ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1270
Скачиваний: 6
Мы уже говорили, что в нелинейных системах могут возникать особые движения – предельные
циклы (устойчивые, неустойчивые и полуустойчивые). При определении этих режимов и их параметров
часто используется метод точечных отображений (преобразований), разработанный академиком
А.А.Андроновым и его учениками (1956
÷58).
Сущность этого метода состоит в следующем:
Зададимся начальным значением
на положительной оси
M
0
x
с
абсциссой
. Допустим, через некоторый промежуток времени
изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, уравнение
которой известно, снова пересекает положительную полуось
x
0
x
в
точке
с абсциссой
. Причем значение координаты
может
быть
выражено
через
определенной
функциональной
зависимостью через уравнение фазовой траектории; т.е.
M
1
x
1
x
1
x
0
x
f x
1
0
= ( )
,
)
0
0
0
0
(1)
x
y
M (x )
1
1
M (x )
0
0
Рис.147
функция
называется функцией последования.
f x
(
0
По виду функции последования (1) можно судить о динамическом поведении системы, а именно
если:
1.
– процесс является затухающим;
x
x
1
<
2.
– процесс является расходящимся;
x
x
1
>
3.
– в системе имеется предельный цикл (автоколебания).
x
x
1
=
Построим график
x
f x
1
= ( )
рис.148) и биссектрису координатного угла
– называемого
диаграммой точечного преобразования (диаграмма Кенигса-Ламерея):
x
x
1
=
(
0
–
)
)
f x
( )
0
Затухающим процессам соответствует участок
зависимости
, лежащим ниже биссектрисы (левее
точки А и правее точки В).
f x
(
0
– Расходящимся процессам соответствует участок
зависимости
, лежащий выше биссектрисы (между
точками А и В).
f x
(
0
– Точки пересечения зависимости
с
биссектрисой
определяет
амплитуды
возможных
незатухающих колебаний в системе
и
.
A
1
A
2
Устойчивость предельных циклов определяется как
показано на рис.148 стрелками. Следовательно, предельный цикл в точке А – неустойчив, а в точке В –
устойчив.
x
1
x =x
1
0
x =f(x )
1
0
x
0
A
1
A
2
A
B
x
01
x
02
Рис.148
Следует отметить, что с помощью точечного преобразования можно исследовать динамику
системы, не строя самого фазового портрета. Кроме того, этот метод применяется для определения
влияния параметров системы на характер переходных процессов в ней. При этом могут быть
определены критические (бифуркационные) значения параметров, переход через которые качественно
меняет фазовый портрет системы.
В заключении укажем, что точечное преобразование иногда проще строить для полуоси . Если
фазовый портрет симметричен относительно одной из координатных осей (пример релейная система),
достаточно находить функцию последования для преобразования положительной полуоси в
отрицательную.
y
Если на фазовом портрете есть линии переключения, то обычно вместо координатных полуосей
удобнее находить точечное преобразование для этих линий.
Построение переходного процесса по фазовой траектории
108
В любой точке фазового пространства координаты траектории
( , )
x y
однозначно связаны со
временем.
Рассмотрим участок фазовой траектории (рис.149).
На некотором участке AB примем её линейной.
Выберем точку N посредине отрезка AB. В пределах
этого участка можно записать
∆
∆
x x
x
t
dx
dt
b
a
сp
=
−
=
.
,
(1)
где
dx
dt
сp
.
– средняя величина производной
dx
dt
на участке AB.
Рассмотрим треугольник acd
ac dc tg
=
⋅
β
2
.
(2)
x
a
x
b
x
N
A
d
B
с
0
a
∆
x
b
Рис.149
dx
dt
y=
dx
dt
ср.
α
β
Из равнобедренного треугольника abd, учитывая (1) от выражения (2) можно перейти
∆
x
dx
dt
tg
cp
=
⋅
2
2
.
β
или
∆
t
dx
dt
dx
dt
tg
cp
cp
=
⋅
.
2
2
β
,
∆
t
tg
= 2
2
β
.
(3)
Угол
β
можно определить из равнобедренного треугольника abd.
Порядок построения ПП по фазовой траектории:
1. Выбирается постоянный шаг
и определяется
угол
β
= 2
2
arctg
t
∆
.
∆
t
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
x
t
y
0
1
2
3
4
∆
t
∆
t
∆
t
∆
t
Рис.150
α
α
α
α
β
β
β
β
2. Из точки
(начальные условия) (рис.150)
проводится прямая под углом
x
0
α
β
= 90
ο
−
2
1
до
пересечения с фазовой траекторией в точке
.
y
1
3. Из точки
под углом
y
β
к проведенной ранее
прямой проводится новая прямая до пересечения с
осью абсцисс
x
. Точка
есть искомое значение
(точка 1).
x
1
x t
( )
1
4. Точка
является исходной для следующего шага и
т.д.
x
1
5. Поступая аналогично, находят полную картину
переходного процесса в системе.
Прямой (второй) метод А.М.Ляпунова
для исследования нелинейных систем
Второй метод А.М.Ляпунова (первый нами подробно рассмотрен при изучении линейных САУ),
получивший название прямого метода основан на построении специальных функций (функций
Ляпунова) по исходным нелинейным дифференциальным уравнениям, описывающих поведение
системы.
Пусть исходная система описывается дифференциальными уравнениями вида:
dx
dt
f
x x
x
K
K
n
=
( , ,
, )
1
1
Κ
,
)
где
(
, ,
,
k
n
= 1 2 Κ
,
(1)
f
K
– нелинейные функции.
109
В начале дадим некоторые определения:
– Знакопостоянной функцией называется такая функция, которая имеет постоянный знак и
обращается в ноль в конечном числе точек заданной области фазового пространства.
Пример: 1.
V x
.
x
x
x
( , ) (
)
1
2
1
2
2
=
−
2.
V x x
x
x
x
( ,
) (
)
1
2
1
2
2
3
2
=
−
+
.
– Знакоопределенной функцией называется функция, которая имеет определенный знак и
обращается в ноль только в начале координат.
Пример: 1.
V x x x
x
x
x
( ,
, )
1
2
3
1
2
2
2
3
2
=
+
+
– определенно-положительная функция.
2.
V
– определенно-отрицательная функция.
x x x
x
x
x
( ,
, )
(
)
1
2
3
1
2
2
2
3
2
= −
+
+
Теорема 1. Если для исследуемой системы можно подобрать такую знакоопределенную функцию
, что её полная производная по времени в силу исходной системы
дифференциальных
уравнений
(1)
будет
знакопостоянной
функцией
противоположного с
V x
K
(
)
V x
K
(
знака, то исследуемое состояние равновесия будет
устойчивым.
)
)
Найденная функция
V x
K
(
называется фу
)
нкцией А.М.Ляпунова.
Рассмотрим фазовое пространство (в частности 3-мерное).
В фазовом пространстве координат
функция
( , , ,
x x
x
n
1
1
Κ
V x
C const
K
(
)
= =
,
которая
удовлетворяет
требованиям теоремы, изображается в виде замкнутой
поверхности, охватывающей точку равновесия
x
K
= 0
(рис.151).
Если
C
→ 0
, то
, т.е. при уменьшении
V x
K
(
)
→ 0
C
поверхность ”стягивается в начало координат”.
Если в силу уравнений системы (1)
(т.е.
величина
V x
K
(
)
→ 0
dV x
dt
k
( )
отрицательна), то это означает, что с
течением времени происходит переход от внешних поверхностей к внутренним, т.е. фазовые траектории
пронизывают замкнутые поверхности снаружи внутрь, т.е. в конечном итоге стягиваются к точке
равновесия. Система в этом случае устойчива
x
1
С
1
С
2
С >С >С
3
2
С
3
x
2
x
4
Рис.151
1
dV x
dt
V x
x
dx
dt
V x
x
f
x x
x
K
K
K
K
K
n
K
K
K
n
K
n
(
)
(
)
(
)
( , , ,
)
=
⋅
=
⋅
=
=
∑
∑
∂
∂
∂
∂
1
1
1
1
Κ
.
(2)
Теорема 2. Если для исследуемой системы можно подобрать такую знакоопределенную функцию
, что её полная производная по времени в силу исходной системы
дифференциальных уравнений (1) будет также знакоопределенной функцией
противоположного с
V x
K
(
)
V x
K
(
знака, то исследуемое состояние равновесия будет
устойчиво асимптотически.
)
)
Трудность применения прямого метода Ляпунова состоит в отсутствии общих правил отыскания
функций
V x
K
(
. Здесь в большей мере приходится рассчитывать на интуитивный подбор, что
существенно ограничивает применение данного метода.
Кроме того, прямой метод Ляпунова дает лишь достаточное, но не необходимое условие
устойчивости.
Для линейных систем функции Ляпунова представляют собой квадратичные формы координат,
коэффициенты которых находятся по определенному разработанному алгоритму.
Для нелинейных систем общей методики построения функций Ляпунова нет. Решены лишь
некоторые задачи, которые можно распространить на достаточно широкий класс нелинейных систем.
110
Построение V-функций Ляпунова (примеры)
1. Метод Лурье-Постникова. В 1944 г. для одного частного вида уравнений
dx
dt
f
x x
x t
K
K
n
=
( , , ,
, )
1
1
Κ
,
)
где
(
, ,
,
k
n
= 1 2 Κ
(1)
задача об устойчивости была изящно решена А.И.Лурье и В.Н.Постниковым.
Рассмотрим эту задачу: Дана система уравнений описывающая поведение нелинейной САУ
−
+
−
=
−
=
+
−
=
),
(
)
1
(
),
(
),
(
3
2
1
3
3
2
3
1
1
x
rf
x
x
dt
dx
x
f
dt
dx
x
f
x
dt
dx
α
α
(2)
где
x x x
1
2
, ,
щие координаты системы,
3
– теку
α
, r
– постоянные коэффициенты,
– нелинейная зависимость, на которую накладываются следующие ограничения
f x
( )
3
(рис.152):
1. непрерывна и имеет непрерывные производные,
2. однозначна,
3. нечетна, т.е.
f x
f
x
( )
(
3
3
)
= − −
,
4.
, если
f x
( )
3
0
=
x
3
≤
ε
(зона нечувствительности).
Лурье и Постников предложили для такого класса нелинейных
систем V-функцию Ляпунова в виде квадратичной формы координат
(для линейной части системы) плюс интеграл от нелинейности
f( )
x
3
x
3
Рис.152
−ε
ε
V
x
x
f x
x
=
−
+
+
∫
α
α
1
2
2
1
2
1
2
3
3
0
3
( )dx
.
(3)
Функция V (3) является определенно-положительной, т.к.
(
) , (
)
−
−
x
x
1
2
2
2
и
f
x d x
f x d
(
) (
)
( ) x
−
−
=
3
3
3
при любых значениях
x
i
все слагаемые положительны.
3
Возьмем полную производную по времени от (3)
dV
dt
x
dx
dt
x
dx
dt
f x
dx
dt
=
−
+
+
(
)
( )
α
α
1
1
1
2
2
3
3
.
(4)
Подставим в (4) соответствующие производные из системы (2).
[
]
[
]
[
[
]
[
]
.
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
2
3
2
1
3
3
2
1
3
3
2
3
1
1
x
f
r
x
x
f
x
rf
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
dt
dV
α
α
α
α
α
α
−
+
−
−
−
−
=
=
−
+
−
+
−
+
+
−
−
=
]
(5)
Если
>
−
+
>
−
0
1
,
0
1
α
α
r
,
(6)
то производная
dV
dt
из (5) всегда отрицательна, следовательно состояние равновесия системы
устойчиво. Если условие (6) не будет выполнено, то об устойчивости состояния равновесия ничего
сказать нельзя.
Определение абсолютной устойчивости нелинейных систем
Абсолютная устойчивость – это устойчивость в целом (при любых начальных условиях)
нелинейной системы при нелинейности принадлежащей к определенному классу.
111
Наиболее разработанными являются методы
исследования
устойчивости
для
класса
нелинейностей,
заключенных
между
двумя
прямолинейными лучами, проходящими через начало
координат в I и III квадрантах и имеющих угловые
коэффициенты
r
и (рис.153).
k
Гипотеза
М.А.Айзермана:
В
1946
г.
М.А.Айзерман выдвинул гипотезу о том, что если
заменить нелинейный элемент с характеристикой,
лежащей внутри угла
линейным, и если
линеаризованная таким образом система будет
устойчивой, т.е. угол
будет Гурвицев (выдерживаются условия алгебраического критерия
Гурвица для линейных систем), то исходная нелинейная система будет абсолютно устойчива.
( ,
r k )
( , )
r k
Φ( )
x
x
Рис.153
arctg r
arc
tg k
Эта гипотеза справедлива для большого количества задач, структурная схема которых имеет вид
(рис.154).
Φ
( )
ε
– удовлетворяет выше названным требованиям.
Φ
( )
ε
x
g(t)
рис. 154
ε
W p
л
( )
Однако не для всех систем её можно применять, поэтому большой интерес вызывает метод
определения абсолютной устойчивости нелинейных систем при помощи частотных характеристик. Этот
метод разработан румыном В.М.Пóповым (1959 г.).
Критерий абсолютной устойчивости В.М.Попова
Принимаем
g t
( )
= 0
(рис.154).
Определение: Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной
частью
W
j
Л
(
)
ω
было абсолютно устойчивым, достаточно, чтобы выдерживались следующие условия:
Re (
)
(
)
;
( )
,
1
1
0
0
+
+
>
<
<
α ω
ω
j W j
k
x
x
k
Л
Φ
(1)
где
– максимальный угловой коэффициент для сектора нелинейной характеристики.
k
α
– некоторое постоянное число.
Считая, что линейная часть системы устойчива, рассмотрим геометрическую интерпретацию
критерия, для чего введем частотную характеристику
W j
U
jV
Л
*
*
*
(
)
( )
( )
ω
ω
=
+
,
ω
)
(2)
которая отличается от частотной характеристики линейной части системы
W
j
Л
(
ω
лишь мнимой
частью:
=
=
).
(
)
(
),
(
)
(
*
*
ω
ω
ω
ω
ω
V
V
U
U
(3)
Частотная характеристика
W
j
обладает следующими свойствами:
Л
*
(
ω
)
)
1. Если в частотной характеристике линейной части системы
W
j
Л
(
ω
порядок полинома
числителя не выше порядка полинома знаменателя, то
W
j
будет всегда лежать в конечной
части плоскости. Это означает, что при
Л
*
(
ω
)
ω
→ ∞
U
и
V
стремятся либо к нулю, либо
к конечному пределу.
*
( )
ω
*
( )
ω
112