Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 827

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

x1

= A1

cos(ω1t + ϕ1 )

(15)

x2

= A2 cos(ω2t + ϕ2 )

 

Каждое из колебаний (15) представляем в комплексной форме (10), а сложение будем проводить по правилу сложения векторов, откладывая начало второго вектора от конца первого.

Пусть для определенности A1 > A2 . Тогда сумма векторов ~x1 и ~x2 в

некоторый момент времени может быть представлена так, как изображено на рис. 6. С течением времени эта картина будет изменяться следующим образом: вектор ~x1 вращается вокруг начала координат с угловой частотой ω1 , а вектор ~x2 – относительно положения вектора ~x1 вокруг его конца с частотой ω2 − ω1 . Если ω2 > ω1 , то его вращение вокруг конца вектора ~x1 будет происходить в том же направлении, что и вращение вектора ~x1 вокруг начала координат, как это изображено на рис. 6.

Сложение гармонических колебаний с почти равными частотами в комплексном виде

Рис. 6

Рис. 7

Биения при сложении колебаний с близкими

При ω2 < ω1 относительное вращение ~x2 изменяется на обратное. Изменение этой картины со временем состоит в следующем: поскольку

ω1 − ω2 << ω1 ≈ ω2 ≈ ω , то вся картина быстро вращается вокруг начала коор- динат, причем за один оборот взаимное расположение векторов ~x1 и ~x2 ме-

няется совершенно незначительно. Поэтому в течение большого числа перио- дов это есть гармоническое колебание с частотой со и амплитудой, равной

амплитуде

~

~

 

Однако, хотя и медленно, относительная ориентировка

x1 + x2 .

 

векторов x1

 

и x2 меняется. Поэтому амплитуда колебания медленно меняется

~

 

 

~

 

 

 

 

 

 

с частотой

 

ω2

− ω1

 

от A1 + A2 до

 

A1 − A2

 

. В итоге получаем, что суммой двух

 

 

 

 

гармонических колебаний с близкими частотами является колебание с из- меняющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с часто-

той ω1 ≈ ω2 ≈ ω ,

а его амплитуда изменяется с частотой

 

ω2 − ω1

 

от максималь-

 

 

ного значения

A1 + A2 до минимального

 

A1 − A2

 

. Вещественные составляю-

 

 

щие этого колебания имеют вид, изображенный на рис. 7. Колебания амплитуды с частотой Ω = ω2 − ω1 называются биениями, а частота Ω –

частотой биений. Биения возникают при сложении двух гармонических ко- лебаний с близкими частотами. Если амплитуды слагаемых колебаний при-

136

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

мерно равны A1 ≈ A2 , то в минимуме амплитуда суммарного колебания поч- ти равна нулю, т. е. это колебание почти полностью прекращается.

Собственные колебания.

Определение.

Собственными называются колебания системы под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий. Рассмотренные в предыдущем

параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было разобрано выше, сводятся к гармоническим.

Начальные условия.

Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины, свойства упругости пружины учитываются коэффициентом упругости D, а свойства

точки – ее массой т; ω 2 = mD

Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний надо знать положение и скорость материальной точки в некоторый момент времени.

Если уравнение колебания выражается в виде

x = Acos(ωt + ϕ),

(16)

а координата

и скорость в момент t = 0 равны соответственно xo и

vo , то на – основании (16) можно написать:

xo = Acosϕ ;

&

dx

 

 

= −Aω sin ϕ .

(17)

 

 

 

xo = vo = dt

 

t =0

 

 

 

 

Из этих двух уравнений вычисляют неизвестные амплитуды и начальная фаза:

A =

2

+

vo2

, tgϕ = −

vo

(18)

xo

 

 

ω 2

ωxo

Таким образом, зная начальные условия, можно полностью найти гармоническое колебание.

Энергия.

Представление о потенциальной энергии имеет смысл только тогда, когда силы потенциальны. В одномерных движениях между двумя точками существует только единственный путь. Следовательно, автоматически

обеспечиваются условия потенциальности силы и всякую силу можно

137

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

рассматривать как потенциальную, если она зависит только от координат. Последняя оговорка весьма существенна. Например, сила трения не является потенциальной силой также и в одномерном случае. Это обусловлено тем, что эта сила (ее направление) зависит от скорости (направления скорости). В случае линейного осциллятора удобно считать, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия (в начале координат). Тогда, учитывая, что F = −Dx , и принимая во внимание формулу, связывающую потенциальную энергию Eп и силу, сразу находим

для потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение:

 

Eп =

 

Dx2

=

mω 2 x2

,

(19)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

а закон сохранения имеет вид

 

& 2

 

 

 

mω

2

x

2

 

 

 

 

mx

 

+

 

 

= const

(20)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Конечно, этот закон можно получить непосредственно из уравнения движения (3).

Из закона сохранения энергии (20) можно сделать два важных заключения.

1. Максимальная кинетическая энергия осциллятора равна его макси- мальной потенциальной энергии. Это очевидно, поскольку максимальную

потенциальную энергию осциллятор имеет при смещении колеблющейся точки в крайнее положение, когда ее скорость (а следовательно, и кинети- ческая энергия) равна нулю. Максимальной кинетической энергией осцил- лятор обладает в момент прохода точки равновесного положения (x = 0),

когда потенциальная энергия равна нулю. Поэтому, обозначая максималь- ную скорость через V, можем написать

1

mV 2

=

1

mω 2

A2

(21)

2

2

 

 

 

 

 

2. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

Прежде всего, надо определить, что такое средняя величина. Если некоторая рассматриваемая величина f зависит от времени, т. е. является функцией времени, то среднее значение этой величины в промежутке времени между моментами t1 и t2 дается формулой

 

 

 

 

1

t

 

 

 

 

f t

=

 

 

ò2

f (t)dt

 

 

(22)

 

t2

− t1

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

представить

на графике (рис. 8), то

 

 

 

 

 

 

среднее значение

f t

соответствует высоте

 

 

 

 

 

 

прямоугольника, площадь которого равна площади

 

 

Рис. 8

 

между кривой f(t) и осью t на интервале между t1 и

t2 .

 

 

Напомним,

что площадь

под осью t считается

 

 

 

 

 

отрицательной.

138

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Поскольку закон движения для линейного осциллятора описывается формулой

x(t)= Acos(ωt + ϕ)

 

 

(23)

его скорость равна

x = -Aω sin(ωt + ϕ)

 

(24)

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выражения для кинетической и потенциальной энергий имеют

следующий вид:

 

 

mω

 

 

 

 

 

 

& 2

 

 

 

 

2

A

2

 

 

Ek

(t)=

mx

 

 

=

 

 

 

 

sin 2 (ωt + ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

(25)

Eп

(t)=

Dx2

 

=

mω 2 A2

 

cos2 (ωt + ϕ)

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее, берется период одного колебания. Вычисление средних значений Ek и Eп

сводится к нахождению средних значений от cos2 (ωt + ϕ) и sin 2 (ωt + ϕ). элементарно:

 

2

(ωt + ϕ) t

 

1

T

2

(ωt + ϕ)dt =

1

T

1 + cos 2(ωt + ϕ)

1 æ

1

sin 2(ωt

cos

 

=

 

òcos

 

 

ò

 

 

dt =

 

çt +

 

 

T

 

T

2

 

 

2ω

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

2T è

 

Оно

+ ϕ)ö T

÷

ø 0

Таким образом:

cos2 (ωt + ϕ)

=

 

1

 

(26)

2

 

t

 

 

 

Аналогично можно получить:

 

sin 2 (ωt + ϕ)

=

1

 

 

(27)

2

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы (26) и (27) являются очень важными, и их следует хорошо помнить. С учётом этих формул из (25) следует:

Eп t = Eк t

(28)

т. е. средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии. У знака среднего в (28) подставлен индекс t, чтобы подчеркнуть, что речь идет о среднем по времени.

Когда говорится о среднем значении величины, всегда должно быть ясно, об усреднении по какой переменной идет речь, потому что при усреднении по некоторой другой переменной, вообще говоря, получается совсем другой результат. Однако в большинстве случаев ясно, по какой переменной производится усреднение, и никакого индекса у знака усреднения не ставится.

Соотношение между смещением, скоростью и ускорением.

Отклонение и скорость даются формулами (23) и

(24), а ускорение

равно:

 

cos(ωt + ϕ)

(29)

x = -Aω

2

&&

 

 

139

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Изобразим их графики на одном и том же чертеже (рис. 9). По оси ординат откладываются величины различных размерностей. Поэтому выбором

масштаба амплитуды соответствующих колебаний всегда можно сделать равными, как это и изображено на рис. 9. Отклонение, скорость и ускорение представляются совершенно одинаковыми кривыми, но

Рис. 9 сдвинутыми друг относительно друга в направлении оси ωt . Непосредственно видно, что кривая скорости вмещена относительно

кривой отклонения на величину D(ωt)= π2 влево, а кривая ускорения

точно на такую же величину сдвинута относительно кривой скорости. Следовательно, в гармоническом колебании скорость опережает по

фазе на π2 смещение, а ускорение опережает по фазе на π2 скорость. Таким

образом, ускорение опережает смещение по фазе на π . Конечно, можно

сказать, например, что смещение отстаёт от скорости по фазе на π и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Если разложении

Нелинейные колебания.

 

 

членом

 

xf (0)

 

(1)

для

силы наряду с линейным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

существен

также

и следующий член,

например

f (0)

x2 ,

то вместо (2)

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

необходимо рассмотреть следующее уравнение движения:

 

 

 

 

 

 

 

d 2 x

 

¢

 

x2

 

¢¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(30)

 

 

m dt 2

 

2 f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= xf (0)+

 

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При обсуждении разложения силы в ряд (1) было отмечено, что если

система колеблется около устойчивого равновесия x = 0 , то при f (0)

 

0 обя-

зательно должно быть, чтобы и

f (0)

 

 

 

 

′

=

 

 

 

0 . В противном случае точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

=

 

 

 

 

 

 

 

x = 0

 

не

может быть

точкой устойчивого равновесия. Очевидно,

если

f (0)

 

0 ,

то

должно быть

f (0)

 

0

и, кроме того,

производная

f

 

(0) не

′

¹

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

<

 

 

 

 

 

 

 

′′

обязана быть равной нулю и может иметь любой знак. Именно этот случай и рассматривается в (30). Кроме того, предполагается, что величина f ′′(0)

очень малая и поэтому последний член справа в (30) является малым в сравнении с другими членами. Разделим уравнение (30) на т и перепишем

его следующим образом:

 

 

(31а)

x + ωo

x = εωo

x

 

 

 

 

 

&&

2

2

 

2

 

 

 

 

 

где аналогично (3) приняты обозначения

 

ωo2

= -

f ′(0)

, ε =

f ′′(0)

= -

f ′′(0)

(31б)

 

2

¢

 

 

 

 

m

 

 

2mωo

 

 

 

 

 

 

 

2 f (0)

 

Величина ε является параметром малости члена, пропорционального квадрату смещения. Как это непосредственно видно в (31а), она имеет раз- мерность, обратную длине, и поэтому может быть представлена в виде

140

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы