Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

более сложным образом, создают в окружающей среде волны, которые на

достаточно большом расстоянии от источника в некоторой ограниченной области пространства можно считать подобными шаровым в смысле закона убывания амплитуды с расстоянием от источника, т. е. колеблющееся тело можно рассматривать как точечный источник.

Если волны от точечного источника распространяются во все стороны только в тонком слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, то в этом слое поверхностями равной фазы будут служить цилиндры малой высоты, центры которых совпадают с источником. Вдали от источника можно считать, что энергия волны, заключенная между двумя поверхностями равной фазы (двумя коаксиальными цилиндрами), будет двигаться вместе с этими поверхностями. Объем, заключенный между ними,

будет расти как г; следовательно, плотность энергии будет убывать как 1r , а

где X1 – амплитуда волны на расстоянии от источника, равном единице.

Такая волна носит название круговой волны.

Если очень большое число источников волн, расположенных на одной прямой близко один от другого, создает волны одинаковой амплитуды и фазы, то во всех плоскостях, перпендикулярных к этой прямой, будут распространяться круговые волны также одинаковой амплитуды и фазы.

Поверхностями равной фазы будут служить бесконечные коаксиальные цилиндры, на осях которых лежат источники волны. Такая волна называется цилиндрической. Уравнение цилиндрической волны имеет такой же вид, как и уравнение круговой волны (13), и справедливо для любой плоскости, перпендикулярной к прямой, на которой лежат источники волн.

Волны на поверхности жидкости.

Все сказанное относительно различных типов волн относится в одинаковой мере как к продольным, так и к поперечным волнам в сплошной среде. Нужно лишь иметь в виду, что поперечные волны могут возникать только в упругих твердых телах. В жидкостях и

газах могут возникать только продольные упругие волны. Но на поверхности жидкости или границе двух жидкостей могут возникать волны, по своему характеру близкие к поперечным волнам в упругих телах.

Возникновение волн на поверхности жидкости обусловлено не упругими силами в жидкости, а силой тяжести. Если в какой-либо точке поверхность жидкости будет нарушена (например, в воду упадет капля), то

200

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

по поверхности жидкости будут распространяться круговые импульсы. При

этом отдельные частицы жидкости движутся не только в вертикальном направлении (они описывают примерно круговые траектории), и распространяющийся импульс не является, строго говоря, поперечным. Но

если отвлечься от движения отдельных частиц жидкости и рассматривать только движение поверхности жидкости, то мы получим картину распространения поперечного импульса. При распространении этого импульса сила тяжести играет такую же роль, какую играют упругие силы,

возникающие при распространении поперечного импульса в упругом твердом теле.

Если импульсы в какой-либо точке повторяются периодически, то на поверхности жидкости распространяются круговые волны. Все точки, находящиеся на одной и той же окружности, колеблются в одинаковой фазе. Расстояние между двумя окружностями, в которых фаза колебаний отличается на 2π (например, между двумя горбами), представляет собой длину волны. Как

ипрежде, λ = vT , где v – скорость распространения волны, а T – период, с которым повторяются импульсы.

Эту картину возникновения круговых волн можно продемонстрировать в ванне, наполненной водой (для демонстрации дно ванны обычно делают из стекла и проецируют картину на экран). Если к вибратору, приводимому в движение электромагнитом (питаемым переменным током), прикрепить шарик

ирасположить его у поверхности жидкости, то от шарика по поверхности жидкости будут распространяться круговые волны (рис. 7). Амплитуда этих волн будет постепенно убывать с расстоянием (как это и должно быть для круговой волны).

На поверхности жидкости можно получить и плоские волны, если в качестве источника волн вместо шарика взять колеблющуюся палочку. В этомслучае точки, находящиеся на одной и той же прямой, параллельной источнику, колеблются в одной и той же фазе; горбы воли располагаются

параллельно палочке Амплитуда колебаний почти не убывает с расстоянием, как это и должно быть для плоской волны. (Небольшое уменьшение амплитуды обусловлено затуханием волн.)

Скорость распространения волн по поверхности жидкости, как и в случае упругих волн, зависит от величины сил, возникающих при отклонении от положения равновесия. Но сила тяжести, которая в рассматриваемом случае играет роль восстанавливающей силы, зависит от смещений частиц не так, как упругие силы, возникающие в случае упругих волн. Поэтому оказывается, что

скорость распространения волн по поверхности жидкости зависит от длины волны (от частоты колебаний источника волн), т. е. наблюдается дисперсия волн. Скорость распространения увеличивается с увеличением длины волны.

Однако это справедливо только в случае, когда слой жидкости, на поверхности которого возникают волны, достаточно глубок – не менее нескольких длин волн. Для тонких слоев жидкости скорость распространения волн зависит уже только от глубины слоя (она уменьшается с уменьшением

201

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

глубины слоя) и не зависит от длины волны, т. е. дисперсия отсутствует.

Поэтому наблюдать дисперсию волн на поверхности можно только в достаточно глубоких сосудах. Явление дисперсии можно наблюдать при возникновении короткого цуга волн на поверхности жидкости (например, при падении камня в воду). В таком цуге содержатся волны разной длины,

ихорошо видно, как более длинные волны опережают короткие, остающиеся позади.

Из этого обстоятельства вытекает важное следствие. В случае дисперсии короткий цуг волн, или отдельный импульс, не сохраняет своей формы при распространении. Дисперсия приводит к тому, что короткий цуг волн, или импульс, расплывается. Поэтому самое понятие скорости импульса становится не вполне определенным. Его заменяют понятием групповой скорости, которая представляет собой скорость движения «центра тяжести» цуга волн.

Так же как быстро движущееся тело (пуля) возбуждает ударную волну в окружающем газе, тело, быстро движущееся по поверхности жидкости, возбуждает волны на поверхности жидкости. “Быстро” и в том

ив другом случае означает, что скорость тела должна быть больше скорости распространения импульса в среде. Поскольку волны по

поверхности жидкости распространяются с сравнительно небольшой скоростью (порядка нескольких метров в секунду), то при достаточно бы- стром движении судно поднимает такую «носовую» волну на поверхности воды. Аналогично ударной волне в воздухе, волна эта, расходящаяся от носа судна, имеет форму клина, тем более острого, чем быстрее движется судно. На создание этих волн тратится часть работы сил, движущих судно (возникает волновое сопротивление). Для уменьшения этого сопротивления судам придают специальную форму и очертания (острый нос). Эта же цель достигается в глиссерах тем, что судно не разрезает поверхность воды, а почти скользит по ней.

Вслучае очень коротких волн, когда радиус кривизны поверхности достаточно мал, кроме силы тяжести начинают играть заметную роль и силы поверхностного натяжения. Они становятся преобладающими для волн достаточно малой длины, например в случае воды для волн короче 1 см. В

этом случае роль восстанавливающей силы практически играют только силы поверхностного натяжения. Поэтому короткие волны на поверхности жидкости называют капиллярными волнами. Скорость распространения капиллярных волн существенно зависит от свойств жидкости (плотности и величины поверхностного натяжения). Она зависит также и от длины волны, т. е. для капиллярных волн имеет место дисперсия. Однако характер этой зависимости иной, чем в случае волн, обусловленных силой тяжести:

скорость распространения капиллярных волн увеличивается с уменьшением длины волны.

Интерференция волн.

202

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

В результате сложения двух бегущих волн одинаковой частоты, распространяющихся в противоположные стороны, возникают, как мы видели, стоячие волны. В сплошной среде при сложении волн, распространяющихся в различных направлениях, также возникают аналогичные явления. Однако в сплошной среде вся картина может быть гораздо более сложной, так как складываться могут волны, распространяющиеся не только в двух противоположных направлениях, но и под углом друг к другу. Явления, возникающие при

сложении волн одинаковой частоты, носят общее название интерференции волн.

Рассмотренная нами картина возникновения стоячих волн в стержне представляет собой простейший случай интерференции. К такой же картине приводит и сложение двух плоских волн, распространяющихся в сплошной среде в противоположных направлениях. Если, например, плоская волна падает нормально на отражающую стенку, то в результате сложения падающей и отраженной волн получается система стоячих волн, узлы и пучности которых лежат на плоскостях, параллельных отражающей стенке.

Расстояние между двумя плоскостями узлов или двумя плоскостями пучностей по-прежнему равно половине длины волны. На отражающей стенке образуется пучность или узел в зависимости от условий отражения.

Картину образования стоячих волн можно продемонстрировать при помощи волн на поверхности воды. Пользуясь палочкой, прикрепленной к вибратору, можно получить плоские волны. Поместив на пути распространения волн плоскую стенку (свинцовый экран), можно получить стоячие волны во всем пространстве между вибратором и экраном. В остальной части пространства будут распространяться бегущие волны.

Иная интерференционная картина получается в тех случаях, когда две плоские волны распространяются не в противоположные стороны, а под углом друг к другу. Например, при частичном отражении плоской волны от экрана, поставленного под углом к направлению движения волны (рис. 8), перед экраном получаются стоячие волны с пучностями и узлами, расположенными на пересечении фронтов падающей и отраженной волн.

Рассмотрим теперь картину интерференции в однородной среде двух круговых волн, распространяющихся от двух различных источников. Пусть два источника O1 и O2 (рис. 9) создают

круговые волны одинаковой частоты и одинаковой фазы. Вследствие того, что обе волны проходят от источников, вообще говоря, различные расстояния, они будут приходить в одну и ту же точку, например точку а, с

разными фазами, причем сдвиг фаз будет равен 2π λd , где

d = d1 − d2 – разность хода, т. е. в рассматриваемом случае (когда волны везде распространяются с одинаковой

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com