Файл: Физика Программа, методические указания и задачи для студентов заочников (с примерами решения) (А.А.Кулиш).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 291

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Значение потенциала (x) в точке с координатой x на оси ОХ от кольца конечной ширины из рис.1 получается интегрированием соотношения (5):

R2

R2

r dr

 

 

 

 

(R22 x2 )

12 (R12

 

12 .

 

 

 

 

 

 

(6)

(x) d

 

 

 

x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 0

 

 

 

 

 

 

R1

R1 2 0 (r2 x2 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) В точке в центре кольца значения напряженности

 

 

 

 

E(0) и

потенциала (0)

получаются постой подстановкой x 0 в формулы (3) и

(6) соответственно: E(0) 0; (0)

(R2 R1 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для точек на оси ОХ, далеко расположенных от кольца (

 

 

x

 

R2 ) ,

 

 

выражения

для

E(x)

и

 

(x)

 

могут

быть

получены в результате

разложения

формул

(3)

и

(6) по

малым

параметрам

R2

 

 

 

 

и

 

 

R1

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(стремящимся к нулю) в ряд. В этих преобразованиях ввиду малости

 

R2

 

 

 

 

x

иR1 можно ограничиться первыми членами ряда. Окончательно имеем: x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(x)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 0 x

 

 

R1

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R

2

x2 ) 2

 

 

 

 

(R2

x2 )

 

 

2

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

R2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 (

)

 

)

 

 

 

(1 (

)

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

R1

 

2

1

 

 

 

 

R2

 

2

 

 

(R22 R12 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

1

 

 

 

(

 

 

)

 

 

1

 

 

 

 

(

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2 x

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

(R2

x2 ) 12 (R

2

x2 ) 12

x

(1 (

R2

)2 ) 12

(1 (

R1

)2 ) 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

(R2

 

R1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид формул (7) и (8) согласуется с представлением, что на больших расстояниях электростатическое поле заряженного кольца должно совпадать с полем точечного заряда такой же величины.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

Ответ: а)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

E(x)

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2 0

(R2

1

(R2

1

 

 

 

 

x2 ) 2

 

x2 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

(x)

 

 

(R2

x2 )12 (R2

x2 )12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) E(0) 0 ; (0) (R2 R1 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

 

 

 

 

 

E(x)

(R22

R12 )

при

 

 

x

 

R2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

(R22

R12 )

 

при

 

x

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Заряд шарового слоя с внутренним

радиусом R1 ,

внешним

радиусом R

2

распределен с объемной плотностью по закону

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

Найти: а) величину заряда Q шарового слоя;

 

 

 

 

 

 

 

 

б) зависимость напряженности электростатического поля E(r) и

потенциал

 

(r) от расстояния r от центра

шарового

слоя до

рассматриваемой точки пространства.

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1 R2

 

а) Из условия задачи следует, что распределение заряда в

 

 

 

пространстве обладает сферической симметрией. Поэтому

r2

 

 

и электрическое поле сферически симметрично, т.е.

 

 

напряженность электрического

поля E(r) и потенциал (r)

а) Q –?

 

б) E(r) –?

 

зависят только от расстояния до центра симметрии точки О.

 

Силовые линии направлены

по

 

радиальным

прямым,

(r) –?

 

 

 

эквипотенциальные поверхности – сферы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения величины заряда Q шарового слоя выделим шаровой слой радиусом r бесконечно малой толщины dr , как показано на рис.1.

Объем бесконечно тонкого шарового слоя

dV равен

dV 4 r2

dr .

Ввиду сферической

симметрии и

бесконечно малой

толщины

dr

плотность заряда

(r)

 

в этом

шаровом

слое можно считать

r2

 

 

 

 

 

 

 

постоянной. Поэтому заряд бесконечно тонкого шарового слоя dQ равен:

dQ (r) dV

 

 

4 r2

dr 4 dr .

(1)

r2

 

 

 

 

 

Величину полного заряда Q шарового слоя получим

интегрированием выражения (1):

 

 

 

R2

R2

 

 

 

Q dQ 4 dr 4 (R2 R1 ) .

(2)

R1

R1

 

 

 

б) Для определения напряженности электрического поля E(r)

(вектор E направлен по радиальным прямым или против, в зависимости от знака коэффициента и потенциала (r) будем опираться на теорему Гаусса и формулу, связывающую напряженность и потенциал в случае сферической симметрии:

E(r)

d (r)

.

(3)

 

 

dr

 

Используя форму шарового слоя, разобьем все пространство на три области и проведем гауссовы поверхности (пунктирные линии), как показано на рис.2.

В области I при 0 r R1 нет зарядов. Поэтому из теоремы Гаусса следует, что напряжённость электростатического поля равна: E1 0 . Из

выражения (3) для потенциала 1 в этой области получим:

 

 

1 C1 ,

(4)

где C1 – постоянная величина.

 

В области I I при R1 r R2 на гауссовой поверхности

(пунктирная

линия) во всех точках

напряженность E(r) – величина постоянная и

вектор напряжённости

E(r) направлен перпендикулярно к поверхности.

Поэтому поток напряженности E(r) через гауссову поверхность равен:

E(r) 4 r2 . Заряд внутри гауссовой поверхности g(r) может быть найден по формуле аналогично формуле (2), но с другими пределами интегрирования. Исходя, из этих соображений, по теореме Гаусса имеем:

E(r) 4 r2

 

g(r)

 

 

1

 

 

r

1

r

 

4

(r R1 ) .

(5)

 

 

dQ

4 dr

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

R

R

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из выражения (5) для напряженности в области II получим:

 

 

 

1

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения (3) и соотношения (6) для потенциала в области II

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

E2 dr

 

 

(

1

 

R1

) dr

 

lnr

 

 

R1

C2 ,

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 r r2

 

 

0

0 r

 

где C2 – постоянная величина.

Смотрите также файлы