Файл: Физика Программа, методические указания и задачи для студентов заочников (с примерами решения) (А.А.Кулиш).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 296
Скачиваний: 0
скорости и часть механической энергии шаров, перешедшей во внутреннюю энергию шаров. До соударения скорость первого шара V1 =
5 м/с, второго – V2 |
= 3 м/с. |
|
Дано: |
Решение: |
|
m1= 2кг |
|
|
m2= 3кг |
|
|
V1 |
= 5 м/с |
|
V2 |
= 3 м/с |
|
а) V3 –?
б) α –?
в) W –? Рис.1 Рис.2
На горизонтальной плоскости введем систему координат XOY, как показано на рис.1. Соударение шаров происходит в начале системы координат. Соударение абсолютно неупругое, поэтому, шары “слипаются” и движутся вместе со скоростью V3 , как показано на рис. 1. Внешняя сила (сила тяжести), действующая на шары, перпендикулярна к горизонтальной плоскости и, следовательно, выполняется закон сохранения импульса:
P1 P2 P3 , |
(1) |
где P1 – импульс первого шара до соударения, P2 – импульс второго шара |
|
до соударения, P3 – импульс шаров после соударения. Из |
характера |
движения шаров и закона сохранения импульса следует, что направления
векторов P1 , P2 , P3 должны |
соответствовать рис. 2, а модули векторов |
||||||||||||||||
связаны соотношением: P2 |
P2 |
|
P2 |
или |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((m m |
2 |
)V )2 |
(m V )2 |
(m V |
)2 . |
|
(2) |
|||||||||
|
1 |
|
|
3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||
Из уравнения (2) для скорости V3 получаем: |
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2,7 м/с. |
|
||||||
V |
|
(m V )2 |
(m V |
)2 |
|
||||||||||||
|
100 81 |
|
|||||||||||||||
m1 m2 |
|
|
|||||||||||||||
3 |
1 1 |
|
2 2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
Угол α, характеризующий направление скорости V3 , может быть
найден из рис. 2 по формуле: arctg P2 actg0,9 420 .
P1
При абсолютно неупругом соударении механическая энергия тел уменьшается на величину W, перешедшую во внутреннюю энергию шаров. Движение происходит на горизонтальной плоскости, поэтому механическая энергия системы обусловлена кинетической энергией
шаров. Окончательно, для величины |
W следует: |
|||||||||||
W |
m1V12 |
|
m2V22 |
|
(m1 m2 )V32 |
|
2 25 |
|
3 9 |
|
5 7,3 |
20,25 Дж. |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||
Ответ: V3 = 2,7м/с; α = 42Å; W = 20,25 Дж.
12.На дистанционной скамье Жуковского вращается с частотой n1
=1об/с человек, держащий в центре горизонтально расположенный металлический стержень массой m = 5 кг и длиной l = 1,5 м. Определить частоту вращения человека n2 и совершенную работу A, если он повернет стержень в вертикальное положение. Момент инерции человека и скамьи
I0 = 5 кг∙мÃ.
Дано:
n1 = 1 об/с m = 5 кг
l = 1,5 м
I0 = 5 кг∙м2
а) n2 –? б) A –?
Решение:
Вращение человека со стержнем происходит вокруг вертикальной оси, момент внешних сил относительно которой равен нулю. Поэтому величина момента импульса L относительно вертикальной оси остается неизменной при повороте стержня, т. е. L1 L2 или
I1 1 I2 2 , |
(1) |
где I1 и ω1 – момент инерции и угловая скорость человека со стержнем, горизонтально расположенным;
I2 и ω2 – момент инерции и угловая скорость человека со стержнем, вертикально расположенным. Угловая скорость ω и число оборотов в единицу времени связаны соотношением:
2 n |
(2) |
Момент инерции стержня Ic относительно оси, перпендикулярной
к стержню и проходящей через |
его центр масс, равен |
I c |
|
1 |
ml 2 . |
||
|
|||||||
Поэтому: |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 I0 Ic |
I0 |
1 |
ml2 . |
|
(3) |
||
|
|
||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
При повороте стержня в вертикальное положение его момент |
|||||||
инерции становится равным нулю. Следовательно, |
|
|
|
|
|||
I 2 I0 . |
|
|
|
|
(4) |
||
Подставляя соотношения (2) – (4) в формулу (1), получим:
(I0 1 ml2 )2 n1 I0 2 n2 . Отсюда для величины n2 следует:
12
n2 |
(1 |
ml2 |
)n1 (1 |
5 2,25 |
) 1 1,19 об/с. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
12I0 |
|
|
|
12 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Работа A, совершенная человеком при повороте стержня, равна |
|||||||||||||||
изменению кинетической энергии. Поэтому: |
|
|
|
||||||||||||||
A |
I2 22 |
|
I1 12 |
|
4 2 |
{I0 n22 |
(I0 |
ml 2 |
)n12 } 2(3,14)2 {5(1,19)2 |
(5 |
5 2,25 |
) 12 } |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
12 |
|
12 |
|
|||||
22,5 Дж.
Ответ: n2 = 1,19 об/с; A = 22,5 Дж.
ЗАДАЧИ
1.44. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n1=14 мин-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до n2=25 мин-1. Масса человека m=70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
(178 кг).
1.45. Человек массой m0=60 кг находится на неподвижной платформе массой m=100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r=5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно
платформы V0=4 км/ч. Радиус платформы R=10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.
(n=0,49 об./мин).
1.46. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h=90 см. Какую линейную скорость будет иметь шар в тот момент, когда он скатится с наклонной плоскости? Момент инерции шара J=0,4 m R2.
(3,55м/c).
1.47. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль оси Х. Масса первого шара m1=0,20 кг, масса второго шара m2=0,30 кг. До столкновения проекции скоростей шаров на ось равны V1х=1м/с, V2х= – 1м/с. Найти проекции скоростей шаров V 1х и V 2х после центрального абсолютного упругого соударения.
(V 1x= –1,4 м/c ; V 2x=0,60 м/c).
1.48. Тонкий однородный стержень длиной L может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему. Стержень отклонили на 90 от положения равновесия и отпустили. Определить скорость V нижнего конца стержня в момент прохождения равновесия.
(V= 3gL ).
1.49. Тонкий однородный стержень длиной l и массой m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень устанавливают горизонтально и отпускают. Пренебрегая трением, определить угловую скорость стержня в момент прохождения им положения равновесия. Построить график зависимости углового ускорения стержня от угла между стержнем и горизонтом.
3g (= ).
L
1.50. Сплошной однородный шар скатывается по наклонной плоскости длиной 5 м. Угол наклона плоскости к горизонту =30 . Определить скорость шара в конце наклонной плоскости, время движения шара до горизонтальной поверхности и качественно найти зависимость кинетической энергии шара от времени. Потерями энергии
пренебречь. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через
центр масс, J0= 2 mR2 .
5
(V=5,9 м/с; t=1,7 c).
1.51. Сплошной цилиндр катится по горизонтальной поверхности в течение времени t=3 c и останавливается, пройдя расстояние 9 м. Определить коэффициент трения , считая его постоянным. Построить качественно зависимость кинетической энергии тела как функцию времени движения.
(=0,31).
1.52. Вал массой m=50 кг и радиусом R=5 см вращался с частотой n=10 об/с. К его цилиндрической поверхности прижали тормозную колодку с силой F=30 Н, и через 8 с после начала торможения вал остановился. Определить коэффициент трения , считая его постоянным. Построить график зависимости угловой скорости и углового ускорения вала как функцию времени на интервале торможения.
(=0,33).
1.53. Шар и сплошной диск имеют одинаковые массы и катятся без проскальзывания по горизонтальной поверхности с одинаковыми постоянными скоростями. Кинетическая энергия шара W1=70 Дж. Определить кинетическую энергию диска W2. Найти отношение проекций момента импульса тел Lz1/Lz2 на мгновенную ось вращения, если R1/R2=0,7.
(W2=75 Дж; Lz1 =0,56).
Lz2
1.54. Тело массой М подвешено на нити длиной l. В тело попадает пуля массой m и застревает в нем, нить после этого отклоняется на угол . Найти скорость пули V. Считать, что вся масса тела М сосредоточена
на расстоянии l от точки подвеса. |
|
|
|||
(V = |
M m |
|
|
). |
|
|
2gl(1 cos ) |
||||
m |
|||||
|
|
|
|||
1.55. Сколько времени будет скатываться цилиндр с наклонной |
|||||
плоскости длиной l=2 м и высотой h=0,1 м, если |
считать что |
||||