Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

должно лежать в промежутке от а— до а+ и не может ока-

ких чисел (см. например, (3.53)) и напоминают правила распространения ошибок в приближенных вычислениях. Если Л = {а,а,/3},Я + {Ь,7,6}, то

А® В = {а + Ь,а + 7,/3 + б},

АПВ = {аб, ау + Ьос + cry,аб + Ь/3 + (16}, (при а,Ь > 0).

Если В - четкое число (7 = 5 = 0), то АПВ = {аб,а|Ь|,/?|6|}. Другой способ работы с нечеткими числами состоит в том,

что числовая ось (отрезок) дискретизируется, т.е. разбивается на несколько участков. После этого каждый участок "размывается", т.е. описывается некоторой функцией принадлежности, и числовые переменные превращаются в лингвистические. Этот способ эффективен при построении моделей сложных систем со значительной неопределенностью исходных данных, а следовательно, и результатов. Число градаций (участков дискретизации) должно быть невелико. Психологи рекомендуют брать его в пределах 5 ± 2 градаций.

3.7.5.Вероятность или нечеткость?

Продемонстрируем на простом примере разницу между стохастическим и нечетким подходами. Пусть сделано несколько измерений х ь хп некоторой неизвестной величины а с погрешностью, не превосходящей величины а. Требуется оценить значение а и определить погрешность оценки.

Предположим, что в качестве оценки выбрано среднее арифметическое х = х%- При стохастическом подходе мы постулируем, что х, случайны и независимы, Afx, = а, и, поскольку погрешность может быть произвольным числом из [-а^а], считаем, что х,- равномерно распределены на [а-сца+а].

117

Отсюда Dxi = (2а)2/12 = а2 /3. В силу независимости Dx =

с вероятностью 0.95. Аналогичный вывод справедлив и при неизвестном а. В этом случае нужно заменить в (3.55) а на

Сравнивая (3.55) и (3.56), мы видим, что интервал (3.55) меньше примерно в у/п раз. Это получено за счет эффекта усреднения. Если же нет уверенности в том, что погрешности ведут себя нерегулярно и уничтожаются при усреднении, то доверять (3.55) нельзя и мы возвращаемся к оценке (3.56). Однако за нечетким подходом остаются дополнительные возможности. Например, имея информацию о том, что малые значения погрешностей встречаются чаще, чем большие, мы можем взять функции L(x))R(x)1 как в примере 3 из табл. 3.6. Соответственно меняется функция принадлежности X и (3.56) уточняется.

Кроме того, если п мало, например п =10, то проверить правомерность усреднения практически невозможно. В результате оценка погрешности при п =10 по (3.55) получается всего в 2.7 раза меньше, чем по (3.56), причем она верна лишь в 95% случаев и при труднопроверяемых предположениях.

118

В заключение следует заметить также, что кроме описанных в (3.53) вариантов действий с нечеткими множествами имеется еще несколько, среди которых наиболее употребителен способ, заимствованный из теории вероятностей:

ЦАС\В{Х)=11А{Х) -/Мх)> ЦАив{х)=ЦА(х) +/*£ (*) ~ ( * ) ' Vв{

Сравнительно недавно, в 70-х годах XX века, в науку о математических моделях вошло новое понятие, перевернувшее многие привычные представления, - понятие хаоса (точнее, детерминированного хаоса). Хаотические системы предоставили исследователям новый класс моделей неопределенности, отличающихся по своим свойствам как от стохастических, так и от нечетких моделей. Если в детерминированной модели будущую траекторию можно предсказать на сколь угодно большое время вперед, зная текущее состояние системы, а в стохастической модели точный прогноз, вообще говоря, невозможен даже на сколь угодно малое время, то в хаотической модели ошибка прогноза растет экспоненциально и, следовательно, возможен прогноз на ограниченное время вперед, определяемое допустимой ошибкой прогноза. Процессы в хаотических моделях имеют вид нерегулярных колебаний, в которых меняется, "плавает", как частота, так и амплитуда.

Колебательные процессы часто встречаются в природе и технике, поэтому формы их описания непрерывно развива-

119

Рис. 3.20. Периодические колебания (о/, = 1,2,4).

|

!

;

:

I . i

(О

Рис. 3.21. Квазипериодические колебания (ы, = 1, 5/7г.)

120

Решениями (3.58) являются гармонические колебания

непрерывно зависит от начальных условий, т.е. малое изменение величин 2/(0),2/(0) приводит к равномерно малому изменению решения y(t) на всей временной полуоси 0 < t < оо. Частотный спектр функции (3.59) дискретен и состоит из одной точки ш/2^ (рис. 3.19, б).

Лля описания колебаний более сложной формы можно соединять модели вида (3.58) с различными частотами колеба-

коэффициенты АХ) А2 зависят от начальных условий. Если частоты L>i,...,u;r соизмеримы (являются целыми кратными некоторой частоты и>о), то колебания будут периодическими с периодом 27г/ы0 (рис. 3.20 для г = 3, и>: = 1, и>2 = 2, и>3 = 4). Если же частоты инесоизмеримы, то такие колебания не являются периодическими; они относятся к классу квазипериодических (рис. 3.21, где г = 2, u>i = 1, ш2 = 5/л-). В обоих случаях решение непрерывно зависит от начальных условий, а его спектр является дискретным конечным множеством. 1

Заметим, что "на глаз" различить периодические и квазипериодические колебания может быть затруднительно, поскольку реальные измерения (в том числе измерение частоты колебаний) выполняются с конечной точностью и отличить рациональное отношение частот от иррационального оказывается практически невозможным.

1 Спектральные характеристики, показанные на рис. 3.19 - 3.21, вычислены при помощи пакета MATLAB (см. п. 3.2.2). Взяты реализации процессов длиной Т = 100, количество точек N = 210 = 1024, интервал дискретности Т0 = T/N « 0.098. Соответственно частота Найквиста luh = 7г/То ~ 32.

121