Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 824

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть потенциальная энергия равна Eп (x)= α 2x n . Границы области дви-

жения даются уравнением E =

αxon

 

, и для периода колебаний вместо (49)

2

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−

n

1

 

 

dξ

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

(50)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T = 2

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

= 4

 

 

 

xo 2 ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xon −

 

x

n

 

1 − ξ

n

 

 

 

 

a − xo

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Поскольку E =

αxon

 

 

, отсюда следует, что:

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T ~ E

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(51)

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. в заданном поле период колебаний, вообще говоря, различен для частиц различных энергий. Он не зависит от энергии лишь для n = 2 , т. е. для квадратичной зависимости потенциальной энергии от расстояния, когда колебания являются гармоническими. Колебания, период которых не зависит от энергии, называются изохронными. Как показано, изохронные колебания возникают, в частности, при квадратичной зависимости потенциальной энергии от расстояния. Изохронные колебания возможны и при других формах кривых потенциальной энергии. Они могут быть построены по кривой с квадратичной зависимостью путем ее деформации вдоль оси X таким образом, чтобы расстояние между точками кривой, соответствующими каждой из энергий, не изменялись. Единственным ограничением на эту деформацию является требование сохранения однозначности Eп (x), т. е.

прямая линия, перпендикулярная оси X, должна пересекать кривую Eп (x) только в одной точке.

Затухающие и вынужденные колебания.

Затухающие колебания.

Трение.

Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсут- ствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а следовательно, и амплитуда колебаний не изменяется. Собственные колебания являются неза- тухающими.

При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний линейного осциллятора уменьшается, а, следовательно, уменьшается и амп- литуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухаю- щими. Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться. Сила трения действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллято- ра ее действие эквивалентно уменьшению возвращающейся силы, т. е. упру-

145

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

гости пружины (уменьшение величины D). Поскольку ω 2 = mD , это означает,

что частота колебаний должна уменьшаться, а период – увеличиваться.

При увеличении трения период колебания может увеличиться до сколь угодно большого значения. При достаточно большом трении вообще ника- кого колебания происходить не будет, потому что вся энергия осциллятора расходуется на преодоление сил трения на очень коротком пути, составляющем лишь часть колебания.

Уравнение движения.

Рассмотрим силу жидкого трения. В правую часть уравнения движения надо добавить силу жидкого трения, и оно приобретает следующий вид:

mx

= −Dx − βx ,

(1)

&&

&

 

где β – коэффициент трения. Это уравнение удобно переписать таким образом:

x + 2γx + ωo x = 0 ,

(2)

&&

&

2

 

где γ = 2βm , ωo2 = mD .

Частота и декремент затухания. Решение уравнения (2) удобно искать в виде

 

x = Aoe

iαt

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что

 

 

d

(eiαt )= iαeiαt ,

d 2

(eiαt )= -α 2eiαt ,

(4)

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

и подставляя (3) и (2), находим

 

 

Ao eiαt (- α 2

+ 2iγα + ωo2 )= 0

(5)

Сомножитель eiαt не равен нулю. Следовательно,

равным нулю

должен быть другой сомножитель:

(6)

- α 2

+ 2iγα + ωo2 = 0

Это квадратичное уравнение относительно α . Его решения

выражаются известной формулой:

 

α = iγ ±

ωo2 - γ 2

= iγ ± W

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W =

 

ωo2 - γ 2

 

 

Подставляя эти значения для α в (3), находим искомое решение:

 

x = Aoe

−γt

×e

iΩt

(8а)

~

 

 

 

 

 

(8б)

 

x¢ = Aoe

−γt

× e

−iΩt

~

 

 

 

 

 

 

 

 

Наличие двух решений отражает тот факт, что уравнение (2) является уравнением второго порядка и, следовательно, должно иметь два независимых решения, которые получаются при различных знаках Ω .

146

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При не очень больших коэффициентах трения

γ =

β

< ωo2

(9)

2m

 

 

 

В этом случае ωo2 − γ 2 и, следовательно, Ω является вещественной вели-

чиной. Поэтому eiΩt – гармоническая функция. Вещественная часть колебания, описываемого равенством (8а), представляется формулой

x= A e−γt

cos Ωt

(10)

o

 

 

Это есть колебание, амплитуда которого уменьшается, а частота Ω постоянна. График этого колебания изображен на рис. 1.

Это колебание не является периодическим и тем более оно не является гармоническим. Период гармонических (периодических) колебаний определя- ется как время, через которое колебание повторяется. В случае (10) колебания не повторяются, поэтому понятие периода теряет смысл. Тем не менее, удобно

Рис. 1 говорить о периоде этих колебаний, понимая под периодом промежутки времени, через которые смеще- ние обращается в нуль. В этом же смысле можно использовать представ-

ление о частоте колебаний Ω = 2Tπ . За амплитуду колебаний принимается

величина A = Aoe−γt , даваемая формулой (10), которая равна примерно

модулю максимальных отклонений при последовательных колебаниях.

Из формулы (10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в e = 2,7 раза в течение времени

τ =

1

(11)

γ

 

 

Промежуток времени τ называется временем затухания колебаний, а γ – декрементом затухания.

Логарифмический декремент затухания.

Сам по себе декремент затухания γ не очень много говорит об ин-

тенсивности затухания колебаний. Например, в течение времени t амплиту- да уменьшается в eγ t раз. Но в зависимости от периода колебаний за это время происходит различное число колебаний. Если колебаний произошло много, то за каждое колебание имело место небольшое изменение амплиту- ды. Если же колебаний произошло немного, то за каждое колебание амп- литуда изменялась значительно. Ясно, что в первом случае в определенном смысле колебания затухают медленнее, чем во втором.

Поэтому величину затухания необходимо отнести к естественному масштабу времени колебания, т. е. к периоду колебаний. Интенсивность

затухания характеризуется затуханием их амплитуды за один период

147

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

колебания и поэтому вместо декремента затухания γ удобно пользоваться

так называемым логарифмическим декрементом затухания.

Найдем амплитуды колебаний в два последовательных промежутка времени, разделенных периодом колебания Т:

 

A = A e-γ ×t1

,

A

=

A

e - γ ×(t1 + T )

(12)

1

o

 

1

o

 

 

Отсюда следует

 

 

 

A1

= eγT

 

 

 

 

 

(13)

 

A

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому изменение амплитуды колебаний за период характеризуется величиной θ = γT , называемой логарифмическим декрементом затухания. Из (13) находим

θ = ln

A1

(14)

A

 

 

 

2

 

Логарифмическому декременту затухания можно дать и другую интер- претацию. Рассмотрим уменьшение амплитуды колебаний в течение N перио- дов, т. е. за время NT. Вместо формул (12) можно написать

 

A1 = Ao e-γt1 , AN +1 = Ao e-γ (t1 +NT )

(15)

Поэтому отношение амплитуд, разделенных интервалом времени в N

периодов, равно:

 

 

AN +1

= e-γNT = e-Nθ

(16)

 

A

1

 

 

Nθ = 1 амплитуда уменьшается в e раз. Поэтому можно сказать,

При

 

что логарифмическим декрементом затухания

 

θ =

1

 

(17)

N

 

 

 

называется величина, обратная числу периодов, в течение которых амплитуда затухает в e раз.

Такая интерпретация дает очень наглядное представление об интенсивность затухания:

амплитуда затухает в e раз в течение числа колебаний, равного обратной величине логарифмического декремента затуханий. Если, например, θ = 0.01, то колебания затухают лишь примерно после 100 колебаний. В течение 10 колебаний амплитуда изменяется очень мало,

примерно на 101

своего первоначального значения. Благодаря этому

при рассмотрении процессов, происходящих лишь в течение небольшого числа периодов, в первом приближении можно считать колебания незатухающими.

По-другому обстоит дело при большем логарифмическом декременте затухания. Если θ = 0.1, то уже после 10 колебаний они полностью затухнут. За несколько колебаний затухание уже значительно. Поэтому при рассмотрении процессов, происходящих даже в течение нескольких периодов, нельзя в качестве приближения считать колебания незатухающими.

148

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2

Случай большого трения (γ >> ωo ).

При увеличении трения период колебания увеличивается. При большом трении движение вообще перестает быть колебательным. Это

наступает при условии

 

γ = ωo ,

 

β

 

= ω0 Þ β = 2

 

 

 

 

(18)

 

 

 

Dm

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

дальнейшем

 

увеличении

трения γ > ωo . Полагая

 

 

= ±iδ ,

где δ =

 

 

является вещественной величиной, можно

 

ωo2 - γ 2

γ 2

- ωo2

формулу (3) представить в виде

 

 

 

x= A e-

æ

 

ö

 

 

 

 

 

(19)

 

èϕ ±δ øt

 

 

 

 

 

 

o

 

ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем

 

очевидно, что

γ ± δ = γ ±

 

 

. Эта

 

 

γ 2

- ωo2

простая экспоненциальная функция никакого колебания не содержит. Ее график приведен на рис. 2.

Все эти явления очень хорошо демонстрируются на колебаниях маятника, помещенного в жидкости с различной вязкостью. Если вязкость очень велика (например, в глицерине), то маятник из отклоненного положения медленно опускается к среднему поло-

жению. Это движение ни в каком смысле не напоминает колебание.

Расчет затухания исходя из потерь энергии на трение.

Как уже было отмечено, энергия колебаний осциллятора расходуется на преодоление сил трения и вследствие этого уменьшается. Поэтому закон уменьшения амплитуды можно найти, исходя непосредственно из работы сил трения. Работа сил трения за один период колебаний равна

&

&2

T

2

 

2

 

βV 2

 

(20)

dt = -β òV

 

sin

 

ωt × dt = -

 

T

DEк = -β òxdx = -β òx

 

 

2

 

 

o

 

 

 

 

 

 

где учтено, что рассматривается случай малого затухания, так что в

течение одного периода можно пренебречь в первом приближении изменением амплитуды V колебаний скорости. С другой стороны, потеря

энергии на совершение работы против сил трения за один период есть разность кинетических энергий частицы через один период, равная

DEк =

m

(V12

-V22 )=

m

(V1

-V2 )(V1

+ V2 )»

m

2VDV = mVDV

(21)

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

где принята во внимание малость уменьшения амплитуды за один период колебаний. Приравнивая правые части соотношений (21) и (20),

получаем

-

βV 2

T = mVDV или

V

= -

β

V

(22)

2

T

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

149

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы