ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1268
Скачиваний: 6
2. Мнимая часть частотной характеристики
W
j
Л
*
(
)
ω
V
*
( )
ω
в отличие от
V ( )
ω
является чётной
функцией, следовательно частотная характеристика
не будет симметричной
относительно вещественной оси.
W
j
Л
*
(
ω
)
Рассмотрим первое уравнение системы (1)
[
]
[
]
.
0
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
Re
1
)
(
)
(
)
1
(
Re
1
)
(
)
1
(
Re
>
+
−
=
+
+
+
−
=
=
+
+
+
=
+
+
k
V
U
k
V
U
j
V
U
k
jV
U
j
k
j
W
j
о
ω
αω
ω
ω
ω
αω
ω
αω
ω
ω
ω
ω
α
ω
ω
α
(4)
Учитывая (3) неравенство (4) можно переписать
U
V
k
*
*
( )
( )
ω
α
ω
−
+
1
0
>
.
(5)
Граничное (критическое) значение
U
V
k
*
*
( )
( )
ω
α
ω
−
+
1
0
=
*
.
(6)
Уравнение (6) в координатах комплексной плоскости
дает прямую линию, пересекающую
вещественную ось в точке
U V
*
,
(
;
с коэффициентом наклона
)
−
1
0
k
j
1
α
и касается частотной характеристики
W
j
Л
*
(
)
ω
.
W
j
(
)
ω
Если выполняется условие (5), то кривая
Л
*
( , )
0 k
)
лежит правее прямой (6).
Таким образом критерий Пóпова может быть еще
сформулирован
таким
образом:
Для
абсолютной
устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с
устойчивой
линейной
частью
и
нелинейности,
характеристика которой лежит в секторе
,
достаточно, чтобы частотная характеристика Попова
целиком лежала справа от прямой, проходящей
через точку
W
j
Л
*
(
ω
(
;
)
−
1
0
k
j
с угловым коэффициентом
1
α
, где
α
– может принимать произвольное значение.
W
(j
*
л
ω)
V (
*
ω)
U (
*
ω)
Рис.155
k
1
Пример:
Если, то сделать заключение об устойчивости нельзя, т.к.
критерий Попова только достаточный.
V (
*
ω)
U (
*
ω)
Рис.156
k
1
;j0
(
)
Как видно из графика (рис.156) по виду частотной
характеристики
можно определить критический
W
j
Л
*
(
ω
)
коэффициент наклона сектора нелинейности
( ,
.
)
0 k
Обобщение критерия Попова на случай нейтральной и неустойчивой
линейной части системы
113
Линейная часть называется нейтральной, если хотя бы один корень характеристического уравнения
является нулевым, а все остальные левыми.
Неустойчивая линейная часть – если хотя бы один корень правый.
Если линейная часть системы неустойчива (нейтральна), нелинейная характеристика
Φ
( )
x
не
может уже принадлежать сектору
, т.к. при
( , )
0 k
k
= 0
система размыкается, следовательно, будет
неустойчива заведомо. Очевидно, она будет неустойчива и при малых .
k
Φ
( )
x
x
рис. 157
-x
W j
л
(
)
ω
y
Преобразуем исходную систему (рис.157), охватив нелинейный элемент прямой, а линейную часть
обратной отрицательными связями с коэффициентом
r
(видоизмененная схема эквивалентна
предыдущей, т.к. это видно из рис.158, введенные обратные связи взаимно компенсируются).
Φ
( )
x
x
рис. 158
-x
W j
л
(
)
ω
r
r
В преобразованной структуре нелинейная часть имеет характеристику
Φ
Φ
1
( )
( )
x
x
=
rx
−
,
(1)
линейная часть
W j
W
j
rW
j
Л
Л
1
1
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
=
+
.
(2)
Коэффициент
r
выбирается таким, чтобы корни уравнения
[
(
)]
1
0
+
=
rW
j
Л
ω
были левыми, т.е.
чтобы видоизмененная линейная часть была устойчива.
Т.к. полученная линейная часть устойчива, то к преобразованной структуре можно применять
критерий Попова:
Re (
) (
)
;
( )
,
1
1
0
0
1
1
1
1
+
+
>
<
<
α ω
ω
j W j
k
x
x
k
Φ
(3)
где
k
k
1
= − r
, согласно соотношения (1).
Второе уравнение (3) с учетом (1) преобразуется к виду
0
1
<
− <
Φ( )
x
x
r
k
или
r
x
x
k
r
<
<
+ =
Φ( )
1
k
,
(4)
т.е. нелинейная характеристика для абсолютной устойчивости состояния равновесия исходной
системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью должна принадлежать сектору
, где
( ; )
r k
r
– постоянный коэффициент.
114