Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

соответствует никакая волна, распространяющаяся в обратном направлении, и следовательно, вторая составляющая с амплитудой X1 (x)− X 2 (x) есть просто

пренебречь. Эта бегущая волна несет с собой энергию, возникающую у начала стержня за счет работы внешней силы; распространяясь по стержню, эта энергия расходуется на потери, происходящие при колебаниях во всех участках стержня (поэтому бегущая волна по мере распространения затухает).

Что касается стоячей волны с амплитудами 2X 2 (x) в пучностях, то эти

потерями энергии при отражении от конца стержня мы пренебрегаем). Если потери энергии в стержне или длина стержня столь значительны, что отраженная волна затухает, не достигнув начала стержня, т. е. X 2 (x)

обращается в нуль при x > 0 , то у начала стержня стоячая волна вовсе будет отсутствовать и возникнет только ближе к концу стержня. Это и есть уже упоминавшийся случай, когда явления, происходящие у конца стержня (отражение волны), никак не сказываются на явлениях, происходящих в начале стержня, и начальный участок стержня можно рассматривать как участок бесконечно длинного стержня, по которому распространяется только бегущая волна.

Присутствие в стержне помимо стоячей также и бегущей волны (существование которой, как мы убедились, обусловлено потерями энергии

встержне) приводит к тому, что в тех местах, где образовались узлы стоячей волны (либо смещений и скоростей, либо деформаций), амплитуды

соответственно смещений и скоростей или деформаций оказываются отличными от нуля, так как на стоячую волну налагается бегущая волна, амплитуды смещений, скоростей и деформаций которой нигде не обращаются

внуль. При этом чем больше потери энергии в стержне, тем меньше амплитуда X 2 (x) и тем больше амплитуда бегущей волны X1 (x)− X 2 (x) во всех точках

стержня, и в частности во всех узлах стоячей волны, в том числе в начале стержня (где хотя и образуется узел смещений и скоростей стоячей волны, но где результирующие амплитуды смещений и скоростей не равны нулю, а имеют тем большие значения, чем больше потери энергии в системе). Этот вывод подтверждает справедливость тех представлений, из которых мы

исходили выше при обсуждении вопроса о величине амплитуды стоячих волн в пучности для случая стержня, один конец которого совершает заданное движение.

Вернемся теперь к вопросу о тех соотношениях между нормальными частотами стержня и частотами внешней силы, при которых амплитуды стоячей волны в стержне достигают наибольшей величины.

195

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При сопоставлении этих частот необходимо иметь в виду, что граничное

условие для неподвижно закрепленного конца стержня представляет собой частный случай граничного условия для конца стержня, совершающего заданное гармоническое движение. Это видно уже из того, что от второго граничного условия можно перейти к первому, положив амплитуду гармонического движения равной нулю. Вместе с тем, как мы видели, и при

том и при другом граничном условии на конце стержня образуется узел смещений и скоростей и пучность деформаций. Значит, стержень, у которого один конец закреплен неподвижно, а другой совершает заданное движение, является аналогом стержня с двумя закрепленными неподвижно концами, а стержень" у которого один конец свободен, а другой совершает заданное движение, – аналогом стержня с одним свободным и одним неподвижно закрепленным концом. По соображениям такого же характера, как приведенные выше, конец стержня, на который действует заданная сила, нужно считать аналогом свободного конца.

Учтя все сказанное, мы можем констатировать, что частоты нормальных колебаний стержня и частоты действующей на стержень внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в пучностях достигают максимума, при аналогичных краевых условиях совпадают: при одинаковых краевых

условиях на обоих концах стержня на длине стержня должно укладываться целое число полуволн, а при разных краевых условиях на обоих концах стержня – нечетное число четвертей волн.

Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием

гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса: внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень

близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установ- ления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в этой системе.

Этот вывод позволяет обосновать то положение, которым мы

пользовались без доказательства при рассмотрении нормальных колебаний в сплошной системе. Ранее мы полагали, что распределение амплитуд нормальных колебаний должно быть либо синусоидальным, либо косинусоидальным; теперь мы можем это положение считать обоснованным, поскольку мы убедились, что распределение амплитуд стоячих волн

196

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

действительно является синусоидальным или косинусоидальным, а значит, таким же оно должно быть для нормальных колебаний.

Как мы убедились, под действием внешней силы в случае резонанса в системе возбуждаются стоячие волны, по характеру распределения амплитуд близкие к тому из нормальных колебаний системы, частота которого совпадает с частотой внешнего воздействия. В других случаях возбуждения

интенсивных колебаний в сплошной системе дело обстоит аналогичным образом. Так, в случае параметрического возбуждения колебаний интенсивные колебания возникают, когда частота колебаний ножки камертона вдвое больше одного из нормальных колебаний струны, и рас- пределение амплитуд колебаний будет такое же, как для соответствующего нормального колебания струны: на струне укладывается «половина синусоиды», «целая синусоида», «полторы синусоиды» и т. д.

Так же обстоит дело и в случае возбуждения автоколебаний в сплошной системе. Рассуждая упрощенно, можно считать, что механизм, обусловливающий возникновение автоколебаний в системе, компенсируя потери энергии в системе, поддерживает нормальные колебания этой системы. Например, в смычковых музыкальных инструментах (скрипка и др.) характеристика силы трения между смычком и струной такова, что часть работы, совершаемой этой силой, идет на пополнение потерь энергии, происходящих при колебаниях струны. При автоколебаниях в большинстве случаев возбуждается колебание, частота которого близка к основному тону системы; однако в некоторых специальных случаях возможно возникновение автоколебаний, близких к одному из обертонов системы.

Если затухание собственных колебаний в системе мало, то механизм, поддерживающий автоколебания, подводит к системе за период энергию, составляющую лишь малую долю всей энергии, которой обладает колеблющаяся система. Поэтому он очень мало изменяет характер поддерживаемых колебаний; автоколебания как по частоте, так и по

распределению амплитуд оказываются близкими к нормальным колебаниям системы. Например, при игре на скрипке обычно основной тон колебаний таков, что для него вдоль свободной части струны – от пальца, прижимающего ее к грифу, до подставки – укладывается половина длины волны. Частота колебаний скрипичной струны, возбуждаемой смычком, совпадает с частотой собственных колебаний, которые получаются, если эту струну оттянуть, а затем отпустить.

Во всех рассмотренных случаях энергия, необходимая для возбуждения и поддержания колебаний в сплошной системе, подводится к одному определенному участку системы; потери же энергии происходят во всей системе. Поэтому наряду со стоячими волнами в системе принципиально должны существовать и бегущие волны (хотя при малых потерях амплитуда этих последних мала по сравнению с амплитудой стоячих волн).

197

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Волны в сплошной среде.

Мы рассмотрели выше картину распространения бегущих волн в стержне и струне. В системах такого типа распространение волн могло происходить только по одному определенному направлению. Вообще же в упругой сплошной среде, например в упругом теле больших размеров, в воде или в воздухе, волны могут распространяться по всем направлениям. При этом картина распространения волн принципиально остается прежней, однако возникает ряд новых вопросов, на которых мы сейчас и остановимся.

Прежде всего, при распространении во всех направлениях волна, вообще говоря, захватывает все большие и большие области пространства. Поэтому энергия, которую несет с собой волна, занимает все большие и большие объемы, и при распространении волны плотность энергии убывает; а это связано с соответствующим уменьшением амплитуды распространяющейся волны. Таким образом, даже в отсутствие потерь в среде происходит уменьшение амплитуды волны при распространении. Только в специальном случае

распространения так называемой плоской волны в среде амплитуда волны остается постоянной.

Такую плоскую волну в среде мы получим, если поместим в упругую среду большую пластину, колеблющуюся в направлении нормали к пластине. Все точки среды, прилегающие к пластине, совершают колебания с одинаковыми амплитудой и фазой. Эти колебания будут распространяться в виде волн в направлении, нормальном к пластине. Все точки среды, лежащие на любой плоскости, параллельной пластине, совершают колебания в одной и той же фазе. Эти плоскости, параллельные пластине, представляют собой поверхности равной фазы, или волновые поверхности. Энергия волны, заключенная между двумя поверхностями равной фазы, распространяется вместе с волной, занимая все время один и тот же объем. Поэтому плотность энергии в плоской волне остается неизменной, а следовательно, остается неизменной и амплитуда волны. Уравнение плоской волны имеет

вид

где x – расстояние точки от пластины (источника волн), а v – скорость распространения волн. Плоскую волну, строго говоря, нельзя осуществить в неограниченной сплошной среде. Только на ограниченных расстояниях от источника можно получить в сплошной среде картину, близкую к распространению плоской волны, т. е. волны, амплитуда которой не изменяется с расстоянием.

Для того чтобы выяснить, как изменяется амплитуда волны при распространении, можно воспользоваться связью между амплитудой волны и плотностью энергии. Эта связь легко может быть установлена. Так как

плотность энергии упругой деформации пропорциональна квадрату деформации, а плотность кинетической энергии пропорциональна квадрату

198

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

скорости, то плотность энергии, которую несет с собой волна, пропорциональна квадрату амплитуды волны (амплитуды смещений и амплитуды скоростей волны пропорциональны друг другу). Поэтому, зная, как изменяется плотность энергии волны, мы сразу сможем сказать, как изменяется ее амплитуда.

Рассмотрим волну, распространяющуюся из одной точки по всем направлениям в однородном пространстве, т. е. с одинаковой скоростью. Фаза волны в точке, находящейся на некотором расстоянии от источника, будет связана с фазой волны у источника так же, как и в случае волны, распространяющейся по одному направлению. Если у источника волны

колебания среды происходят по закону

ξ = X o sin ω × t ,

то в точке, находящейся на расстоянии r от источника, колебания будут

происходить по закону

Во всех точках, находящихся на одинаковых расстояниях от источника, фаза волны в каждый момент будет одна и та же. Всякая шаровая поверхность, центр которой совпадает с источником волны является волновой поверхностью. Плоский участок волновой поверхности называется фронтом волны.

Выберем какие-либо две близкие поверхности равной фазы, отстоящие на определенном расстоянии друг от друга, и будем следить за энергией волны, заключенной между этими поверхностями. Эта энергия будет двигаться вместе с волной и, следовательно, будет все время занимать объем шарового слоя неизменной толщины, заключенного между поверхностями равной фазы. Этот объем при распространении волны растет как r 2 , и значит, плотность энергии

волны убывает как r12 . А так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды волны, то амплитуда волны будет убывать как 1r . Следовательно, если амплитуда волны на расстоянии от источника, равном единице, есть X1 ,

Это – уравнение шаровой волны. Шаровую волну возбуждал бы, например, однородный пульсирующий шар, помещенный в упругой среде.

Всем прилегающим частицам среды пульсирующий шар будет сообщать одинаковое колебательное движение в радиальных направлениях, которое и будет распространяться в среде в виде шаровой волны.

На практике редко приходится иметь дело с такими источниками волн, как пульсирующий шар. Однако и тела более сложной формы, колеблющиеся

199

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com