Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

имеют вид

Пренебрегая активным сопротивлением катушки индуктивности и переходя к безразмерным величинам, получим математическую модель цепи Чуа в виде:

* = -qy.

где x,y,z - безразмерные переменные, пропорциональные на-

М0 = 5/7 траектории системы (3.66) демонстрируют хаотическое поведение (рис. 3.26, 3.27).

S(co) 1

1500

1000

500

Рис. 3.28. Решение уравнения Дуффинга при гармоническом воздействии и его спектр.

Пример 3.8.2. Разнообразные хаотические колебания можно генерировать, подавая гармонический сигнал на вход нелинейных осцилляторов, например заменяя ноль в правых частях уравнений (3.60)—(3.62) синусоидальной функцией

128

При некоторых значениях частоты и амплитуды возбуждения происходит "размазывание" предельного цикла и колебания в нелинейной системе становятся хаотическими.

Рис. 3.29. Фазовый портрет и интегральная кривая решения уравнения Луффинга при гармоническом воздействии.

На рис. 3.28, 3.29 представлены колебания, возникающие при подаче на систему Луффинга (3.61) воздействия (3.67) с

кривая). Лля дискретного времени примеры хаотических систем существуют для любой размерности состояния системы, даже прvi/h — 1.

построенная с помощью так называемого логистического отображения F(x) = Ах(1 - х), является хаотической [69, 66, 120] при 3.57 < А < 4. Ее аттрактором является отрезок [0,1].

П р и м е р 3.8.4. Система

где через {Л} обозначается дробная часть вещественного числа Л, является хаотической при любом М > 1. Система (3.69) часто используется для генерации псевдослучайных чисел, возможно первого практического применения хаоса.

Это применение основано на том, что при любом начальном условии х0, несоизмеримом с М, доля точек последовательности (3.69), попавших в некоторый интервал, лежащий в отрезке [0,1], пропорциональна длине этого интервала [93]. Таким образом, если частоту попадания точек в интервал считать оценкой некоторой вероятности, то совокупность таких вероятностей будет задавать равномерное распределение на [0,1].

3.8.3.Критерии хаотичности

Как уже было сказано, основным критерием хаотичности является локальная неустойчивость, т.е. разбегание близких вначале траекторий. Соответственно основной характеристикой хаотичности является скорость разбегания, определяемая так называемым старшим показателем Ляпунова. Показатели Ляпунова определяются для заданной "опорной" траектории x(t) системы (3.64) с начальным условием х(0) = х0. Лля этого составляется уравнение в вариациях (система, линеаризованная вблизи х(1)):

(3.64) (матрица частных производных от правых частей), вы-

характеризующую скорость экспоненциального роста реше-

130

Наиболее важен старший ляпуновский показатель <*i. Если схх > 0 вдоль ограниченного решения х(£), плотного в аттракторе Q, то это решение неустойчиво по Ляпунову, а аттрактор является странным. При этом величина ot\ характеризует степень неустойчивости, или, другими словами, показатель экспоненциальной чувствительности к начальным данным. Для линейной системы с постоянной матрицей х = Ах и нулевого опорного решения = 0, очевидно, ах = max,ReAt(A), т.е. \ai\ совпадает с обычной степенью устойчивости (или неустойчивости) системы.

Старший показатель ot\ может быть приближенно вычи-

среднее правых частей (3.72) при разных начальных условиях х0) взятых на траектории x(t). Тогда t необязательно брать очень большим [69].

Показатели Ляпунова характеризуют прогнозируемость траекторий системы. Действительно, траектория x(t) аппроксимируется через время Т другой траекторией с погрешностью Д, есл>!

гдее - начальная погрешность. Следовательно, хаотическую траекторию можно спрогнозировать с заданной точностью на некоторое время вперед. Это принципиально отличает хаотические системы как модели неопределенности от стохастических систем, в которых ошибка прогноза может, вообще говоря, принимать сколь угодно большие значения, даже при сколь угодно малом горизонте (время прогноза).

Другой важной характеристикой хаотической системы является фрактальная размерность аттрактора, характеризующая его "густоту", или "пористость". Для ее подсчета аттрактор Q покрывается кубиками размера е. Пусть N(e) -

131

(Если предел не существует, то в (3.74) берется нижний предел - наименьший из частных пределов по подпоследовательностям.) Можно показать, что существует число dj > 0, такое что /i(fl,<f) = +00, при d < dj, fi(Qyd) = 0 при d > dj. Это число называется фрактальной размерностью, или емкостью)

множества П. Из определения следует, что N(e)e~df, откуда ясно, что емкость можно определить из соотношения

Можно показать, что если множество Q есть точка, гладкая кривая или двумерная поверхность, то dj будет равна О, 1 или 2 соответственно. Однако есть множества, у которых dj - дробная величина. Такие множества были названы Б. Мандельбротом фрактальными, или фракталами. Примерами фракталов являются странные аттракторы: для системы Лоренца dj«2.07, а для цепи 4yad/«2 . 81 . Известны математические результаты, утверждающие, что множество с фрактальной размерностью dj, может быть размещено без самопересечений в евклидовом пространстве, имеющем размерность не выше, чем 2d/ + l. Если же разрешить самопересечения, то размерность объемлющего пространства может быть снижена до dj + 1. Эти результаты важны при построении модели системы по экспериментальным данным; они означают, что поведение траекторий на аттракторе, имеющем фрактальную размерность dj может быть описано моделью в пространстве состояний с размерностью, не превышающей 2dj + 1. Более подробно о различных видах фрактальной размерности и о способах ее вычисления можно прочесть в [66, 69, 120].

3.8.4. Зачем нужны хаотические модели?

Из предыдущего ясно, что хаотические модели следует использовать для описания непериодических колебательных процессов с непостоянными, меняющимися характеристиками (например, частотой и фазой). Существующие методы позволяют оценивать эти характеристики по результатам измерений. При этом такал величина, как частота колебания,

132