Файл: Е. К. Соколова Принцип ДАламбера.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.05.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по курсу "Теоретическая механика"

для бакалавров направления подготовки 551800 – "Технологические машины и оборудование"

Составитель: Е. К. Соколова

Утверждены на заседании кафедры

Протокол № от .11. 99 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией по специальности 170100 Протокол № от . 11. 99

Кемерово1999

1

ВВЕДЕНИЕ

При работе механизма силы взаимодействия между его звеньями изменяются и могут достигать при ускоренном движении звеньев весьма больших значений. Хотя эти силы являются внутренними по отношению к механизму в целом и общими теоремами в задачах динамики не определяются, знание их величины необходимо при расчетах звеньев механизма на прочность, жесткость, вибростойкость и т.д.

Силы взаимодействия между звеньями механизма являются силами реакций связей, а сам механизм - несвободной материальной системой, для изучения движения которой Жан Лерон Д'Аламбер предложил формальный прием, получивший название принципа Д'Aламбера ("Трактат по динамике",

1743г.).

Этот прием позволяет записать уравнения движения несвободной системы материальных точек в виде уравнений равновесия активных сил, действующих на точки системы, сил реакций связей, наложенных на точки системы, и сил инерции, учитывающих ускоренное движение точек системы (метод кинетостатики) и широко используется в инженерной практике в силу наглядности графоаналитических расчетов.

2

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Принцип Д'Aламбера.

Принцип Д'Aламбера для несвободной материальной системы дает условие равновесия системы сил в виде:

 

∑n

 

 

 

n

 

 

∑n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fka + ∑ Fkr +

Fkин = 0;

 

 

 

 

 

 

k = 1

 

 

 

k = 1

 

k =

1

 

 

 

 

 

(1)

 

∑n

 

 

 

 

 

 

 

∑n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

0 (

 

 

 

 

0 (

 

 

0 (

 

 

M

Fka ) +

M

Fkr ) + ∑

M

Fkин ) = 0,

 

k = 1

 

 

 

 

 

 

 

k = 1

 

 

 

 

 

k = 1

где k=1,2,..., n - число точек системы;

∑n

 

 

 

 

∑n

 

 

 

 

∑n

 

 

 

 

Fka = R a

Fkr = R r

Fkин = R ин - главные векторы активных сил,

k = 1

k = 1

k = 1

приложенных к точкам системы; сил реакций связей, наложенных на точки; сил инерции точек системы;

n n n

∑ M0 (Fka ) = M0a ; ∑ M0 (Fkr ) = M0r ; ∑ M0 (Fkин ) = M0ин − главные мо-

менты относительно неподвижного центра О активных сил, сил реакций связей и сил инерции точек системы.

Для произвольной пространственной системы сил из условия (1) получаются уравнения равновесия в виде:

∑

Xka +∑

 

Xkr ∑+

Xkин = 0;

∑

Yka +∑

 

Ykr ∑+

Ykин = 0;

 

 

 

 

 

 

 

∑ Zka +∑

 

Zkr ∑+

Zkин = 0;

 

 

 

 

 

 

 

∑ Mx (

 

 

 

∑ Mx (

 

 

∑ Mx (

 

 

 

 

Fka ) +

Fkr ) +

Fkин ) = 0;

∑

My (

 

 

 

∑

My (

 

 

 

 

∑ My (

 

 

 

Fka ) +

Fkr ) +

Fkин ) = 0;

∑ Mz (

 

 

∑ Mz (

 

 

 

 

∑ Mz (

 

 

Fka ) +

Fkr ) +

Fkин ) = 0.

где Xka ,Yka , Zka - проекции активных сил на оси неподвижной декартовой системы координат;

Xkr ,Ykr , Zkr - проекции сил реакций связей на оси Ох, Оу, Оz;

Xkин ,Ykин , Zkин - проекции сил инерции точек на оси Ох, Оу, Oz;

3

Mx (Fka ), My (Fka ), Mz (Fka ) - моменты активных сил относительно осей Ох,

Оу, Oz;

Mx (Fkr ), My (Fkr ), Mz (Fkr ) - моменты сил реакций связей относительно осей

Ох, Оу, Оz;

Mx (Fkин ), My (Fkин ), Mz (Fkин ) - моменты сил инерции точек относительно

осей Ох, Оу, Oz.

Для произвольной плоской системы сил из условия (1) получаются уравнения равновесия системы сил в виде:

 

∑ Xka +∑

Xkr ∑+

Xkин = 0;

 

∑

Yka +∑

Ykr ∑+

Ykин = 0;

 

∑

Mz (

 

 

 

 

 

 

Fka ) + ∑ Mz (Fkr ) + ∑ Mz (Fkин ) = 0.

.

1.2. Силы инерции. Приведение сил инерции к простейшему виду.

Силой инерции материальной точки называется векторная величина, численно равная произведению массы точки на модуль ее ускорения и направленная в сторону, противоположную ускорению точки

F ин = − ma.

Вектор ускорения a точки можно разложить на составляющие в соответствии с выбранной системой координат:

для декартовой системы координат

a = ax i + ay j + az k =

xi +

yj +

zk ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!!

 

 

!!

 

 

!!

 

 

для естественной системы координат

a = an n + aτ τ = Vρτ 2 n + dVdtτ τ ;

для сложного движения точки

a = ae + ar + aкор .

Тогда и силу инерции F ин точки можно разложить на такие же составляющие:

4

 

 

ин

 

 

 

 

ин

 

 

 

 

 

ин

 

 

 

 

 

 

ин

 

 

 

 

 

 

 

!!

 

 

 

 

!!

 

 

 

!!

 

 

F

=

X

i + Y

j + Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = − m(xi +

 

yj +

zk);

 

 

ин =

F ин

τ

+

 

F ин

 

 

= − m(a

τ

+

a

 

 

 

);

 

 

 

F

 

 

 

 

 

n

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

= − m(

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

).

 

 

ин =

 

 

ин

 

+

 

ин +

 

 

 

ин

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

F

F

 

F

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

e

a

r

 

a

кор

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

r

 

 

 

кор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При движении с ускорением твердого тела к каждой его точке прикладывается сила инерции. При этом возникает задача сложения системы сил инерции, приложенной к твердому телу.

По основной теореме статики систему сил можно привести к силе, приложенной в центре приведения и равной главному вектору, и к паре сил с моментом, векторно равным главному моменту, взятому относительно центра приведения.

Приведение сил инерции твердого тела зависит от характера его движения и выбора точки, взятой за центр приведения.

1. при поступательном движе-

нии твердого тела силы инерции приво-

дятся к равнодействующей, приложен-

ной в центре масс С твердого тела (рис.1)

R ин = ∑n Fkин = − ∑n mk an = − Mac ,

k = 1

k = 1

так как при поступательном движении

VA = VB = ...VC , aA = aB = ...aC .

2. при вращательном движении

плоского твердого тела вокруг перпендикулярной к плоскости тела неподвижной оси Oz результаты приведения зависят от выбора центра приведения:

а) если за центр приведения принять центр масс С твердого тела, то силы инерции его точек приводятся к силе, равной главному вектору R ин и приложенной в точке С, и к паре сил с моментом, равным главному моменту MZинC , взятому относительно оси z, проходящей через центр масс С (рис.2)

R

 

= − Ma ; M

 

= − I ε~ ;

 

 

ин

 

 

 

~ ин

 

 

 

 

 

C

 

Z

Z Z

 

 

 

 

 

 

 

C

C

5

 

 

 

б) если

за

центр

приведения принять

точку О,

то

получим

силу

 

 

ин

=

 

 

 

 

R

,

приложенную в точке О, и пару сил с моментом, равным глав-

 

− Ma

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ному

 

моменту,

взятому

 

относительно

точки

О

(рис.

3)

 

~ ин

=

~

= −

[IZ +

m(OC )

2

~

 

 

 

 

MZ

− IZ ε Z

 

]ε Z .

 

 

 

 

 

 

О

 

O

 

C

 

 

 

 

 

 

 

3. при плоском движении твердого тела силы инерции приводятся к силе, равной главному вектору R ин , приложенной в центре приведения, и к паре сил, момент которой равен главному моменту относительно оси, проходящей через центр приведения перпендикулярно неподвижной плоскости:

а) если за центр приведения принять центр масс С (рис. 4), то

 

 

ин

 

 

~ ин

 

R

= − IZ ε Z ;

 

 

 

= − MaC ; MZ

 

 

 

 

 

C

C

б) если за центр приведения принять мгновенный центр скоростей Р (рис.5), то силы инерции приводятся к паре сил, с моментом равным

~ ин

= − IZ

 

~

− [IZ +

m(CP )

2

~

MZ

Р

P

ε Z =

 

]ε Z .

 

 

 

C

 

 

 

1.3. Алгоритм применения принципа Д'Aламбера.

Решение задачи выполняется в такой последовательности:

1) изобразить звенья механизма как отдельные твердые тела или точки;

2)применяя закон освобождаемости от связей, изобразить силы реакций связей, не забывая при этом использовать третий закон Ньютона;

3)изобразить активные силы, действующие на каждое звено;

4)определить основные кинематические характеристики ведомых звеньев, учитывая заданный закон движения ведущего звена;

5)добавить силы инерции, используя приемы приведения сил инерции

кпростейшему виду и учитывая характер движения каждого из звеньев (в целях унификации рекомендуется приводить все силы инерции к центрам масс каждого звена);

6)выбрать рациональную систему координат для каждого из звеньев;

7)составить уравнения равновесия для системы сил активных, реакций связей и инерции, приложенных к каждому звену;

8)решить систему уравнений равновесия, определить искомые пара-

метры.

7

8

2. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА Д'АЛАМБЕРА

2.1. Силовой расчет кривошипно-кулисного механизма

Для кривошипно-кулисного механизма (рис. 6), освобождаясь от связей, получим три звена: кривошип ОА, ползун А и кулису О1В, и, соответственно, три системы уравнений равновесия активных сил, сил реакций связей и сил инерции этих звеньев.

Для определения сил инерции необходимо задать величину и направление ускорений точек А, С1, С2 звеньев, а также угловое ускорение кулисы О1В.

Определим эти кинематические характеристики в предположении, что закон движения и основные кинематические характеристики ведущего звена - кривошипа ОА известны: ϕ 1=ϕ 1(t), ω OA, ε OA.

Точка А участвует в сложном движении: абсолютном вращении вместе с кривошипом ОА вокруг точки О, переносном вращении вместе с кулисой О1В вокруг точки O1 и относительном поступательном движении ползуна А по кулисе О1В, поэтому ее скорость и ускорение равны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VAa =

VAe + VAr ;

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aa =

 

Ae +

 

 

 

Ar +

 

кор ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

a

a

 

где

 

 

Aa =

 

 

 

 

AOn

+

 

 

AOτ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(а)

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ae =

 

 

AOn

+

 

 

AOτ

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(б)

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из ∆ OAO1 определим

O1 A =

sinα =

А:VAa =

(OA)

2

+ (OO1 )

2

π

+ ϕ 1

 

 

 

− 2(OA) (OO1 )cos

2

и

 

 

 

 

 

 

 

π

+ ϕ 1

 

 

OO1 sin

 

 

 

 

 

2

 

 

, тогда,

зная абсолютную скорость точки

O1 A

 

 

 

 

 

 

ω AO OA определим VAe =

VAa cosα ; VAr = VAa sinα .

Смотрите также файлы