ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 829
Скачиваний: 0
означает, что f ′(0)< 0 . Если f ′(0)= 0, то надо обратиться к третьему члену,
пропорциональному x3 . Он должен быть равным нулю, если точка x = 0 является точкой устойчивого равновесия. Это следует из того обстоятельства, что этот член имеет один и тот же знак как при положи- тельных, так и отрицательных значениях х. Поэтому сила, представляемая им, при отклонении точки в одну сторону от положения равновесия стремится ее возвратить обратно, но при отклонении в другую сторону, наоборот, стремится ее удалить от этого положения. Следовательно, если бы этот член не был равен нулю, точка x = 0 не могла бы быть точкой устой- чивого равновесия. Поэтому этот член должен быть равным нулю, т. е.
f ′′(0)= 0
Таким образом, следующим не равным нулю членом может быть
x3 f ′′′(0). При анализе малых отклонений в случае f ′(0)= 0 его необходимо
3!
использовать в качестве выражения для силы. Хотя он несколько сложнее члена xf ′(0), но все же достаточно прост в сравнении с исходной
функцией f(x). В этом случае колебания значительно усложняются, они становятся нелинейными. Основные особенности этих колебаний мы рассмотрим позднее.
Обычно в реальных физических системах отличным от нуля бывает член xf ′(0), а уравнение движения для малых отклонений х от положения равновесия имеет следующий вид:
|
d 2 x |
′ |
|
m |
|
= xf (0)= −Dx |
(2) |
dt 2 |
|||
где учтено, что f (0)< 0 и обозначено D = − f |
(0)> 0 . |
||
|
|
′ |
′ |
Такого рода уравнение получается при рассмотрении многих физических явлений. В данном примере х является расстоянием от положения равновесия. Однако в качестве х мог бы быть, например, заряд конденсатора, включенного в цепь с индуктивностью. Если физические факторы таковы, что стремятся восстановить нулевое значение заряда на конденсаторе, то уравнение для малых отклонений заряда от нуля имеет вид (2).
Уравнение вида (2) называется уравнением гармонических колебаний, а система, осуществляющая эти малые колебания, называется линейным, или гармоническим, осциллятором. Хорошо известным примером такой системы может служить тело на упругой пружине (рис. 1в ) . По закону Гука, при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, пропорциональная растяжению или сжатию, т. е. выражение для силы со стороны пружины имеет вид F = −Dx , и мы приходим к уравнению линейного осциллятора. Таким образом, тело, колеблющееся на пружине, является моделью линейного осциллятора.
Если в разложении для силы наряду с членом, пропорциональным первой степени отклонения, сохранить также и член, пропорциональный х2 или х3, приводящий к нелинейности колебаний, то получающаяся при этом
131
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
колебательная система называется ангармоническим осциллятором. Ее основные особенности будут рассмотрены ниже.
Другим примером линейного осциллятора являются физический и математический маятники при достаточно малых углах отклонения. В
качестве модели линейного осциллятора можно взять либо грузик на пружине (рис. 1в), либо маятник.
Тот факт, что большинство физических систем при малых отклонениях ведут себя как линейные осцилляторы, обусловливает чрезвычайно большую важность изучения его движения для всех областей физики.
Уравнение гармонических колебаний.
Уравнение (2) движения линейного осциллятора удобно представить в таком виде:
x + ω |
2 |
x = 0 |
(3) |
||
&& |
|
|
|
||
где ω 2 = |
D |
> 0. Производные по времени обозначаются точками. |
|||
m |
|||||
|
|
|
|
||
Гармонические функции.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что частными решениями уравнения (3) являются sin ωt и cosωt . Это уравнение является линейным. Сумма решений линейного уравнения и произведение какого-либо решения на произвольную постоянную величину также составляет решение. Поэтому общее решение уравнения (3) имеет вид:
x(t)= A1 sin ωt + A2 cosωt |
(4) |
где A1 и A2 – постоянные. |
Функция такого вида называется |
гармонической. |
|
Амплитуда, частота, фаза.
Выражение (4) целесообразно преобразовать к другому виду:
|
|
|
|
æ |
|
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
ö |
|
|
|||
A sin ωt + A cosωt = |
A2 |
+ A2 ç |
|
|
|
|
sin ωt + |
|
|
cosωt ÷ |
= |
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
1 |
2 ç |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
÷ |
|
||||
|
|
|
è |
|
A1 |
|
+ A2 |
A1 |
+ A2 |
ø |
|
|
||||||
= A(cosϕ sin ωt + sin ϕ cosωt)= Asin(ωt + ϕ) |
|
|
|
|
||||||||
Где положено |
cosϕ = |
|
A1 |
|
, sin ϕ = |
|
A2 |
|
, и введено обозначение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A2 |
+ A2 |
A2 |
+ A2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
132
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
A = A12 + A22 . Таким образом, уравнение гармонических колебаний (4) может
быть представлено в виде
x = Asin(ωt + ϕ) или x = B cos(ωt + ϕ) |
(6) |
|
График этой функции с обозначение входящих в (6) величин показан |
||
на рис. 2. |
Величина А называется амплитудой, ω – частотой гармонического |
|
колебания, |
а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса), |
(ωt + ϕ) – |
фазой колебания. Значение фазы ϕ при t = 0 называют начальной фазой
или просто фазой. Как |
видно из |
(6), значение х |
повторяется через |
||||
промежутки времени T = |
2π |
. Такая функция называется периодической, а |
|||||
|
|||||||
|
2π |
|
ω |
|
|
||
T = |
– ее периодом. |
Поэтому |
гармонические |
колебания являются |
|||
ω |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
периодическими. Однако, конечно, не всякая периодическая функция является гармонической. Гармонической она будет лишь тогда, когда ее можно представить в виде (6) с определенными частотой, фазой и амплитудой.
Представление гармонических колебаний в комплексной форме.
При изучении гармонических колебаний приходится их складывать, разлагать на составляющие, решать более сложные, чем (3), уравнения и т. д. Все это значительно упрощается, если воспользоваться теорией
комплексных чисел и представлением гармонических колебаний в комплексной форме.
В декартовой системе координат действительная часть комплексного числа откладывается по оси абсцисс, а мнимая – по оси ординат (рис. 3).
Далее используем |
формулу Эйлера: |
|
||||||
eiα =cosα +i sin α , где i2 = -1. |
|
(7) |
||||||
которая |
дает |
возможность |
выразить любое комплексное |
число |
||||
z = x + iy в экспоненциальной форме (рис. 3): |
|
|||||||
z = ρ × eiα , |
ρ = |
|
|
, tgα = |
y |
|
|
(8) |
x2 |
+ y 2 |
|
||||||
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
α – |
||
Величина |
ρ |
|
называется |
модулем комплексного числа, |
||||
аргументом.
Каждое комплексное число г может быть представлено на комплексной плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку с коор- динатами (x, y). Складываются комплексные числа по правилу параллело-
133
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
грамма. Поэтому для сокращения можно говорить о комплексных числах как о векторах, если речь идет об их сложении.
Умножение комплексных чисел лучше производить в комплексном
виде:
z = z z |
|
= ρ ρ ei(α1+α2 ) |
|||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
(9) |
|
|
|
|
|||||
z = ρ |
eiα1 , z |
2 |
= ρ |
eiα2 |
|||
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Таким образом, при перемножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.
Вместо действительной формы записи гармонических колебаний
(6) можно воспользоваться комплексной формой:
~ |
= Ae |
i(ωt +ϕ ) |
(10) |
x |
|
Величина х в (10) является комплексной и не может давать реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной х вида (6). Однако мнимая часть этой
величины может рассматриваться как действительное гармоническое колебание (6), выражаемое синусом. С другой стороны,
действительная часть |
(10), равная Acos(ωt + ϕ), также представляет |
|||
собой |
вещественное |
гармоническое |
колебание. |
Поэтому |
гармоническое колебание можно записать в форме (10) и производить необходимые расчеты и рассуждения.
В окончательном результате для перехода к физическим величинам необходимо взять действительную или мнимую часть полученного выражения. Как это делается, будет видно на многих примерах в последующем.
Рис. 4 Рис. 5
График гармонического колебания в комплексной форме (10) изображен на рис. 4. Значение различных величин, входящих в формулу (10), видно непосредственно на рисунке: A – амплитуда, ϕ –
начальная фаза, (ωt + ϕ) – фаза колебания. Комплексный вектор A вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой частотой ω = 2Tπ ,
где Т – период колебаний. Проекции вращающегося вектора A на
134
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com