ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1267
Скачиваний: 6
1.3. Особая точка типа ”седло” – корни действительные – один положительный, дугой
отрицательный (рис.136).
∆x
∆y
∆x
t
апериодические
расходящиеся
процессы
рис.136
2.1. Особая точка типа ”неустойчивый фокус” – корни комплексные с положительной вещественной
частью (рис.137).
∆x
∆y
∆x
t
расходящиеся
колебательные
процессы
рис.137
2.2. Особая точка типа ”устойчивый фокус” – корни комплексные с отрицательной вещественной
частью (рис.138).
∆x
∆y
∆x
t
сходящиеся
колебательные
процессы
рис.138
3. Особая точка типа ”центр” – корни мнимые (рис.139).
∆x
∆y
∆x
t
гармонические
колебания
рис.139
3. Построение фазового портрета при любых начальных условиях.
Уравнение фазовой траектории, как мы уже имели, получает такой вид (2)
dy
dx
Q x y
Q x y
=
2
1
( , )
( , )
.
(2)
Если есть возможность решить уравнение (2), то тем самым находим семейство интегральных
кривых при любых заданных начальных условиях. Совокупность этих кривых на фазовой плоскости
дает полную картину динамического поведения САУ – фазовый портрет САУ.
103
Однако, следует отметить, что уравнение (2) нелинейное и в большинстве случаев его
аналитическое решение затруднено. Поэтому для решения уравнения (2) развит приближенный
графоаналитический метод – метод изоклин.
Построение фазового портрета методом изоклин
∆y
∆x
изоклина
фазовые
траектории
Рис.140
Изоклинами называют геометрические места точек, в которых
наклон касательных ко всем фазовым траекториям одинаков (рис.140).
Полагая
dy
dx
const I
=
чим уравнение изоклины
=
, полу
Q x y
Q x y
I
2
1
( , )
( , )
=
.
(8)
Фазовая траектория, как это следует из определения изоклины, пересекает изоклину под углом,
равным
arctg I
. Поэтому, задаваясь
I I I
1
2
3
, , ,
Κ
, в фазовой плоскости можно построить семейство
изоклин, причем на каждую изоклину наносят риски с определенным наклоном равным
.
arctg I
i
, ,
3
Κ
i
(
,
= 1 2
)
y
( , )
1
1
Порядок построения фазовой траектории:
Из точки
(начальных условий)
проводится два луча: один параллелен
углу наклона фазовой траектории к
изоклине, откуда начинается движение,
другой параллелен углу наклона
фазовой траектории к последующей
изоклине. Из угла, образованного
этими лучами проводится биссектриса
до
пересечения
со
следующей
изоклиной (точки
) и т.д.
M
0
M
1
∆y
∆x
y
1
I
1
I
2
I
3
v <0
x
v <0
y
v
x
1
M
M
0
M
1
M
2
Рис.141
После
построения
фазовой
траектории, необходимо определить
направление движения по ней при
возрастании . Для этого в точках, где
необходимо определить направление
движения, например в
,
определяются проекции скорости
t
M x
=
=
=
=
.
)
,
(
,
)
,
(
1
1
2
1
1
1
dt
dy
y
x
Q
V
dt
dx
y
x
Q
V
y
x
(9)
Если для точки
M x y
( ,
1
1
)
dx
dt
dy
dt
x x
y y
x x
y y
=
=
=
=
<
1
1
1
1
0,
< 0
, то проекции скоростей
и
v
будут иметь
направление как на графике и тогда движение по траектории будет направлено к началу координат.
v
x
y
В результате построения фазового портрета нелинейной системы могут быть получены траектории,
которые называются особыми.
Особыми траекториями называют такие фазовые траектории, которые разделяют плоскость на
различные качественные процессы или траектории. К ним относятся:
1. сепаратрисы;
2. предельные циклы.
104
y
y
x
x
сепаратриса
сепаратрисы
Рис.142
Классификация предельных циклов с точки зрения устойчивости
Замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Предельные циклы могут быть
(рис.143)
:
1. устойчивыми
2. неустойчивыми
3. полуустойчивыми
y
x
1.
y
x
2.
y
x
3.
Рис.143
Предельный цикл будет устойчивым, если внутренняя и наружная траектории будут
асимптотически к нему приближаться (наматываться) (рис.143(1)).
Предельный цикл будет неустойчив, когда траектории внутренняя и наружная удаляются от него.
Такая система устойчива при малых отклонениях и неустойчива при больших (рис.143(2)).
Предельный цикл будет полуустойчив, если траектории наружные к нему приближаются, а
внутренние удаляются. Такой предельный цикл в реальной системе существовать не может (рис.143(3)).
Построение фазового портрета для нелинейной системы с
кусочно-линейными звеньями
Метод припасовывания
Φ
x(p)
g(p)
рис. 144
x
1
(p)
ε
(p)
p
1
T
1
p+1
k
1
y(p)
Φ
- нелинейное звено, которое для определенности имеет вид трехпозиционного поляризованного
реле с зоной нечувствительности без гистерезиса (рис.145).
С
y
ε
(-x)
-С
–b
+b
рис. 145
b – зона нечувствительности реле.
Как уже говорилось, фазовый портрет системы – это
семейство
фазовых
траекторий,
соответствующих
различным начальным условиям (воздействиям). Поэтому
можно принять
g t
( )
= 0
. Тогда ошибка
.
,
)
(
x
x
x
t
g
−
=
−
=
−
=
ε
ε
(1)
105
Таким образом, при положительном
x
(например
x b
>
) сигнал на выходе нелинейности будет
− C
, и наоборот, при отрицательном
x
(например
− > −
x
b
) на выходе нелинейности будем иметь
сигнал
+ C
.
Составим уравнения, описывающие поведение данной системы:
−
Φ
=
=
+
=
).
(
,
,
1
1
1
1
1
x
y
y
k
x
dt
dx
T
x
dt
dx
(2)
Если за координаты фазовой плоскости принять выходную величину
x
и скорость изменения
выходной величины
dx
dt
x
=
1
, то в соответствии с видом нелинейности вся фазовая плоскость
разбивается на три области.
I. Когда
x
< b
и
, следовательно уравнения системы (2) принимают вид:
y
= 0
=
=
.
1
,
1
1
1
1
x
T
dt
dx
x
dt
dx
(3)
x
-k C
1
k C
1
I=0
I=0
Рис.146
dx
dt =x
1
M
0
III y=C
I y=0
b
-b
II y=-C
Из системы (3) найдем уравнение фазовой траектории (для чего второе уравнение (3) разделим на
первое)
dx
dx
T
1
1
1
= −
.
(4)
Решая (4)
dx
T
dx
x
T
x A
1
1
1
1
1
1
= −
= −
+
,
,
(5)
где – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
A
106
Уравнения (5) являются фазовыми траекториями в области
I x
b
,
<
– это прямые линии,
параллельные друг другу и имеющие отрицательный угол наклона, равный
−
1
1
T
.
Отрезок
x
b x
<
=
,
1
0
называется отрезком покоя.
II. При
x
b y
C
≥
= ±
,
Область II при
x b
y
C
≥
= −
C
Область III при
x
b
y
≤ −
= +
Линии
x
b
= ±
на фазовой плоскости называются линиями переключения (на них припасовываются
решения, соответствующие разным областям).
Уравнение системы (2) для этих областей принимают вид:
dx
dt
x
dx
dt
k C
T
T
x
=
= ±
−
1
1
1
1
1
1
1
,
.
(6)
Решая (6) аналогично предыдущему, получим
dx
dx
k C
T x
T
1
1
1 1
1
1
= ±
−
.
(7)
Уравнение (7) представляет собой уравнение фазовой траектории в области II с ”–” у первого
слагаемого правой части и в области III с ”+”.
Интегрирование (аналитическое решение) уравнения (7) затруднительно, поэтому найдем
уравнение изоклин
dx
dx
I
const
1
= =
или из (7)
1
1
1
1
1
T
x
T
C
k
I
−
±
=
,
1
1
1
1
1
x
T
C
k
T
I
±
=
+
,
x
k C
T I
1
1
1
1
= ±
+
.
(8)
Уравнение (8) есть уравнение изоклин. Задаваясь значениями
I
const
i
=
получим из (8) прямые
линии параллельные оси абсцисс.
Причем, как это видно из
таблицы, каждому значению
I
,
соответствует свой угол наклона
фазовой траектории. Изоклины и
соответствующие
углы
наклонов
фазовых
траекторий
на
них,
наносятся на фазовую плоскость. После этого, по определенным величинам начальных условий (при
t
x x x
=
=
= ′
0
0
1
,
,
и семейство фазовых траекторий.
I
0
. . .
±∞
x
1
± k C
1
±
+
k C
T
1
1
1
. . .
0
arctgI
0
°
45
°, 135°
. . .
90
°
±1,0
x
0
) строится фазовая траектория ил
)
По фазовому портрету отметим следующее:
1. На фазовой плоскости всегда видно отображение нелинейности.
2. Фазовый портрет релейной системы состоит из нескольких зон, соответствующих различному
состоянию реле (включено, выключено) такая фазовая плоскость называется многолистной.
3. Для построения фазовых траекторий методом припасовывания на границе нелинейности (линиях
переключения) принимаются конечные значения координат
предыдущей области в
качестве начальных для следующей области, т.е. припасовываются (приравниваются) конечные и
начальные условия.
( ,
x x
1
4. Полученный фазовый портрет дает полное описание динамических свойств системы.
Метод точечного преобразования академика А.А.Андронова
107