Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 441
Скачиваний: 1
= \W(jw)\, а только ее максимум Ку/, определяемый резонансными свойствами линейной части и достигаемый на одной из резонансных частот. Для практического определения Kw Для линейной системы на ее вход следует подать гармонический сигнал u(t) = sinu>£ и найти ы, реализующую max max |у(£)| (начальные условия на систему следует брать
шt>0
нулевыми).
и |
X = |
F(x,u) |
У |
|
У = |
Kx) |
|
<p(y)
Рис. 3.31. Нелинейная система.
Пусть теперь линейная модель системы (3.83) заменяется на нелинейную и система описывается дифференциальным уравнением состояния вместе с конечным уравнением выходов (рис. 3.31):
x = F(x,u), у = Л(х), |
(3.88) |
где х - n-мерный вектор состояния системы. Интуитивно ясно, что устойчивость системы (3.88), (3.84), (3.85), как и в линейном случае, должна зависеть от резонансных свойств системы (3.88). Однако изучение резонансных свойств нелинейной системы затруднено, поскольку частота вынужденных колебаний в нелинейной системе зависит от амплитуды входного гармонического сигнала. С ростом амплитуды входа в системе могут возникать сложные, в том числе хаотические режимы, т.е. входной гармонический сигнал не может в полной мере вскрыть резонансные свойства нелинейной системы.
Задачу определения формы сигнала, обеспечивающего при заданной амплитуде входа максимальную амплитуду выхода, можно поставить как задачу оптимального управления системой (3.88):
sup y2{t). |
(3.89) |
W ' ) l < 7 , 0 < 5 < t ,
x(0)=0.
140
При этом входной сигнал, создающий максимальное возбуждение системы, будет зависеть не только от времени, но и от состояния системы, т.е. иметь вид обратной связи [129, 108]. Заметим, что для линейных систем задача (3.89) - не что иное, как классическая задана Булгакова о накоплении возмущений [75]. Величина оптимума в задаче (3.89) зависит от 7 квадратично. Поэтому естественно ввести характеристику возбудимости системы ограниченным входным сигналом как величину
Е{7) = |
(3-90) |
где <2(7) ~ оптимальное значение в задаче (3.89). Лля линейных асимптотически устойчивых систем величина (3.90) не зависит от 7, а для нелинейных - представляет собой функцию от 7, которую естественно назвать степенью возбудимости системы.
Решение задачи оптимального управления в общем случае весьма трудоемко даже при использовании эффективных численных методов. Однако для приближенного решения можно воспользоваться известным результатом (см., например, [117]) о возможности приближенной замены оптимального управления на локально-оптимальное, получаемое максимизацией скорости изменения целевого функционала в силу свободной системы (при и = 0). Точность такой замены тем выше, чем меньше амплитуда входа 7.
Лля вычисления локально-оптимального управления пред-
ставим первую часть уравнения (3.88) в виде |
|
|||||
F{x,u) |
= /(х) + g(x)u |
+ Я(х,и), |
(3.91) |
|||
где /(х) = F(x, 0), |
g(x) |
= df/du(x, |
0), |
а остаточный член |
||
R(x}u) имеет высший порядок |
малости |
по и. |
Скорость из- |
|||
менения целевого функционала Qt = y2{t) |
равна |
|||||
Q(t) = 2y(Vh)T |
(/(х) + g{x)u + Я(х, |
и)). |
||||
Пренебрегая величиной R(x,u)y |
видим, что локально-оптима- |
|||||
льное значение входа при малых 7 равно |
|
|||||
и(х) = |
7sign (л(х) Vh{x)Tg{x)) . |
(3.92) |
||||
Таким образом, для вычисления степени возбудимости системы при малых 7 достаточно подавать на вход системы сигнал (3.92) и измерять достигаемую амплитуду выхода. Это
141
можно делать как в физическом (натурном), так и в вычислительном эксперименте. Примеры построенных таким образом графиков степени возбудимости для классических нелинейных систем (уравнения маятника и системы Дуффинга) приведены на рис. 3.32.
Рис. 3.32. Характеристики возбудимости маятника (д = 0.1, и>$ = 10) и системы Луффинга.
Полученные графики можно использовать для оценки устойчивости замкнутой системы с нелинейностью в обратной связи. Условия устойчивости следуют из теоремы о пассивности [152, 134, 79] и аналогичны (3.86):
K f K 9 < 1. |
(3.93) |
При этом роль максимума амплитудно-частотной характери-
с т и к и и г р а е т максимальная степень возбудимости
Кр = sup £"(7). |
(3.94) |
7 |
|
Величина Кр конечна для так называемых строго пассивных систем (системы с полной диссипацией).
Отметим, что воздействие вида (3.92) создает в системе аналог резонансного режима: для слабодемпфированных систем малое воздействие вида (3.94) приводит к возбуждению больших колебаний выхода и может сообщить системе значительную энергию. Можно показать, что для механических систем со степенью демпфирования (диссипации) g > 0 воздействие (3.92) выводит систему на уровень энергии не меньший, чем 72 /д2 (см. [108]), т.е. для Е(7) справедлива нижняя оценка £ ( 7 ) > д~~1.
142
Исследование динамических свойств систем с помощью непериодических тестовых сигналов представляется весьма перспективным инструментом в теории нелинейных систем.
Другой областью, где гармонические сигналы, линейные системы и спектральные методы традиционно играли и играют ключевую роль, является теория передачи информации
(теория связи). Однако и |
здесь |
"нелинейная |
философия" |
предлагает новые подходы. |
|
|
|
Напомним, что в теории связи гармонический |
сигнал |
||
y(t) = |
asin(utf |
+ a) |
(3.95) |
рассматривается как базовый, простейший. Сигнал может изменяться (модулироваться) путем изменения его параметров - величин а (амплитуда), и (частота) и а (начальная фаза). Например, при частотной модуляции модулирующим параметром является частота а;, которая становится, таким образом, переменной, т.е. с системной точки зрения становится сигналом: и = и>(t). Передаваемый модулированный сигнал y(t) может содержать в себе закодированное сообщение. Для передачи сообщения по каналу связи, на стороне приемника сообщение должно восстанавливаться по принимаемому сигналу y(t) = y(t) + £(t), где £(t) - шум (помеха) в канале связи. Выделение полезного сообщения из принимаемого сигнала и является основной задачей теории связи [25].
В 90-х годах XX века усилился интерес к использованию в качестве несущих сигналов нерегулярных (хаотических) колебаний [33, 143, 133, 6]. Для построения соответствующей теории необходимо сделать решительный шаг: перейти от явного описания сигнала как функции времени (3.94) к заданию модели системы, генерирующей этот сигнал. Очевидно, например, что генератором гармонического сигнала (3.94) может служить линейное дифференциальное уравнение
y(t)+u2y(t) |
= 0. |
(3.96) |
Однако для генерации нерегулярных, непериодических сигналов линейные модели непригодны (см. п. 3.8.1). Следующим шагом к построению новой теории является использование в качестве основных объектов нелинейных генераторов,
143
описываемых дифференциальными уравнениями
x = |
F{xtu)t |
у = h(x). |
(3.97) |
Здесь в отличие от |
(3.88) |
входной вектор и £ 1Zm |
может |
иметь смысл не только входного сигнала, но и модулирую-
щего |
сигнала, т.е. |
задавать |
набор |
изменяемых |
параметров |
|
генератора. Например, система (3.97) |
в частном |
случае мо- |
||||
жет |
быть системой |
Лоренца |
(3.63) |
или |
системой |
Чуа (3.66), |
а вектор входов может включать часть коэффициентов соответствующего уравнения.
Приемник также представляется нелинейной динамической
системой |
|
z = 9(z,y), « = *(*), |
(3.98) |
где у = 2/(0+ £ (0 - принимаемый сигнал (вход приемника), z = z(t) € TV1 - вектор состояния приемника, й = u(t) - оценка передаваемого сообщения (выход приемника). Обычно шум измерений можно считать ограниченным. Тогда задачу синтеза (конструирования) приемника можно поставить как нахождение модели (3.98), обеспечивающей достижение цели
|u(t) - 4 ( 0 1 < Дм. |
|
(3.99) |
|
На самом деле, соотношение (3.99) может не |
выполнять- |
||
ся на начальном этапе работы устройства. Поэтому |
цель в |
||
задаче синтеза формулируется как асимптотическое |
соотно- |
||
шение |
|
|
|
lim |
М О " f i ( 0 l < |
|
(3.100) |
В частном случае Ди |
= 0 цель (3.100) означает |
асимптоти- |
|
чески точное оценивание (о нем имеет смысл говорить, если пренебрегать помехами).
Естественным подходом к решению задачи синтеза является включение вектора оценок состояния передатчика в вектор состояния приемника z(t). Например, выбирают z(t) = x(t) £ 6 TZn . Тогда система (3.98) представляет собой не что иное, как наблюдатель (или фильтр состояния) для системы (3.97) (см. [6]).
144
Вэтом случае естественно поставить дополнительную цель
-достижение заданной точности оценивания (наблюдения) состояния передатчика
Tim \x(t) - х ( 0 | < Д.. |
(3.101) |
Таким образом, приемник должен оценивать как состояние, так и параметры передатчика, т.е. представлять собой адаптивный наблюдатель.
Синтезу адаптивных наблюдателей (фильтров состояния) для линейных систем посвящена обширная литература (см. [6]). При наличии помех их обычно считают случайными и ставят задачу оптимальной фильтрации - достижение минимальной среднеквадратической ошибки оценивания параметров. Однако включение вектора оценок неизвестных параметров в общий вектор состояния системы делает задачу фильтрации нелинейной даже при линейных моделях передатчика и приемника, что приводит к значительным вычислительным трудностям.
Синтез наблюдателей для нелинейных систем в общем случае также представляет собой трудную задачу. Однако для частного класса так называемых "пассивируемых" систем [63, 79] решение оказывается простым и изложено ниже, в п. 6.2. Заметим, что такие генераторы хаоса, как системы Лоренца и Чуа (см. п. 3.8.1), в большинстве случаев являются пассивируемыми.
Таким образом, существующие математические методы позволяют решать многие задачи анализа и синтеза нелинейных систем без опоры на "линейные костыли" - гармонические сигналы и линеаризованные модели. Это обстоятельство следует учитывать при выборе модели.
В то же время многие задачи в этой области математического моделирования не решены и даже не поставлены, что открывает широкий простор для дальнейших исследований.
Теория может быть ближе к истине, чем другая теория, но все же быть ложной.
Карл Поппер
ГЛАВА 4. ВЫБОР П А Р А М Е Т Р О В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ М О Д Е Л И
4.1.Предварительные преобразования
4.1.1.Линейно-параметризованные модели
Итак, мы выбрали структуру ММ системы, т.е. выбрали ММ с точностью до конечного набора числовых параметров. Как говорят, "модель параметризована". Что же дальше? Значения параметров лишь в редких случаях удается подобрать исходя только из теории или априорных соображений. Как правило, оценка параметров ММ проводится по результатам наблюдений за реальным процессом или явлением в ходе нормального функционирования либо во время специальных экспериментов. Более того, без сопоставления результатов наблюдений за реальной системой и за ее ММ нет гарантий правильного выбора структуры ММ. Поэтому на этапе выбора параметров происходит окончательное уточнение и окончательный выбор структуры ММ, желательно из нескольких конкурирующих вариантов.
Задачи выбора параметров ММ (называемые также задачами идентификации) приходится решать для различных типов ММ: статических и динамических, дискретных и непрерывных, линейных и нелинейных и т.д. Однако во многих случаях имеющиеся результаты наблюдений и структуру ММ удается преобразовать к стандартной форме, позволяющей применять унифицированные методы идентификации. Такой формой является линейная по параметрам модель
N
(4.1)
i=i
где х, - входные переменные (входы, факторы), у - выходная переменная (выход, отклик), б, - параметры ММ, <р- возмущение (погрешность ММ). Если ввести векторные обозначения
146