Файл: Теория систем2.pdf

69

как правило, предполагается последовательностью независимых одинаково распределенных положительных случайных величин. Последовательность интервалов обслуживания, естественно, не содержит промежутков времени, когда прибор обслуживания свободен от требований. Особенно важен случай, когда длительности обслуживания имеют одинаковое экспоненциальное распределение с параметром μ.

При рассмотрении систем массового обслуживания будем использовать следующие обозначения:

λ – интенсивность входящего потока требований; μ – интенсивность обслуживания требований одним прибором; æ – число обслуживающих приборов в системе;

ψ – коэффициент использования обслуживающих приборов системы; b - математическое ожидание (м.о.) числа требований в очереди;

g - м.о. числа свободных приборов в СМО;

Pn - стационарная вероятность пребывания в СМО точно n требований.

4.2. Постановка задачи и метод решения

Рассмотрим задачу. На автомобильном заводе сложилась такая ситуация, что нельзя предоставить рабочим одновременно все необходимые для работы инструменты. Разнообразные инструменты имеются на складе. Поэтому при получении инструментов наблюдается образование очередей рабочих у склада. Очевидно, следует уменьшить время ожидания рабочих в очереди, так как оно потеряно для производства. Один кладовщик может обслуживать одновременно только одного рабочего. Если кладовщиков слишком много, то очереди рабочих не будет, но невыгодно платить «простаивающим» кладовщикам. Если кладовщиков недостаточно, то будут образовываться длинные очереди. Таким образом, возникает следующая задача: определить оптимальное количество кладовщиков в том смысле, чтобы время, потерянное рабочими, с одной стороны, и кладовщиками, с

70

другой, приводило бы к минимальным затратам, если себестоимость часа рабочего равна 6 руб., а себестоимость часа кладовщика – 3 руб.

Исследование начинается с определения статистических характеристик процесса поступления рабочих (требований) в кладовую и времени, затрачиваемого кладовщиками (приборами) на их обслуживание. Изучение входящего потока производится следующим образом. Каждые 10 минут в течение 100 последовательных десятиминутных интервалов отмечается число рабочих, пришедших в инструментальную кладовую за получением инструментов. Вычисляются частоты, соответствующие наблюдаемым числам. Результаты приведены в табл.1.

Определим среднее значение числа поступлений за 10 минут, эту величину обозначим через λ:

λ = 5 0.01 + 6 0 + 7 0.01 + ... + 25 0.01 ≈1.6 ,

то есть в среднем за 10 минут приходят 16 рабочих или 1.6 рабочих в минуту. В третьем столбце табл.1 приведены частоты, соответствующие распределению Пуассона, согласно которому

71

где Pn (t) - вероятность того, что за время t произойдет n поступлений при

λ=1.6 и t=10. Затем с помощью критерия χ2 проверяется приемлемость гипотезы о пуассоновском распределении исследуемой совокупности.

Оказывается, что при числе степеней свободы, равном 19, χ2 =12.

Вероятность того, что экспериментальное распределение является пуассоновским, больше 0.88. Таким образом, можно допустить, что распределение соответствует закону Пуассона с λ=1.6.

Для измерения длительности обслуживания используют счетчик. Счетчик включают в начале обслуживания и выключают в конце. Таким образом регистрируется продолжительность 1000 обслуживаний. Затем вычисляются частоты, соответствующие интервалам 0 – 15, 16 – 30, 31 – 45,

..., 301 – 315 секунд, которые приведены в табл. 2.

Используя значения наблюдаемых частот, вычислим среднее значение длительности обслуживания ν =1.1 минуты. Отсюда следует, что интенсивность обслуживания μ=1/1.1=0.9 требований в минуту. В третьем столбце табл.2 приведены значения статистической функции распределения, которая строится по наблюдаемым частотам. Четвертый столбец табл.2 содержит значения вероятностей, соответствующих экспоненциальному распределению P{ξ < t}=1 − e−μt при μ=0.9, где ξ – случайная величина,

длительность обслуживания требования. В данном случае критерий χ2 дает

величину χ2 =1.91 при числе степеней свободы, равном 19. Вероятность того,

что гипотеза об экспоненциальном распределении справедлива, больше 0.99. Таким образом, можно допустить, что в рассматриваемом случае имеет место экспоненциальное распределение с параметром μ=0.9.

72

В качестве модели рассматриваемой системы будем использовать систему массового обслуживания. Поток рабочих на склад соответствует входящему потоку требований в СМО. Длительность обслуживания рабочего кладовщиком соответствует длительности обслуживания требования прибором обслуживания. Число кладовщиков на складе соответствует числу обслуживающих приборов в СМО.

Как было показано выше, входящий поток требования в систему является пуассоновским с интенсивностью λ, а длительность обслуживания требований на каждом приборе обслуживания представляет собой последовательность независимых одинаково распределенных экспоненциально случайных величин.

Определим функцию потерь R(æ) в единицу времени следующим образом:

где æ – число обслуживающих приборов СМО, b - м.о. числа требований в очереди СМО (рабочих), g - м.о. числа свободных приборов (кладовщиков).

Из теории массового обслуживания известно, что

73

g = (1 − ψ) æ,

где g = (1 − ψ) æ.

Определим значение числа обслуживающих приборов æ, обеспечивающее минимум функции потерь. Можно показать, что функция R(æ) имеет только один минимум. Определим минимум этой функции путем ряда последовательных приближений. Вычислим м.о. числа требований в очереди при æ, равном 2, 3, 4, 5:

Отсюда видно, что минимальное значение функции потерь достигается при æ=3. Таким образом, оптимальное число кладовщиков равно трем.

4.3. Вопросы для самопроверки

1.Что такое обслуживающая система?

2.Что такое требование?