = |
1/ 2[c1 S(t1 + t2 ) |
+ c2 s(t3 |
+ t4 ) + c3 |
] |
||
|
|
|
|
|
(2) |
|
t1 |
+ t2 |
+ t3 + t4 |
|
|
||
|
|
|
|
|||
На первый взгляд величина К есть функция шести переменных S, s, t1 , t2 , t3 , t4 , но имеются четыре соотношения которые можно вывести из геометрических свойств фигуры на рис.2, и эти соотношения позволяют исключить четыре из перечисленных переменных, оставив всего две независимые переменные. Стратегия управления запасом определена, когда известно, какой объем продукции q нужно выпустить, и когда следует начинать ее производство, а последняя величина задается тогда, когда известна величина s. Но математические выкладки упрощаются, если выразить K через t2 и t3 , а затем найти оптимальные значения этих величин.
Тогда можно использовать геометрические соотношения для отыскания оптимальных значений величин q и s.
В момент начала цикла A начальный запас равен нулю, а производство продукции осуществляется на интервале t1 до момента D. В течение этого периода выпускается объем продукции, равный k t1 , но так как заказы выполняются со скоростью r, чистое увеличение запаса на интервале t1
равное |
k t1 − r t1 = t1 (k − r) , составляет |
максимальный запас S. |
Следовательно |
|
|
|
S = t1 (k − r) . |
(3) |
Запас S полностью расходуется в течение периода t2 , и, так как скорость расхода равна r, имеем
|
S = t2r . |
(4) |
|||
Из (4) и (3) очевидно, что |
|
|
|
|
|
t1 = |
S |
= |
t2r |
. |
(5) |
k − r |
|
||||
|
|
k − r |
|
||
В течение периода t3 дефицит растет с той же скоростью r. Отсюда
62
(6)
В течение периода t4 темп производства равен k, а норма спроса остается неизменной, так что чистая скорость ликвидации дефицита равна k-r, откуда имеем
s = t4 (k − r). |
|
|
(7) |
||
Из (6) и (7) следует, что |
|
|
|
|
|
t4 = |
s |
= |
t3r |
. |
(8) |
k − r |
|
||||
|
|
k − r |
|
||
Наконец, вследствие того, что общая продолжительность цикла равна t1 + t2 + t3 + t4 , а общий объем производства в точности равен общему объему спроса, имеем
q = r(t1 + t2 + t3 + t4 ). |
(9) |
Используя для подстановки в (9) соотношения (5) и (8), вместо выражения (9) получаем
q = |
(t2 + t3 )k |
. |
(10) |
|
|||
|
k − r |
|
|
Подставляя соответствующие величины из (5) – (8) в уравнение (2), после некоторых преобразований получаем следующее выражение для K:
K = |
1/ 2k r(c1t22 + c2t32 ) + c3 |
(k − r) |
. |
(11) |
k(t2 + t3 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
Для отыскания оптимальных значений t02 |
и t03 |
|
величин t2 и t3 |
|
продифференцируем выражение для K по t2 и t3 , и приравняем полученные результаты нулю. Затем решим эти уравнения, получим
t02 |
= |
2c2c3 (1 − r k) |
, |
(12) |
|
|
|
||||
|
|
r(c1 + c2 )c1 |
|
||
t03 |
= |
2c1c3 (1 − r k) |
. |
(13) |
|
|
|||||
|
|
r(c1 + c2 )c2 |
|
||
Используя соотношения (3) – (10), можно найти (опускаем все промежуточные выкладки), что
q0 = |
2rc3 |
|
1 |
|
c1 + c2 |
, |
|
|
c1 |
1 − r / k |
c2 |
||||
s0 = |
2rc1c3 (1 − r / k) |
. |
|||||
|
(c1 + c2 )c2 |
|
|
|
|||
Итак, при оптимальных значениях управляемых минимальное значение K определяется выражением
K0 |
|
2rc1c2c3 (1 − r / k) |
|
1/ 2 |
|
= |
. |
||||
c1 + c2 |
|||||
|
|
|
|
||
3.4. Вопросы для самопроверки
63
(14)
(15)
переменных
(16)
1.Что такое запас?
2.Что может выступать в качестве ресурсов?
3.К чему сводится целевая функция в задачах управления запасами?
4.Какие переменные относятся к управляемым в задачах о запасах?
5.На какие категории делятся неуправляемые переменные в задачах о запасах?
6.Какие переменные относятся к каждой категории неуправляемых переменных в задачах о запасах?
7.Приведите примеры ситуаций, в которых встречаются задачи управления запасами.
8.Как геометрически можно изобразить структуру систем управления запасами?
9.Какие параметры связывает уравнение, описывающее систему управления запасами?
10.Каковы три этапа построения модели детерминированной задачи для однородной продукции при одном уровне управления?
11. Изобразите геометрически цикл изменения запаса.
64
12.Определите по рисунку, чему равны общие затраты на хранение запаса.
13.Определите по рисунку, чему равны общие потери от дефицита.
14.Запишите формулу, выражающую средние затраты в единицу времени.
15.Какие соображения позволяют сократить количество переменных в выражении для средних затрат, оставив всего две независимые переменные?
16.Какие действия необходимо выполнить для отыскания оптимальных
значений t02 и t03 величин t2 и t3 ?
17. Попробуйте, самостоятельно проделав пропущенные выкладки, получить выражение для оптимального размера партии.
3.5. Задачи для самостоятельного решения
1.Цена продукции составляет 235 рублей за тонну. Месячный спрос на эту продукцию равен 5 т, а при каждом пополнении запаса затраты на подготовку ее производства составляют 1000 рублей. Годовые затраты на хранение запаса составляют 10% его стоимости. Каков оптимальный размер партии?
3.6.Литература
1.Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций: Пер. с англ.- М.:
Мир, 1971. 536с.
2.Антонов А.В. Системный анализ: Учеб.для вузов.- М.: Высш.шк., 2004.
454с.
Раздел 4. Задачи массового обслуживания
Модели теории массового обслуживания находят применение при решении задач системного анализа в случае, когда исследуемые величины имеют случайный характер. К числу таких задач относятся задачи
65
управления запасами при случайном спросе, задачи организации предприятий торговли, связи, бытового и медицинского обслуживания, организации технического обслуживания предприятий, вопросы снабжения запасными частями и механизмами и т.п.
Рассмотрим систему, выполняющую определенную работу или предоставляющую услуги. Эта система, в которую поступают объекты, нуждающиеся в услугах или производстве работ, называется
обслуживающей системой, а сами объекты называются требованиями.
Они могут представлять собой письма, нуждающиеся в подписи, автомашины, которым нужна стоянка, суда, подлежащие разгрузке, детали, требующие сборки. Если требования поступают в систему слишком часто, то им приходится ожидать обслуживания или обходиться без него. Если требования поступают слишком редко, то ожидать (то есть простаивать) приходится средствам обслуживания, которые называются приборами или каналами. Ожидающие обслуживания требования или простаивающие приборы образуют очередь.
Совокупность правил, по которым из очереди выбираются требования для обслуживания, называются дисциплиной обслуживания. Например, живая очередь (то есть «первым пришел - первым обслужен», FCFS), LCFS (последним пришел – первым обслужен), RANDOM (очередное требование выбирается из очереди случайным образом).
При наличии требований, поступающих в систему обслуживания таким образом, что либо сами требования, либо средства обслуживания вынуждены ожидать, возникает процесс массового обслуживания.
Задача массового обслуживания заключается либо в формировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов.
Целью решения этой общей задачи является минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания.
66
Примеры содержательной постановки задач этого класса:
-сколько требуется контрольных касс в супермаркете?
-сколько взлетно-посадочных полос нужно иметь на аэродроме?
-сколько причалов для судов рационально предусмотреть в порту?
-сколько мест для автомашин оборудовать в гараже?
-сколько продавцов нужно иметь в универмаге?
-сколько ремонтных бригад содержать на промышленном предприятии?
-сколько врачей предусмотреть в штате поликлиники?
-сколько коек требуется для больницы?
-как составить расписание прибытия самолетов в город?
-как составить железнодорожное расписание или расписание работы
автомобильного парка?
Большую группу задач ремонта и профилактического обслуживания можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Оборудование или изделия, нуждающиеся в ремонте и обслуживании, представляют собой требования. Средства ремонта можно доставлять к месту обслуживания требований, как это, например, происходит, когда вызывают на дом мастеров для ремонта бытовых приборов, отопления и сантехники.
Некоторые задачи управления запасами можно также поставить как задачи массового обслуживания. Поступивший заказ, который выполняется путем поставки продукции из запаса, рассматривается как требование. Складское хозяйство можно считать средством обслуживания, обеспечивающим выдачу продукции клиентам. Операция обслуживания есть процесс заполнения освободившихся складских помещений с помощью заказов на пополнение запаса. Очередь – это число еще не выполненных заказов.
Некоторые очереди считаются замкнутыми, так как обслуженные требования (то есть требования, покинувшие систему) могут возвращаться в нее, образуя набор потенциальных требований, впоследствии вновь
67
поступающих на обслуживание. Так, например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовывать замкнутую очередь по отношению к ремонтным мастерским фирмы.
Задачи, связанные с ожиданием удовлетворения требований, как правило, включают косвенные расходы, обусловленные потерей клиентов (или люди обращаются за услугами в другое место, покупают меньше, чем намеривались, или не обращаются к данной системе в будущем), или прямые издержки простоя средств обслуживания и людей. Примером прямых затрат может служить оплата водителей грузовых автомашин, ожидающих разгрузки, или стоимость эксплуатации самолета или судна, ожидающего посадки на аэродром или швартовки у причала. Определить косвенные расходы гораздо сложнее. Например, водители автомашин, нуждающиеся в бензине, стараются не заправляться на станциях, где у бензоколонок скапливается большая очередь. Чтобы определить, сколько клиентов теряется в подобных ситуациях, и выразить эти потери в денежной форме, потребуется проведение экспериментов или тщательный анализ изменения спроса при различных уровнях обслуживания с использованием статистических данных.
4.1. Основные понятия теории массового обслуживания
Система массового обслуживания (СМО) обеспечивает обслуживание требований, поступающих в нее из источника требований и возвращающихся после обслуживания в источник. Обслуживание требований производится обслуживающими приборами. Система может содержать от одного до бесконечного числа приборов. Выбор очередного требования из очереди на обслуживание производится с помощью некоторой дисциплины обслуживания.
Случайные последовательности требований, которые поступают в систему обслуживания и которые необходимо обслужить, называются