Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл (4,32Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 825

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Период T при слабом затухании является малым промежутком времени в сравнении с тем, когда затухание заметно. В течение времени Т изменение амплитуды скорости колебаний V мало. Поэтому в (22)

можно считать,					что	V	≈	dV	, и тогда получаем уравнение для изменения
можно считать,					что	T	≈	T	, и тогда получаем уравнение для изменения
						T		T
амплитуды скорости колебаний со временем:
	dV	= −γV							(23)
	dt	= −γV							(23)
	dt		β
где			β	= γ	– декремент затухания. Хорошо известно, что решение урав-
где				= γ	– декремент затухания. Хорошо известно, что решение урав-
			2m
нения (23) имеет вид									(24)
V = Vo e-γ ×t									(24)

Это затухание амплитуды скорости полностью соответствует затуханию амплитуды смещения, которое дается формулой (10), выведенной при строгом решении уравнений движения. Поэтому проведенный расчет показы- вает, что энергия осциллятора действительно расходуется на преодоление сил трения.

Затухание при сухом трении.

Затухание амплитуды колебаний по экспоненциальному закону про- исходит при силе трения, пропорциональной скорости. При других силах трения наблюдаются другие законы, уменьшения амплитуды колебаний.

Если движение происходит при сухом, трении, то уравнение движения

имеет вид

		&
&&	+		x	Fo + Dx = 0 ,	(25)
&&			&
mx			&
			x

где

– постоянная величина, направленная против скорости. Вели-

чина

определяет знак силы. Заменой переменных

(25)

ξ = x +

= signx

приводится к виду

(26)

mξ + Dξ = 0

характерному для гармонических колебаний. Таким образом, между моментами времени, при которых скорость обращается в нуль, колебание

является гармоническим с частотой ω = mD , но происходит оно относи-

тельно точки равновесия, смещенной в сторону отклонения на x =	Fo	. В

	D

результате за один период точка максимального отклонения приближается к первоначальной точке на величину 4 FDo , т. е. амплитуда уменьшается на

150

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

A = −4	Fo	. ЭТО означает, что амплитуда колебаний уменьшается
	D

пропорционально времени, а не по экспоненциальному закону.

Затухание при произвольных силах трения.

Для того чтобы найти закон уменьшения амплитуды колебаний, необходимо решить уравнения движения, что не всегда достаточно просто. Однако, пользуясь энергетическими соображениями, можно прямым

вычислением потерь энергии на трение и их сравнением с полной энергией сделать заключение о характере и скорости затухания колебаний, аналогично тому, как это было сделано при выводе (24).

Применим этот “энергетический” метод для анализа затухания при сухом трении. Для расчета удобнее пользоваться не амплитудой скорости, как при выводе (24), а амплитудой отклонения А. За один период колебаний сила Fo направлена против скорости, а пройденный при этом путь равен 4А.

Следовательно, потерянная на		преодоление сил трения энергия			равна
E = −4AFo .	С другой стороны,	энергия колебаний равна E =	DA2	и,	следо-

		2
вательно,	E = DA A . Приравнивая последние два выражения E , находим

A = − 4DFo , что согласуется с результатом точного решения уравнения (25).

Оценим этим методом характер затухания для других зависимостей силы трения от скорости. Если сила трения не зависит от скорости, то, как это только что было показано, потеря энергии за период пропорциональна амплитуде, т. е. E ~ A. Если Fтр ~ v , то, как это следует из (20), E ~ A2 . Аналогично вычисляя работу сил трения за период, убеждаемся, что если

Fтр ~ vn (n >1),

то

E ~ An+1 . Отсюда следует

~ An−1

и, следовательно,

~ An

(27)

Это означает, что закон изменения амплитуды со временем имеет

следующий вид:

A ~ (t + b)

(28)

1−n

где

– постоянная. Например, в воздухе при

не очень

малых

скоростях

сила

трения пропорциональна квадрату

скорости

Fтр ~ v2 .

Амплитуда колебаний точки при этом должна уменьшаться по закону

t + b

Другими словами, если в момент t = 0 амплитуда колебаний равна

Ao , то

закон изменения амплитуды имеет вид

151

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

bAo	(29)
A(t) = t + b

Если за один период колебаний амплитуда уменьшилась в γ1 раз, т. е.

A(t)= γAo , то для постоянной b в (29) получаем уравнение

γAo = bAo t + b

	из которого следует, что b =	γT
	из которого следует, что b =	1 − γ
		1 − γ

(30)

. По закону (29) амплитуда изменяется

до тех пор, пока в результате уменьшения скорости сила трения не станет линейно зависеть от скорости. После этого уменьшение амплитуды становится экспоненциальным.

Вынужденные колебания.

Внешняя сила.

Наряду с трением на линейный осциллятор может действовать какая-либо другая внешняя сила. Характер движения линейного осцил-

лятора при этом изменится в зависимости от особенностей действующей силы.

Наиболее важным является случай гармонической внешней силы. В дальнейшем будет показано, что более сложные случаи изменения внешней силы со временем сводятся к этому простейшему. Поэтому будем считать, что внешняя сила действует на линейный осциллятор по следующему закону:

F = Fo cosωt		(31)
где Fo	– амплитуда силы, ω – ее частота.
Уравнение движения.
Вместо (2) движение описывается следующим уравнением:		(32)
mx = −Dx − βx + Fo cosωt
&&	&

Разделив обе части на m, получим уравнение в виде, аналогичном (2):

x + 2γx + ωo x =			m cosωt	(33)
&&	&	2	Fo

где величины γ и ωo имеют те же значения, что и в				(2).

Переходный режим.

Если считать, что внешняя периодическая сила начала действовать на линейный осциллятор в некоторый момент времени, то его движение в

течение определенного промежутка времени зависит от движения в момент начала действия силы. Однако с течением времени влияние начальных

условий ослабевает и движение осциллятора переходит в режим установившихся гармонических колебаний. Каковы бы ни были условия в

152

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка

времени осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом.

При рассмотрении переходного режима самым важным является вопрос о его продолжительности. Оно определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия внешней силы. Это

время нам известно – оно равно τ = γ1 . Это есть тот промежуток времени,

после которого можно забыть о первоначально существовавших колебаниях и рассматривать только установившиеся под действием внешней силы колебания. С другой стороны, если начальных колебаний не было, то

вынужденные колебания не мгновенно достигнут своего стационарного режима. Можно показать, что время установления стационарного режима

вынужденных колебаний после начала действия силы также равно τ = γ1 .

Установившиеся вынужденные колебания.

В этом случае надо считать, что сила F = Fo cosωt начала действовать

очень давно, т. е. в бесконечно далекий прошедший момент времени. Таким образом, принимаем, что уравнение (33) справедливо для всех моментов времени. Для его решения опять удобно воспользоваться комплексной фор- мой гармонических колебаний, записав в этой форме выражения для силы в правой части (33). Уравнение (33) принимает следующий вид:

x + 2γx + ωo x =		m	e	iωt	(34)
&& &	2	Fo		iωt
&& &
а его решение дается действительной частью решения уравнения (34).
Это решение ищем в виде							(35)
x = Aeiαt							(35)
Здесь А не является, вообще говоря, действительной величиной.
Подставив это выражение в (34), получим
Aeiαt (−α 2 + 2iγα + ωo2 )=					Fo	eiωt	(36)
Aeiαt (−α 2 + 2iγα + ωo2 )=						eiωt	(36)
					m

Это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, т. е. время t должно исключаться из него. Из этого условия следует, что α = ω . Найдя из (36) величину А и умножив ее числитель и знаменатель на ωo2 − ω 2 − 2iγω , можем записать