Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

равен максимальному смещению его от положения равновесия. При этом движение проекции материальной точки маятника происходит по траектории, изображенной на рис. 13б.

Отклонение направления качаний маятника за одно колебание очень невелико. Весь процесс представляется как вращение плоскости качаний маятника вокруг вертикали.

Колебания маятника Фуко можно рассмотреть также в инерциальной системе координат, связанной со сферой неподвижных звезд, относительно которых плоскость колебания маятника сохраняет свое положение неизменным. В

результате вращения Земли меняется положение плоскости качаний маятника относительно ее поверхности, которое и фиксируется маятником Фуко. На полюсе это изменение легко себе представить. Для произвольной точки земной поверхности это сделать несколько труднее, но дело происходит точно так же, как и на полюсе, только угловой скоростью вращения является

ωв .

Угловая скорость вращения плоскости качаний маятника равна ωв .

Поэтому на полюсе один оборот совершается за сутки, а на широте ϕ за sin1ϕ

суток. На экваторе плоскость качаний маятника Фуко не вращается.

Законы сохранения в неинерциальных системах.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса в механике являются математическим следствием уравнений движения.

Энергия, импульс и момент импульса системы материальных точек сохраняют свое значение для замкнутых систем, т. е. в том случае, если нет внешних сил и момента внешних сил. Если имеются внешние силы, то энергия, импульс и момент импульса системы изменяются.

В неинерциальных системах отсчёта наряду с “обычными” силами действуют силы инерции. Эти силы всегда являются внешними по отношению к рассматриваемым телам. Следовательно, в этих системах не

существует замкнутых систем материальных тел и поэтому нет законов сохранения энергии, импульса и моментов импульса в обычном смысле.

Однако нет никаких препятствий включить силы инерции в число сил системы и считать после этого систему замкнутой. Силы инерции в соответст- вии с уравнением (2) должны учитываться точно так же, как обычные силы. В частности, при расчете изменения энергии необходимо учитывать работу сил инерции, принимать во внимание момент сил инерции в уравнении моментов и т. д.

Характер законов сохранения в неинерциальных системах зависит от свойств сил инерции. Во вращающейся с постоянной угловой скоростью неинерциальной системе координат силы инерции, связанные с переносным ускорением, являются центральными силами (точнее, осевыми, направленными по прямой от оси вращения). Как было уже показано ранее,

127

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

центральные силы всегда потенциальны. С другой стороны, сила инерции

Кориолиса перпендикулярна скорости частицы и поэтому не совершает работы. Следовательно, во вращающейся с постоянной скоростью неинерциальной системе отсчета справедлив закон сохранения энергии, если

только наряду с обычной потенциальной энергией принять во внимание потенциальную энергию, связанную с силами инерции. Нетрудно видеть, что

закон сохранения энергии может быть также сформулирован и в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно, равномерно и прямолинейно, если только учесть работу сил инерции.

При рассмотрении изменения импульса и момента импульса необходи- мо включить в уравнения силы инерции и их момент. Для обеспечения сохранения этих величин надо, чтобы силы инерции удовлетворяли тем же требованиям, которым должны удовлетворять с точки зрения законов со- хранения в инерциальных системах обычные силы.

Рассмотрим количественно движение тела вблизи поверхности земли в неинерциальной системе координат, связанной с ее поверхностью. Ускорение свободного падения обозначим g, сопротивлением воздуха будем пренебрегать.

В формулах (30) – (36) предполагалось, что начало отсчета радиуса- вектора r покоится в инерциальной системе координат. В качестве такой точки возьмем точку на оси вращения. Пусть начало неинерциальной системы координат на поверхности земли характеризуется радиусом-вектором ro , а

радиус-вектор тела вблизи поверхности земли относительно этого начала обозначим r ′ . Имеем:

меньше предпоследнего, поскольку, по условию, r′ << rз . Поэтому последними

двумя членами справа в (44) можно пренебречь в сравнении с первым и за- писать уравнение, в виде

необходимости можно также учесть изменение вертикали в различных точках поверхности земли и изменение g с высотой и в результате других причин.

128

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Колебания. Гармонические и собственные колебания.

шивается: как будет двигаться шарик в вертикальном направлении, если его отклонить от положения равновесия и отпустить? В этом случае сила, дей- ствующая на шарик, выражается сложной функцией его отклонения от

положения равновесия в вертикальном направлении и при решении задачи встречаются те же трудности, которые упомянуты в первом примере.

Однако в большинстве практически важных случаев нас интересует поведение системы не при всевозможных отклонениях от положения равновесия, а лишь при малых отклонениях. При этом условии вопрос значительно упрощается. Каким бы сложным ни был закон действия f(x), эту функцию можно представить в виде ряда Тейлора:

такого разложения функции в ряд рассматриваются в математике. Нам достаточно заметить, что законы действия сил f(x), встречающихся в

(1). Все последующие члены ряда пропорциональны x2 , x3 и т. д. и при достаточно малом х сколь угодно малы в сравнении с первым членом.

Поэтому при анализе достаточно малых отклонений х силу можно считать равной xf ′(0). Поскольку точка x = 0 должна быть точкой устойчивого равновесия, сила xf ′(0) должна быть направлена всегда к точке x = 0 . Это

130

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com