Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 442

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

X = c o l ( x 1 ? х п ) е

Rn}e = col(0b ...,0n ) е Rn

, то (4.1) можно

переписать в виде

у = вТх + <р.

(4.2)

 

По виду (4.1) ясно, что эта ММ приспособлена для отражения количественных зависимостей, т.е. множества значений входов и выходов системы U, Y должны быть непрерывными.

Этот случай (при случайных <р это задачи регрессионного анализа) будет подробно рассмотрен ниже. Иногда моделью (4.1) можно описать и зависимость между величинами с дискретным множеством значений (например, xi}y могут быть номерами уровней входных переменных, т.е. принимать значения 1,2,3,...). Однако для исследования качественных зависимостей более приспособлены методы дисперсионного анализа [46, 110], которые здесь рассматриваться не будут. Подчеркнем, что величины х,у,0,<р, вообще говоря, не совпадают с исходными входами, выходами, параметрами и возмущениями в системе, а получаются в результате преобразования (замены переменных), специально сделанного для приведения ММ системы к форме (4.1). Покажем, как можно перейти к форме (4.1) для основных типов моделей: статических; динамических, дискретных по времени; динамических, непрерывных по времени.

Лля простоты изложения возмущение в (4.1) учитывать не будем.

4.1.2.Преобразование статических моделей

Линейная М М . Чтобы привести линейную ММ с m вхо-

дами

у = а0 + d\U\ + ... + amum

(4.3)

 

к виду (4.1), полагаем хх = 1, вх = а0 и для i = 2, ...,га+1, х, =

х,

0, = а,_!.

Таким образом, х = со1(иь ...,um), в = (а0)ах,...

,аш ),

n = rn +

1.

 

Нормированная линейная М М . Рекомендуется перед оцениванием параметров ММ проводить преобразование нормировки (масштабирование и центрирование) переменных, приводящее диапазоны изменения переменных к стандартно-

му значению.

Это преобразование для линейной ММ соот-

ветствует выбору в (4.1) х,- = — — L .

Обычно выбирают чи-

сла Ui, Gi так,

чтобы нормированные

переменные лежали в

147

диапазоне [—1,1], т.е. щ - "номинальное" или среднее значение переменной, а сг, - максимальное отклонение от среднего.

Встохастическом случае берут щ = Мч{) <7, = у/М(и{ — й,)2. Полиномиальная М М . Полиномиальная ММ с одним

входом и выходом, имеющая вид

у = а0 + ахи + а2и2 + ... + атит}

(4.4)

где т -предполагаемая степень полиномиальной зависимости, приводится к (4.1) выбором

х = col(l,ti, ...,um), в = со1(а0,а!, ...,ат ), п = т + 1.

Квадратичная многофакторная ММ. Квадратичная зависимость с несколькими входами, имеющая вид

оо

оо

 

у = а0 +

+ ^ dijUiUj,

(4.5)

»=i

»j=i

 

может быть приведена к форме (4.1), если положить:

в = c o l ( a 0 , a m , a u , ( a 1 2 + a 2 i ) , ( a i m + a m l ) , a22, (a23 +a32 ), •••> ^mm)- Достаточно брать симметричную матрицу старших коэф-

фициентов:

at;

=

a; i .

Общее число

входов в (4.1)

будет

71 =

.

,

,

т ( т

+

1)

=

(ш + 1)(тп +

2)

 

 

 

1 + т Н ^

 

 

л

^

L .

 

 

Мультипликативная (степенная) ММ . Бели ММ запи-

сана в мультипликативном

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

Си?

• и?

 

 

(4.6)

то для приведения к виду (4.1) следует

прологарифмировать

(4.6):

 

 

In у =

In С

+ Qi In Ui + ... +

a m In ит)

 

 

 

 

 

 

и положить у = \пу,

 

= 1, 01 =1пС и для i = 2 , . . . , г а + 1 ,

= 0ft-«lf

x , = ln 11,-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неявная MM. Если статическая характеристика системы

представлена в виде неявной зависимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф ( « , » ^ ) = 0 ,

 

 

(4.7)

148

то нет необходимости разрешать (4.6) относительно выхода. Достаточно свести (4.7) к виду

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

i=i

= 0,

 

(4.8)

 

 

 

 

 

 

 

линейному относительно параметров, и положить

 

 

 

 

х = col($i(u,y),..., Фп(<а, у),

у =

Фо(и}у).

 

 

 

 

Приведем несколько примеров, демонстрирующих приемы

построения линейно-параметризованных ММ.

 

 

 

 

Пример 4.1.1. Одним из распространенных приемов явля-

ется логарифмирование уравнений.

Если ММ задана

экс-

поненциальной зависимостью у = C\eC2U,

то, логарифмируя,

получим соотношение In у = InCi + С2и,

для приведения

кото-

рого к виду (4.1) достаточно положить у = In у, хх = 1, х2

=

и,

в\ = InCi, 02 = С2. После построения

оценок параметров

0 Ь

02

следует вернуться к параметрам исходной ММ: С\

=

 

е6х,

С2

— $2'

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.1.2.

Уравнение Аррениуса,

определяющее

 

ки-

нетику химических

реакций, имеет вид

 

 

 

 

 

*«*.«ф(-д(Г|273))'

(4,9)

где К - константа скорости реакции,

Т -

температура

в °С,

Е - энергия активации, R - универсальная газовая постоянная. Величина R известна из теории, а Ко, Е подлежат определению из опытов. Прологарифмированное уравнение (4.9)

сводится к (4.1)

подстановкой:

 

 

 

у = In К, xi = 1, х2 =

 

 

>

~ 1п ^о»

^2 =

Е.

Пример 4.1.3. Тригонометрическая

модель

 

 

 

у =

y4sin(u>* + <р),

 

 

(4.10)

в которой си, t

известны,

Л,

(р неизвестны, сводится

к (4.1),

если записать

(4.10) в виде

у

= Л cos (р sin u>t +

Л sin <р cos ut и

обозначить: хх

= sin ut, х2 =

cos ut,

= Acosip,

в2 =

Л sin у?.

149

Обратный переход после построения оценок

в2 выполняет-

ся по формулам

 

 

 

 

А = в2х+в1

ф = arctgT2-.

 

 

П р и м е р

4.1.4. Пусть в предыдущем примере и

неизвест-

на. Тогда

следует сначала

оценить и>, исключив

из (4.10)

остальные параметры. Это можно сделать, приведя двукратным дифференцированием (4.10) к виду у + ш2у = 0 и оценив и2 одним из методов, описанных ниже в п. 3.1.3. После этого можно применить подход предыдущего примера.

П р и м е р 4.1.5. Гиперболическая зависимость у =

^ + fiu

преобразуется

к виду

^ = ^ + /3, который сводится

к (4.1)

заменой у =

хх =

вх = /3, в2 = а.

 

4.1.3.Преобразование д и н а м и ч е с к и х моделей

Проще всего обстоит дело с дискретными по времени

линей-

ными моделями, заданными передаточной функцией W(z~l)

=

= B(z~l)/A(z~l),

где A(z~l)

= 1 + a1 z"1 + ... + атуг—«<, B(z'1)

=

= bQ + bxz+

... -I- bm%z~m*}

или соответствующим разностным

уравнением

 

 

 

 

 

Ук + а\Ук-\ +

••• + а>туУк-ту

= Ь0ик

biUk-x + ... + ЬтчЩb-mu-

(4.11)

ММ (4.11) непосредственно приводится к (4.1), если положить

п =

ти + ту +1;

у = ук,

 

X

=

Со1( Ук — \)

Ук—тпу I

,Ujt_mJ,

в

=

col(ab

...,аШу,

,Ь0,. -,Ьши).

 

Если ММ задана уравнениями

состояния

 

 

 

хк+х =

Ахк + Ьик) у = Схк)

(4.12)

то следует привести их к виду (4.11), как это описано в п. 2.2.2. Уравнение (4.11) содержит меньше неизвестных параметров и включает только входные и выходные, т.е. измеряемые, переменные. Если же измерению доступен непосредственно вектор состояния хк 6 Я", то целесообразно представить векторное уравнение (4.12) как совокупность из п покомпонентных скалярных уравнений, коэффициенты которых

150

Смотрите также файлы