Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Рис. 3.22. Предельный цикл и его спектр.

Рис. 3.24. Хаотический аттрактор системы Лоренца.

122

На рубеже XIX-XX веков выяснилось, что линейных моделей колебаний недостаточно для описания новых явлений и процессов в физике и технике. Основы соответствующего

[6, 7, 14, 28, 54, 68]. Важнейшим в теории нелинейных колебаний является понятие устойчивого предельного цикла - периодической траектории, к которой сходятся все другие траектории (по крайней мере, траектории с близкими начальными условиями). К числу классических примеров нелинейных дифференциальных моделей, обладающих предельным

Даже простые нелинейные модели позволяют описывать колебания сложной формы, например релаксационные (близкие к прямоугольным) колебания, учитывать изменение формы колебания в зависимости от начальных условий (системы с несколькими предельными циклами) и т.д. Теоремы о разложении периодической функции в ряд Фурье показывают, что спектр предельного цикла состоит из счетного набора частот, кратных некоторой основной частоте. На рис. 3.22, а

В течение нескольких десятилетий линейные модели колебаний и нелинейные модели с предельными циклами удовлетворяли потребности инженеров. Считалось, что они описывают все возможные типы колебаний детерминированных систем. Это убеждение поддерживалось и математическими результатами: например, известная теорема ПуанкареБендиксона [6, 7, 14, 54, 28] утверждает, что единственно воз-

123

можные виды ограниченных установившихся движений в непрерывных системах второго порядка - это либо состояние равновесия, либо предельный цикл.

Однако в середине XX века сами математики обнаружили, что уже для систем третьего порядка это не так: в системе становятся возможными весьма сложные движения - ограниченные непериодические колебания. Настоящий переворот начался с работы физика Е. Лоренца [141], опубликованной в 1963 г., где было показано, что качественный характер явлений атмосферной турбулентности, описываемых сложными уравнениями в частных производных Навье-Стокса, может быть передан простой нелинейной моделью третьего порядка (уравнение Лоренца):

Решения системы (3.63) при некоторых значениях параме-

пространстве) могут приближаться к предельному множеству (аттрактору), имеющему весьма причудливое строение (рис. 3.24, а). Внимание многих физиков и математиков, а затем и инженеров к подобным моделям было привлечено по-

ввели термин "хаос" для обозначения подобных нерегулярных явлений в детерминированных системах. Заметим, что основной результат работы [138] является частным случаем теоремы киевского математика А.Н. Шарковского, опубликованной в 1964 г. Серьезные исследования хаотических явлений были выполнены также в 60-70-х годах в России А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом, Я.Г. Синаем, Ю.И. Неймарком, Л.П. Шильниковым и их учениками. В дальнейшем хаотическое поведение было обнаружено в огромном количестве систем в механике, лазерной физике и радиофизике, химии, биологии и медицине, в электронных цепях и т.д. [69, 66, 120, 85,148, 71, 59,109, 135,125,126,127, 91,142, 146, 124].

124

Разработанные новые методы аналитического и численного исследования систем показали, что хаос - это отнюдь не исключительный вид поведения нелинейной системы. Грубо говоря, хаотические движения возникают, когда траектории системы глобально ограничены и локально неустойчивы. В хаотической системе сколь угодно малое начальное расхождение траекторий не остается малым, а в течение некоторого времени растет экспоненциально. Частотный спектр хаотической траектории является непрерывным (рис. 3.23, 5, где изображен спектр функции x(t)). Во многих случаях подобные нерегулярные, непериодические колебания лучше отражают свойства процессов, протекающих в реальных системах. Опять-таки следует отметить, что "на глаз" отличить хаотический процесс от квазипериодического может быть не менее трудно, чем отличить квазипериодический процесс от периодического.

3.8.2.Определение хаотической системы

Терминология в области хаотических моделей еще не устоялась, и существует несколько различных определений хаотических систем. Приведем одно из простейших.

Рассмотрим динамическую систему в непрерывном време-

системы (3.69), начинающиеся в ft0, определены при всех t > О

точки х до множества ft); б) никакое собственное подмножество ft этим свойством не обладает.

О п р е д е л е н и е 2. Аттрактор называется странным, если он ограничен и любая траектория, начинающаяся на

125

Аналогичные определения даются для систем, дискретных по времени:

Неустойчивость по Ляпунову характеризует основное свойство хаотических колебаний, называемое "сверхчувствительностью", или "чувствительной зависимостью" от начальных условий: любые две сколь угодно близкие траектории обязательно удаляются друг от друга на конечное расстояние.

Имеются и другие определения странных аттракторов и хаоса. Например, часто в определение странного аттрактора включают дополнительные требования: существование траекторий (или семейства периодических траекторий), всюду плотных в fi, топологическую транзитивность и т.д., подчеркивающие наличие свойства "перемешивания" траекторий. Недавние результаты Г. А. Леонова [54] показывают, что вместо отсутствия устойчивости по Ляпунову при определении странного аттрактора целесообразно требовать отсутствия так называемой устойчивости по Жуковскому, допускающей разную скорость течения времени на разных траекториях системы. Однако строго доказать хаотичность системы непросто, даже пользуясь простейшим определением. Для некоторых общепризнанных хаотических систем (например, для системы Лоренца (3.63)) доказательства хаотичности весьма громоздки, хотя численных и экспериментальных подтверждений накоплено предостаточно. Поэтому основным методом изучения хаотических систем остается численное исследование - имитационное моделирование и оценка различных характеристик (см. п. 3.8.3). Приведем несколько примеров хаотических систем.

П р и м е р 3.8.1. Система (цепь) Чуа. Около 15 лет назад специалисты по электронным цепям Л. Чуа и Т. Мацумото предложили простую электронную цепь с одним нелинейным элементом, способную генерировать весьма разнообразные, в том числе хаотические, колебания.

Электрическая схема цепи Чуа представлена на рис. 3.25, а. Эта цепь содержит нелинейный резистор Д„ (диод Чуа), вольтамперная характеристика которого отражена на рис. 3.25, 6. Нетрудно убедиться, что уравнения Кирхгофа для этой цепи

126

Рис. 3.25. Электрическая схема цепи Ч у а (а) и вольт-амперная характеристика нелинейного резистора (б).

Рис. 3.26. А т т р а к т о р системы Ч у а (3.66).

Рис. 3.27. Хаотический процесс х(/) в системе Ч у а и его спектр.

127