Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

ε = L1 , где L – большая длина. Теперь можно более ясно определить смысл малости величины ε : если смещения х достаточно малы и удовлет-

рассматривать как малый. В данном случае этот член называется возму- щением, а метод, с помощью которого находится приближенное решение уравнения, – методом, или теорией возмущений. Рассмотрим на примере уравнения (31а) сущность этой теории и основные особенности нелинейных колебаний.

При ε = 0 , т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармо- нические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет

вид

Это колебание называется невозмущенным движением. Для рассмотрения правой части (31а) в качестве возмущения необходимо, чтобы амплитуда Ao не была слишком большой. Она должна удовлетворять

малой величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении, т. е. имеет место соотношение x1 (t) << Ao . Подставляя выражение (33) для х в

уравнение (31а), получаем уравнение для x1 (t):

Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много меньше первого слагаемого в силу неравенства x1 (t) << Ao . Поэтому ими

можно пренебречь в сравнении с первым слагаемым и записать уравнение (34) в виде

Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, коэффициенты при cos 2ωo t в правой и левой

141

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

частях его должны быть равны друг другу. Из этого условия получаем:

При этом значении b1 члены, зависящие от времени, в (37)

сокращаются. Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого найдем, что

Наиболее существенной особенностью этого решения является присутствие члена с cos 2ωo t . Он показывает, что вследствие наличия в силе

нелинейного члена, пропорционального х2, в колебаниях появился член с удвоенной частотой 2ωo , называемый второй гармоникой. При отсутствии

нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой ωo . Если продолжить решение уравнения (31) и найти следующие более

малые поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие частоты nωo , кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники.

Поэтому можно сказать, что наиболее характерным следствием наличия

нелинейности в силе является возникновение высших гармоник в колебаниях.

Далее из (41) видно, что оба составляющих колебания с частотами ωo

εA2

и 2ωo происходят не около точки x = 0 , а около точки x = 2o , т. е. наличие

нелинейного члена, пропорционального x2 сдвигает точку равновесия, около которой происходят колебания. Этот результат вполне понятен, если учесть, что сила, пропорциональная x2 , направлена все время в одну и ту же сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку, около которой совершаются колебания.

Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении (1) для силы отсутствует член с х2 (т. е. когда f ′′(0)= 0 ) и необходимо учесть член, пропорциональный х3. В этом случае вместо (30) имеем следующее уравнение:

где

142

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Параметром малости является величина η . При η → 0 решение (43а) должно стремиться к гармоническому колебанию с частотой ωo . Решение этого

уравнения методом теории возмущений производится абсолютно так же, как это было сделано выше. Наряду с основной частотой ωo в первом при-

ближении появится высшая гармоника, но не с удвоенной частотой, а с утроенной. Это является следствием тригонометрической формулы

Сила, пропорциональная x3 при равных по модулю положительных и отрицательных значениях х имеет одну и ту же абсолютную величину, но противоположное направление. Это означает, что эта сила является либо силой притяжения к точке x = 0 , либо силой отталкивания от нее, действующей совершенно симметрично относительно этой точки. Поэтому никакого сдвига точки, около которой совершаются колебания, не происходит, как это было в предыдущем случае. Колебания с частотами ωo и 3ωo совершаются около точки x = 0 .

Общее условие гармоничности колебаний.

В большинстве случаев малые отклонения от положения равновесия приводят к гармоническим колебаниям. Но это не значит, что гармоническими колебаниями могут быть только малые колебания. Колебание, описываемое уравнением вида (3), является гармоническим независимо от малости х. Уравнение (3) получается из закона сохранения энергии (20) после диф-

сказать, что если полная сохраняющаяся энергия системы выражается в

виде квадратичной функции от некоторой переменной и ее производной по времени, то собственными колебаниями этой системы являются гармонические колебания.

В качестве примера рассмотрим замкнутый контур с емкостью и индук- тивностью. Если заряд на емкости обозначить Q, то ток в цепи будет Q.

Энергия электрического и магнитного полей пропорциональна квадратам их напряженности, а последние пропорциональны зарядам Q и токам Q. Сле- довательно, полная энергия системы равна

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com