Файл: Физика Программа, методические указания и задачи для студентов заочников (с примерами решения) (А.А.Кулиш).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 287

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В области III при R2 r внутри гауссовой поверхности ( пунктирная линия ) сосредоточен весь заряд Q . Теорема Гаусса в применении к этой поверхности имеет вид:

E(r) 4 r2

Q

 

 

4 (R2

R1 )

.

 

 

 

(8)

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Из выражения (8) для напряженности в области III следует:

 

 

E

3

 

(R2

 

R1 )

.

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения (3) и соотношения (9) для потенциала в области III

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

(R2

R1 )

 

 

(R2 R1 )

 

 

 

 

3

 

E3 dr

 

dr

 

1

C3 ,

(10)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

r2

 

 

 

 

r

 

где C3 – постоянная величина.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение констант C1 , C2 , C3

можно получить из условий:

 

1) при r

 

 

3 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) при r R2

3 (R2 ) 2 (R2 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) при r R1 2 (R1 ) 1 (R1 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя в условия “1”, “2”, “3” выражения для потенциалов (4),

(7), (10), получим: C

3

0; C

2

 

 

(1 ln R

) ; C

 

 

ln

R2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

1

 

0

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в области I : E 0 ,

1

 

 

ln

R2

; в области II:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

2

 

 

(

1

 

R1

) ,

 

2

 

 

(1

R1

 

ln

r

) ; в области III: E

3

 

(R2 R1 )

,

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0 r r2

 

 

 

r

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 r2

 

3 (R2 R1 )

0 r

Ответ: а) Q 4 (R

2

R ) ; б)

E 0 ,

1

 

 

ln

R2

,

при 0 r R ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

0

 

R1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

(

1

 

R1

) ,

 

 

 

(1

R1

ln

r

) , при R r R

 

;

E

 

 

(R2 R1 )

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 r2

 

2

 

 

0 r

 

r2

 

2

 

0

 

 

r

R2

 

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

3

 

(R2

R1 )

при R2 r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Плоская широкая пластина пьезодиэлектрика толщиной 2d

вследствие неоднородной деформации поляризована так, что модуль

вектора поляризации P изменяется в направлении, перпендикулярном к

плоскости пластины по закону P P (1

x2

)

( P – модуль вектора

d 2

0

 

0

поляризации середины пластины), как показано на рисунке. Вектор поляризации всегда направлен вдоль оси ОХ. Найти, пренебрегая краевыми эффектами:

а) объемную плотность связи зарядов св

как функцию x ;

б) напряженность электрического поля внутри пластины E1 и вне

пластины E2 ;

 

в)

разность потенциалов между

боковыми поверхностями

пластин.

 

 

 

Дано:

 

Решение:

 

P P0 (1

x2

)

 

d 2

 

 

 

 

а) св (x) –? б) E1 (x) –?

E2 (x) –? в) –?

а. У рассматриваемого пьезодиэлектрика наблюдается пьезоэлектрический эффект. Пьезоэлектрический эффект заключается в том, что в определенных твердых веществах, пьезоэлектриках при деформировании возникает поляризация даже в отсутствие сторонних зарядов.

В случае пренебрежения краевыми эффектами плотность связанных зарядов, напряженность электрического поля зависят только от координаты x . Как известно, связь между вектором поляризации P и

объемной плотностью связанных зарядов св

выражается соотношением:

divP св .

 

 

 

 

(1)

В случае зависимости только от одной

координаты

x для св (x)

получается:

 

 

 

 

2P0

 

 

 

 

св

(x)

dP

 

x .

 

(2)

dx

d 2

 

 

 

 

 

 

 

б. Как видно из формулы

(2),

левая часть пластины заряжена

отрицательно, а правая – положительно. В пренебрежении краевыми эффектами можно считать, что пластина состоит из бесконечно тонких равномерно заряженных плоскостей, перпендикулярных оси Х, причем одинаково заряженные плоскости, но с зарядом разного знака,

располагаются симметрично относительно плоскости Х=0. Вне пластины такие заряженные плоскости создают напряженности, равные по модулю, но противоположно направленные. Поэтому напряженность электрического поля вне пластин равна нулю, т.е. E2 0 .

Плотность сторонних зарядов равна нулю, следовательно, по теореме Гаусса в дифференциальной форме для точек внутри пластин можно записать

diV E

св

.

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из сравнения формул (1) и (3) следует:

 

 

 

 

 

 

 

P0 (1

x2

 

 

 

P(x)

 

 

)

.

 

E1

(x)

d 2

(4)

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Отрицательное значение E1 (x) показывает, что вектор E1 направлен против оси ОХ.

в. Опираясь на связь между потенциалом (x) и напряженностью

E (x) в данном случае: E (x)

d

, для разности потенциалов

между

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

боковыми поверхностями пластин, получим:

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

d

P

x2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

(x) dx

 

0

(1

 

 

) dx

 

 

 

P0

d

 

 

 

 

 

 

d

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

d

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2P

 

 

 

 

P

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

Ответ:

 

св

(x)

 

0

x ;

E (x)

 

0

 

(1

 

)

; E

 

0 ;

 

 

P d

 

 

 

0

 

d 2

 

3 0

 

 

 

 

 

d 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

0

 

25. Пластину из стекла с диэлектрической проницаемостью 7 ,

толщиной d 2мм,

площадью S 300 см2

поместили в однородное

электрическое поле

с напряженностью

E0 1кВ/м перпендикулярно

силовым линиям.

 

 

Найти:

 

 

а) плотность связанных зарядов св на поверхности пластины, б) энергию электрического поля W в области пластин.

Дано:

Решение:

7

Как известно, поверхностная плотность связанных

d 2мм

зарядов

св определяется нормальной составляющей

S 300 см2

вектора

поляризации Pn на поверхности диэлектрика

E0 1кВ/м

 

 

 

 

 

 

а) св –?

 

 

 

 

 

простым соотношением:

 

 

б) W –?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св Pn .

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу симметрии задачи и однородности диэлектрика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направление силовых линий внешнего электрического

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поля E0 , электрического поля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

внутри диэлектрика E , направление вектора поляризации P совпадают.

Поэтому выполняются известные соотношения для модулей векторов E0 ,

E , и P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

.

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

Pn

 

( 1) 0 E .

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формул

(1)

– (3) для поверхностной плотности заряда на

поверхности пластины, из которой силовые линии выходят, получим:

 

св

 

( 1)

 

0

E

0

 

 

 

6

8,85 10 12

1 103 7,6н Kл/м2.

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объемная плотность энергии электрического поля определяется

выражением:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 E

2

 

.

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

в

объеме V

прямоугольной пластины

сосредоточена энергия W :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5 8,85 10 12

3 10 2 2 10 3 38 пДж.

W V

 

 

 

 

 

 

 

S d

 

 

1 106

 

 

2

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

св =7,6 н Кл/м; W =38 пДж.

 

ЗАДАЧИ

3.1. Шар радиусом R заряжен однородно с объёмной плотностью . Найти напряженность поля E для точек внутри и вне шара.

 

r

 

R3

( E

 

e r ; E

 

 

e r ).

 

 

 

3 0

3

 

 

r2

 

 

 

0

 

 

3.2. Бесконечно тонкая прямая нить заряжена однородно с плотностью . Найти напряженность электрического поля Е и потенциалкак функции расстояния r от нити. Потенциал на расстоянии r0 положить равным 0.

(E=(1/2 0) /r; =-( /2 0) ln(r/r0).

3.3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью =1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d=12 см от его конца находится точечный заряд Q=0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

(F=2,25 мН).

3.4. По тонкому проволочному кольцу радиусом r=60 мм, равномерно распределен заряд q=20 нКл.

а) приняв ось кольца за ось х, найти потенциал и напряженность поля E на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца);

б) исследовать случаи х=0 и х >> r.

 

 

 

 

 

 

 

q x

 

q

 

 

(E=(1/4 0)

 

 

 

e x ; =(1/4 0)

 

 

 

).

 

2 x2 )

3/ 2

 

 

 

 

 

(r

r2 x2

 

 

 

 

 

3.5.Чему равен поток вектора E через поверхность сферы, внутри объема которой находится:

а) заряд е; б) заряд -е;

в) диполь с моментом ре.

Объясните результат с помощью картины силовых линий электрического поля.

3.6.Металлический шар радиусом R помещен в однородное электрическое поле. Изобразите качественную картину силовых и эквипотенциальных линий электрического поля.

3.7.Два точечных заряда +е и - е расположены в точках с координатами (а/2,0,0), (-а/2,0,0). Построить качественно график зависимости проекции напряженности поля Ех(х) для точек, лежащих:

а) на оси х (у=0); б) у=2а.

3.8.Какая сила будет действовать на свободный диполь,

электрический

момент которого р e =0,5 10-10 Кл м, если он расположен

на расстоянии

а=0,3 м от точечного заряда q=10-5 Кл? Считать плечо

диполя значительно меньше расстояния а.

(0,33 10-3 Н).

Смотрите также файлы