Файл: Физика Программа, методические указания и задачи для студентов заочников (с примерами решения) (А.А.Кулиш).pdf

1.23.Найти зависимость ускорения силы тяжести Земли над полюсом от высоты положения тела над уровнем моря h. Построить качественно эту зависимость на графике g=f(h).

1.24.Электровоз массой m=184∙103 кг движется вдоль меридиана со

скоростью =20 м/с (72 км/ч) на широте =45. Определить горизонтальную составляющую силы F, с которой электровоз давит на рельсы.

(0,38 кН).

1.25.Тело участвует в двух вращательных движениях,

Определить:

а) на какой угол повернется тело за первые 3,0 с; б) какой угол составляет ось вращения, вокруг которой происходит

поворот, с осью Х.

( а) =20 рад, б) =63 ).

1.26. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его

поворота меняется в зависимости от времени t по закону 2 (at bt2 ) ,

2

где а>0, b>0. Найти момент времени , в который тело остановится, а

1.27. Материальная точка движется по окружности радиусом R со скоростью =kt, где k>0. Найдите зависимость от времени модуля полного ускорения точки; постройте графики зависимости тангенциального и нормального ускорений от времени.

1.28. Определить полное ускорение а в момент времени t=3 c точки, находящейся на ободе колеса радиусом R=0,5 м, вращающегося согласно уравнению =Аt+Вt3, где А=2 рад/с, В=0,2 рад/c3. Изобразите графики нормального и полного ускорений аn=f(t) и a=f(t) на интервале 0<t<3с.

(a=27,4 м/с2).

1.29. Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Через некоторый промежуток времени t

после начала движения угол между полным ускорением и радиусом окружности равен 45 . Чему равно угловое ускорение точки?

( 1 ). t2

1.30.Материальная точка (частица) массы m брошена под углом

кгоризонту с начальной скоростью V0. Траектория полета частицы лежит в плоскости Х, Y. Ось Z направлена "на нас".

1.31. Две материальные точки массами m1 и m2 соединены жестким невесомым стрежнем длиной L. Найти положение центра масс системы Хс и момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.

1.32. Тело массой m=0,1 кг брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью V0=20 м/с. Найти модуль приращения момента импульса тела L относительно точки бросания за

первые =5 с.

1.34. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массой m, длины а и ширины b относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через одну из вершин пластинки.

( I 1 m(a2 b2 )).

3

1.35. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра m1=12 кг. На цилиндр намотан шнур, к которому привязали гирю массой m2=1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гири?

(w=1,4 м/с2; T=8,4 Н).

1.36. На обод маховика диаметром D=60 cм намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=2,0 кг. Определить момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t=3,0 с приобрел угловую скорость =9,0 рад/с.

(T=1,8 кг м2).

1.37. Тонкий обруч радиусом R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и положили (опустили) на горизонтальный стол. Через какое время t обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем ? Сколько оборотов N сделает обруч до полной остановки?

( N R 2 ; t R ). 4g g

1.38. С какой угловой скоростью должен вращаться сосуд в виде усеченного конуса, чтобы шарик, лежащий на его дне, выкатился из него? Диаметр верхнего основания d. Стенки сосуда наклонены к горизонту под углом .

( 2g tg ). d

1.39. Из сплошного однородного цилиндра радиусом R сделали полый, удалив внутреннюю часть радиусом R/2 от оси симметрии. Во сколько раз изменится момент инерции тела относительно указанной оси?

( J1 1,07 ).

J2

1.40. Из сплошного однородного цилиндра сделали полый, удалив половину его массы. Как изменится момент инерции J цилиндра относительно его оси и во сколько раз? Как и во сколько раз изменится момент импульса указанных цилиндров, если они вращаются с одинаковой угловой скоростью?

( J1 = L1 1,33 ).

J2 L2

1.41. В сплошном однородном диске радиусом R просверлили сквозное отверстие радиусом R/2 от оси симметрии. Во сколько раз изменится момент инерции тела относительно указанной оси?

( J2 0,98).

J1

1.42. Два однородных цилиндра с одинаковыми высотами h и

равными массами m вращаются относительно своих осей симметрии. Соотношение плотностей материалов цилиндров 1=(3/4) 2. Сравнить вращающие моменты сил, если угловые ускорения цилиндров одинаковы, а моменты сил трения МTP равны.

( M1 1,33).

M 2

1.43. Грузик массой 5,0 г, привязанный к нити длиной l=50 см, вращается вокруг вертикальной оси и описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол образует нить с вертикалью, если частота вращения n=1 c-1. Чему равен модуль проекции момента импульса на ось вращения?

(=60 ; Lz = 5,9∙10-2 кг м 2 ).

с

Законы сохранения. Работа. Энергия

Примеры решения задач

10. Однородный цилиндр массой m = 10кг и радиусом r = 5см свободно скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h = 1,0м. Определить угловую скорость движения цилиндра и момент импульса цилиндра при переходе цилиндра с наклонной плоскости на горизонтальную плоскость. Начальная скорость цилиндра равна нулю.

Дано: Решение:

m = 10кг

r = 5см

h = 1,0м

а) ω –?

б) L –?

В начальный момент движения скорость цилиндра равна нулю и его полная механическая энергия равна потенциальной WП . При переходе на горизонтальную плоскость полная механическая энергия цилиндра равна сумме кинетической энергии WK и потенциальной энергии WП цилиндра. По закону сохранения полной механической энергии получается:

Потенциальная энергия цилиндра определяется положением центра масс цилиндра над горизонтальной плоскостью. Поэтому WП mg(h r),

WП mgr , где g – ускорение свободного падения.

Как известно, качение цилиндра по плоской поверхности можно рассматривать как поворот с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси вращения, проходящей по линии соприкосновения цилиндрической поверхности и плоскости. На рисунке мгновенная ось вращения проходит через точку М перпендикулярно плоскости рисунка. Следовательно, кинетическая энергия определяется выражением

где I – момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения. Из известного выражения для момента инерции цилиндра относительно оси симметрии и теоремы Штейнера получается:

22

Выражение (1) с учетом формул (2) и (3) принимает вид:

Момент импульса L при переходе цилиндра на горизонтальную плоскость направлен вдоль мгновенной оси вращения, как показано на рисунке. Модуль момента импульса равен:

Ответ: ω = 72 с‾È; L = 2,7 кг∙мÃ/с.

11. Два шара, один массой m1= 2кг, второй m2= 3кг, на горизонтальной плоскости движутся навстречу во взаимноперпендикулярных направлениях и сталкиваются абсолютно неупруго. Найти после соударения скорость шаров V3 , направление