Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Полученный результат можно снова подать на вход системы прогноза и получить новый результат "прогноз на послезавтра":

W7 = До wx = (Я О Я) о Ис-

правило вывода, соответствующее композиции нечетких отношений, называется композиционным правилом вывода и составляет основу нечеткой логики. В нечеткой логике значения истинности предложений лежат от нуля до единицы; закон исключенного третьего не выполняется.

Приведенный пример обнаруживает глубокую аналогию между понятиями "система" и "логическое исчисление" (аксиоматической или дедуктивной системы [114]). Действительно, значение входа системы соответствует в исчислении аксиомам и фактам (утверждениям), а отношение "вход - выход" (ММ системы) - набору правил (продукций, импликаций) исчисления. Вычисление значения выхода системы В по значению ее входа А соответствует шагу логического вывода по

Единственное отличие системы от исчисления: на каждом шаге работы системы используется только текущее состояние, а исчисление обрабатывает все утверждения, выведенные ранее. Различие устраняется, если включить в состояние системы всю ее предысторию. Это показывает, что рассмотренные выше модели систем с конечной памятью пригодны для описания более узкого класса систем, чем логические исчисления. Однако это означает, что анализ моделей, заданных, как исчисления требует больше вычислений, т.е. недостаток обращается в достоинство.

3.7.3.Задачи группировки и упорядочения

Нечеткие отношения, как и обычные, могут обладать специ-

112

Отношение называется отношением сходства, если оно рефлексивно и симметрично. Рефлексивность и антисимметричность характеризуют отношение доминирования. Если к перечисленным свойствам добавляется свойство транзитивности, то отношение соответственно называют эквивалентностью и порядком. На основе введенных определений строятся процедуры решения двух практически важных задач.

Задача группировки (кластеризации, таксономии). На конечном множестве объектов {хь ...хп } задано отношение сходства (для любых двух объектов задана степень их близости, похожести). Требуется разбить все множество на группы объектов, близких между собой. Эта задача встречается при классификации минералов, материалов по их свойствам, систематике биологических организмов (видов), определении психологической совместимости коллективов. Процедура группировки состоит в том, что сначала исходное отношение сходства R преобразуется в отношение эквивалентности R путем транзитивного замыкания, 1 а затем производится разбиение на классы эквивалентности при различных величинах порога близости а. К одному классу относятся объекты х, у, для которых Д(х, у) > а.

Задача упорядочения. На конечном множестве объектов {xi,...,xn} задано отношение доминирования, т.е. указаны степени предпочтения для каждой пары объектов. Требуется линейно упорядочить объекты: указать наилучший, затем следующий за ним и т.д. Задача возникает, например, при выборе наиболее предпочтительного проектного варианта. Попарные предпочтения вариантов задаются независимыми экспертами или критериями сравнения. Ясно, что получается нечеткое отношение доминирования, поскольку для каждой пары объектов (xf, Xj) определяется Д(хп х; ) - число экспертов 2 (критериев), которые предпочитают х,, и число

1 Транзитивное замыкание - операция, которая строит по данному отношению R наименьшее транзитивное отношение, включающее R. Она выполняется по формуле

2 Строго говоря, числа Я(х,, х^) не удовлетворяют определению нечеткого отношения, так как могут не лежать в промежутке [0,1]. Можно их пронормировать, разделив, например, на максимальное, однако на результате, как видно из (3.52), это не отразится.

113

R(xj) я,) экспертов (критериев), предпочитающих xj. Аналогичные задачи возникают при оценке результатов работы и распределении премий в трудовом коллективе и т.п. Один из существующих способов решения задачи состоит [73] в построении так называемой функции полезности характеризующей степень предпочтения данного объекта, т.е. сводящей оценки разных экспертов в одну. Можно использовать следующую формулу:

(3.52)

Например, для отношения R(ii,Xj), заданного таблицей или графом (рис.3.18), получаем:

Рис. 3.18.

что если число объектов достаточно велико или бесконечно, следует применять более сложные методы, разработанные для распознавания образов и искусственного интеллекта

[ш].

114

3.7.4.Нечеткие числа

Рассмотрим свойства и применения нечетких подмножеств числовой оси 1Z1 = (-оо,+оо) - так называемых нечетких чисел. Над нечеткими числами можно производить арифметические и иные действия, правила выполнения которых вытекают из правил действий с отношениями (см. п. 3.7.2) и из того, что любую бинарную операцию можно рассматривать как тернарное (3-местное) отношение. Например, функция принадлежности нечеткой суммы С = А © В нечетких чисел Л, В имеет вид

Прикладной смысл нечеткого числа - это число, заданное с погрешностью. Лля того чтобы работать с такими числами, нужно задавать функции принадлежности и погрешностей, а это невозможно сделать во всех х £ И 1 в силу бесконечности множества TV. Один из способов преодоления этой трудности - использование нечетких L—Д-чисел (L—R - сокращение от "left - right").

Чтобы определить нечеткие L — Д-числа, на промежутке [0,оо) задаются две невозрастающие неотрицательные функции 1(х), Д(х), обладающие свойствами L(0) = Д(0) = 1. После этого функцию принадлежности нечеткого числа А определяют в виде

ны в табл. 3.6, из которой видно, что L - Д-нечеткость можно интерпретировать как способ взвешенного учета погрешностей. Пример 1 соответствует обычному четкому числу без погрешности. Выбрав способ из примера 2, мы выражаем уверенность в том, что искаженное погрешностью число

115

116