ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1269
Скачиваний: 6
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейным элементом (звеном) называется устройство, у которого статические характеристики в
рабочем диапазоне существенно нелинейны.
Нелинейной системой называется такая система, в которой присутствует хотя бы одно нелинейное
звено.
Структурная схема, состоящая из одного нелинейного звена и линейной части может быть
представлена схемой
Линейная
часть
g t
( )
x t
( )
Нелинейная
часть (НЭ)
Рис.132
К такой структуре приводятся все системы с одним нелинейным элементом (НЭ) и произвольной
линейной частью (ЛЧ) по правилам преобразования структур линейных звеньев.
Существенные нелинейности, с которыми приходится иметь дело на практике, можно разделить на
однозначные и неоднозначные.
Нелинейный элемент, статическая характеристика которого, между входной и выходной
величинами имеет однозначную зависимость как при увеличении, так и при уменьшении входного
сигнала, называется НЭ с однозначной нелинейной характеристикой.
Если статическая характеристика элемента при увеличении входа изменяется по одной зависимости,
а при уменьшении входа – по другой, то такой НЭ называют с неоднозначной нелинейной
характеристикой.
Таблица типовых нелинейных характеристик Таблица 3
Однозначные характеристики
Неоднозначные характеристики
1. Нечувствительность.
–a
+a
x
вых.
x
вх.
arctg k
1. Зазор.
a
x
вых.
x
вх.
arctg k
2. Ограничение (насыщение).
B
x
вых.
x
вх.
arctg k
-B
a
2. Релейная с гистерезисом.
B
x
вых.
x
вх.
-B
-a
a
3. Релейная идеальная.
B
x
вых.
x
вх.
-B
3. Релейная с нечувствительностью и
гистерезисом.
B
x
вых.
x
вх.
-B
a
1
a
2
-a
1
-a
2
4. Релейная с зоной нечувствительности.
B
x
вых.
x
вх.
-B
–a
+a
98
Математическое описание нелинейных систем.
Особенности процессов в нелинейных системах.
Математическое описание нелинейных САУ обычно имеет вид нелинейных дифференциальных
уравнений, которые можно представить в двух формах:
1.
F
d x
dt
d
x
dt
x
F
d g
dt
d
g
dt
g f
n
n
n
n
m
m
m
m
1
1
1
2
1
1
;
; ,
;
; , ,
−
−
−
−
=
Κ
Κ
,
(1)
где
x t
( )
– регулируемая координата,
g t
( )
– задающий сигнал,
2
– внешнее возмущение,
f t
( )
– нелинейные функции своих переменных.
F F
1
,
Если нелинейная система исследуется при постоянных управляющем и возмущающем
воздействиях, т.е.
g t
const
( )
=
,
f t
const
( )
=
, то уравнение (1) получает более простой вид
( )
F
d x
dt
d
x
dt
x
F g f
n
n
n
n
1
1
1
2
;
; ,
,
−
−
=
Κ
,
(2)
в котором решение состоит из переходной и постоянной составляющей, причем постоянная
составляющая зависит только от правой части, а переходная составляющая определяется из решения
нелинейной функции в левой части (2).
2.
[
]
dx
dt
X x x x
x g t f t t
K
K
n
=
1
2
3
,
, , ,
, ( ), ( ),
Κ
,
(3)
где
– обобщенные координаты системы,
x x x
x
i
n
n
1
2
3
1 2
,
, , ,
(
, , ,
Κ
=
)
Κ
– нелинейные функции.
X
K
Система уравнений (3) представляет собой систему нелинейных уравнений 1-го порядка, где в
качестве независимых переменных функции
служат сами координаты, а не их производные.
X
K
Отметим, что для реальных систем не всегда можно получить ту или иную форму в виде (1), (3). В
таких случаях можно использовать их комбинацию.
Особенности процессов в нелинейных системах Таблица 4
Линейные системы
Нелинейные системы
1. Принцип суперпозиции справедлив.
1. Принцип суперпозиции несправедлив.
2. Возможно только одно состояние равновесия.
Причем устойчивое состояние равновесия
всегда устойчиво асимптотически.
2. Возможно несколько (больше 1) состояний
равновесия. Одновременно в системе могут
быть как устойчивые, так и неустойчивые
состояния равновесия.
3. Особые движения, в частности, режим
автоколебаний не возможен.
3. При постоянстве задающих и возмущающих
воздействий возможны особые движения, т.е.
переходная составляющая, не возрастающая и
незатухающая во времени. Если это особое
движение – периодическое, то оно называется
автоколебаниями.
99
Общая характеристика методов исследования нелинейных систем
Существующие в настоящее время методы исследования нелинейных САУ можно разделить на три
группы:
1. Точные аналитические методы,
2. Приближенные графические методы,
3. Моделирование на аналоговых и цифровых ВМ.
1. Точные аналитические методы.
1.1. Метод фазового пространства.
1.2. Метод исследования абсолютной устойчивости.
1.3. Прямой метод А.М.Ляпунова.
1.4. Метод сечения пространства параметров.
1.5. Метод разделения движения на быстрые и медленные.
2. Приближенные методы.
1.1. Метод гармонической линеаризации.
1.2. Графоаналитические методы построения переходных процессов.
3. Методы моделирования.
1.1. Аналоговое моделирование для непрерывных систем.
1.2. Цифровое моделирование для дискретных систем.
Метод фазовой плоскости
Метод изображения ПП в фазовом пространстве и фазовой плоскости был введен в ТАУ
академиком А.А.Андроновым. Этот метод позволяет получить наглядную и точную картину всех
интересующих ПП при любых начальных условиях для нелинейных систем второго порядка
(плоскость). Некоторые нелинейные задачи 3-го порядка также решены методом фазового пространства.
А для систем 2-го порядка он развит до инженерных расчетов.
Фазовой плоскостью называется плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-
либо переменные, характеризующие ПП в системе. Наиболее часто принимают:
x
– выходная
координата,
y
dx
dt
=
– скорость изменения выходной координаты. Тогда уравнение 2-го порядка удобно
свести к двум уравнениям 1-го порядка.
=
=
),
,
(
),
,
(
2
1
y
x
Q
dt
dy
y
x
Q
dt
dx
(1)
где
x y
,
– обобщенные фазовые координаты,
Q Q
1
2
,
в общем случае нелинейные функции переменных
x
и
, хотя бы один раз
дифференцируемые по своим переменным.
y
–
Чтобы от (1) перейти к уравнениям фазовых траекторий, необходимо из (1) исключить время (
t
).
Для этого разделим второе уравнение (1) на первое
dy
dx
Q x y
Q x y
=
2
1
( , )
( , )
.
(2)
Решением уравнения (2) будет некоторая функция
y F x
= ( )
,
(3)
графическое изображение которой на фазовой плоскости называется фазовой траекторией.
100
Отметим свойства фазовых траекторий
1. Если для уравнения (2) выдерживаются условия существования и единственности решения, то
фазовые траектории при изменении начальных условий нигде не пересекаются (за исключением
ограниченного числа изолированных особых точек).
2. В тех случаях, когда
=
=
.
0
)
,
(
,
0
)
,
(
2
1
y
x
Q
y
x
Q
(4)
Решая (4) на фазовой плоскости получим координаты особых точек. Так как из (1)
dx
dt
dy
dt
= 0,
= 0
, то движение в особых точках прекращается – т.е. эти точки соответствуют
равновесию (установившемуся состоянию) системы.
3. Если на фазовой плоскости находится замкнутая траектория, то эта траектория также называется
особой или предельным циклом.
4. Если за координаты фазовой плоскости принимается координата
x
и
y
dx
dt
=
, то система (1)
получает вид
=
=
),
,
(
,
y
x
f
dt
dy
y
dt
dx
(5)
следовательно, при
(верхняя полуплоскость)
y
> 0
x
всегда возрастает при росте (движение
слева-направо). При
(нижняя полуплоскость) при росте
t
y
< 0
t
x
-убывает (движение справа-
налево).
Порядок исследования методом фазовой плоскости
1. Определяются все возможные состояния равновесия.
2. Найденные состояния равновесия исследуются на устойчивость в малой окрестности по
уравнениям 1-го приближения.
3. Строится фазовый портрет в целом при любых начальных условиях и определяется наличие
замкнутых траекторий – предельных циклов.
4. Если предельные циклы в исследуемой системе присутствуют, то исследуется их устойчивость.
Рассмотрим более подробно каждый из названных пунктов:
1.
1
2
Как уже говорилось, состояния равновесия – это особые точки фазовой плоскости, которые
определяются из решения алгебраической системы
=
=
.
0
)
,
(
,
0
)
,
(
2
1
y
x
Q
y
x
Q
.
(4)
Пусть решения (4) будут
и
(рис.133).
x y
1
,
x y
2
,
y
x
y
1
y
2
x
1
x
2
M
1
M
2
∆
y
∆
x
рис.133
101
2. В найденных точках состояний равновесия производится линеаризация исходной системы (1)
при малых отклонениях переменных от состояний равновесия.
Рассмотрим, например, состояние равновесия в точке
M x y
1
1
1
( , )
при малых отклонениях
∆
x
и
∆
y
.
После линеаризации (ряд Тейлора) получим:
+
∆
+
∆
+
=
+
∆
+
∆
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
Κ
Κ
y
y
y
x
Q
x
x
y
x
Q
y
x
Q
dt
dy
y
y
y
x
Q
x
x
y
x
Q
y
x
Q
dt
dx
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(6)
Последнюю систему уравнений (6) можно представить в виде
∆
+
∆
=
∆
+
∆
=
.
,
22
21
12
11
y
a
x
a
dt
dy
y
a
x
a
dt
dx
(7)
Переход от (6) к (7) соответствует переносу начала координат в исследуемую точку
состояния
равновесия (рис.133).
M
1
Система уравнений (7) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений,
решения которой нам хорошо известны – они определяются корнями характеристического уравнения.
Корни, как известно, могут быть:
1. Действительными
1.1. Положительными;
1.2. Отрицательными;
1.3. Один положительный, а другой отрицательный.
2. Комплексными.
2.1. С положительной вещественной частью;
2.2. С отрицательной вещественной частью.
3. Мнимыми.
Согласно этой классификации корней произведем и классификацию типов особых точек.
1.1. Особая точка типа ”неустойчивый узел” – корни действительные положительные (рис.134).
∆x
∆y
∆x
t
расходящиеся
экспоненты
рис.134
1.2. Особая точка типа ”устойчивый узел” – корни действительные отрицательные (рис.135).
∆x
∆y
∆x
t
сходящиеся
экспоненты
рис.135
102