Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

(строки матриц А, В) оцениваются независимо. Аналогичные соображения можно применить и к нелинейным моделям.

Для оценки параметров непрерывных по времени динамических систем существуют два подхода. Первый состоит в переходе от непрерывной ММ к дискретной и оценивании параметров дискретной ММ. Способы дискретизации приведены в п. 3.3.3. Затем полученные оценки в параметров дискретной ММ пересчитываются в оценки исходной ММ путем континуализации (см. п. 3.3.3).

Второй подход состоит в сведении исходной ММ системы к некоторой вспомогательной статической ММ. Лля этого вводится функционал качества 1 £?(•), характеризующий погрешность приближения ММ к исходной системе, вычисляемую по траектории системы на заданном промежутке [О,Т]. Примером ттакого функционала является квадратичная ошиб-

ка Qi = fQ e2(t)dt, где = y(t) - г/(*), y{t) - реальный выход системы при входном воздействии ix(<)» £(0 ~ процесс в ММ. Поскольку ММ задается вектором параметров 0, т.е. y(t) = y(t} в) (начальные условия считаем фиксированными и одинаковыми в системе и в ММ), то функционал Q оказыва-

т.е. как задачу оптимизации статической системы. Лля ее решения можно использовать известные методы оптимизации

[80, 22].

Перечислим некоторые часто используемые виды функци-

1 Функционалом называется отображение произвольного множества во множество чисел. В данном случае аргументом функционала является функция времени, значением - положительное число.

151

пример, квадратичный функционал можно записать в виде

Описанный подход отличается универсальностью, но обладает рядом следующих недостатков.

1. Значение функционала качества зависит от длины про-

нимизация должна проводиться либо при одном, фиксированном значении х(0), либо при "наихудшем" по некоторому ограниченному множеству значении х(0) (т.е. при минимаксном критерии качества), либо по усредненному показателю Q(0) = MQ(6) (при заданном "априорном" распределении вектора х(0)).

2. Чтобы вычислить Q(6), требуется определить траекторию системы на всем промежутке [О, Т], т.е. оценка точности и коррекция ММ могут проводиться только после окончания переходного процесса в системе.

3. Зависимость Q(0) обычно весьма сложна (в частности, неквадратична), вследствие чего условие оптимально-

уравнению вида (4.1), даже если исходная ММ линейна по параметрам. Можно, конечно, линеаризовать условие оптимальности (этот подход основан на построении функции чувствительности [95]), однако при этом возникает дополнительная погрешность, с трудом поддающаяся оценке.

Последний недостаток особенно снижает привлекательность подхода, поскольку существуют другие варианты, позволяющие сводить задачу к линейной. Например, можно перейти к дискретной ММ (4.11) и задать показатель качества

152

Избавиться от последнего недостатка можно также, перейдя от функционалов ошибки, характеризующих разницу в выходах (или в состояниях) исходной системы и модели, к функционалам невязки, зависящим от погрешности уравнения ММ. Например, заменив в (4.14) векторы состояния я(£), x(t) их производными, приходим к показателю

который в случае линейности F(x(t), u(t)} в) по в является квадратичным по в. Надо сказать, что неквадратичность задачи не мешает применению целого ряда методов оптимизации [80]. По поводу оценивания параметров нелинейных систем см. также [27].

Продемонстрируем различные подходы на примере.

П р и м е р 4.1.6. Пусть структура ММ задана дифференци-

параметры которого a, b подлежат оцениванию по результатам измерений ук = y{tk), ик = u{tk), при tk = kh, к = 0, 1,... , N.

Перечислим возможные способы формализации задачи оценивания параметров в (4.18).

б) Заметим, что в формулах (4.20) присутствует деление на величину шага Л, которая может быть малой величиной.

153

Чтобы избежать потери точности, можно попробовать взять дискретную ММ в виде

Отметим также, что формы (4.19), (4.21) не изменяются, если

для повышения точности оценок за счет увеличения разнообразия векторов х*.

в) Можно дискретизировать (4.18) по методу Тастина (см.

Заметим, что если вычесть из обеих частей (4.22) ук и разделить на Л, то получим модель

структура которой совпадает с (4.21). Отличие от варианта б) есть лишь в формулах пересчета оценок - прямых:

и обратных:

1+0 х Л/2

154

г) Проинтегрировав обе части (4.18) по отрезку [0,**], получим ММ (4.1) при у = укУо'

Приближенно МОЖНО ВЗЯТЬ Хх = Л^*=12/лЯ2 = д) Наконец, можно поставить задачу оценивания параме-

тров (4.18) как минимизацию функции интегральной ошибки:

4.2.Регрессионный анализ и метод наименьших квадратов

После приведения ММ к стандартной форме (4.1) вычисляются оценки параметров ММ по результатам ряда наблюдений за входами и выходами системы. Пусть имеются результаты N наблюдений хц, x,n, yt, i = которые объединены в матрицу из N строк и п столбцов (N х n-матрицу) X = {^«j} и N-вектор У = col(3/1, ...,Удг).

Начинал с классической работы К. Гаусса (1809 г.), популярен способ вычисления оценок, называемый методом наименьших квадратов (МНК) и состоящий в выборе оценки |0|, минимизирующей выражение (4.16) - среднеквадратическую ошибку . МНК-оценка удовлетворяет системе так называе-

ца. Для вычисления в не требуется никаких предположений

155